高中数学计数原理1.3二项式定理1.3.1课件新人教A版.pptx

主题 二项式定理 1.我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式乘法推导(a+b)3,(a+b)4的展开式? 提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3, (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.,2.你能分析(a+b)4展开式各项前的系数吗? 提示:(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b),3.推广到一般,你能写出(a+b)n的展开式中各项的系 数吗? 用符号语言表述:各项系数依次为: _ 结论: 1.二项式定理: (a+b)n=_.,2.几个基本概念: (1)二项展开式:指的是右边的多项式. (2)项数:二项展开式中共有_项. (3)二项式系数:指的是在二项展开式中各项的系数 _(k0,1,2,n).,n+1,(4)通项:指的是二项展开式中的_,用Tk+1表示, 即通项为展开式的第k+1项,Tk+1=_.,【微思考】 1.根据二项式定理考查(a+b)n与(b+a)n的展开式相同吗? 提示:(a+b)n= (b+a)n= 由于,故(a+b)n展开式中的第k+1项 an-kbk与(b+a)n展开 式中的第n-k+1项 bkan-k相等. 故(a+b)n与(b+a)n的展开式相同.,2.二项式系数与对应项的系数有什么区别? 提示:二项式系数与对应项的系数是完全不同的两个 概念,前者特指 ,与a,b的值无关;而后者不仅与 有关,还与a,b的值有关.,3.在二项式定理中如果设a=1,b=x可得到什么? 提示:在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式: (1+x)n= .,【预习自测】 1.(2x+y)9展开式中共有 ( ) A.10项 B.9项 C.8项 D.18项 【解析】选A.因为n=9,故展开式中共有10项.,2.(a-b)9展开式中第2项为 ( ) A.9a8b B.36a7b2 C.-9a8b D.-36a7b2 【解析】选C.第二项为 a8(-b)1=-9a8b.,3.(2x-1)9的展开式中的第3项是 ( ) 【解析】选D.T3=,4.(x-1)9展开式中x3的系数是_. 【解析】Tk+1= x9-k(-1)k, 令9-k=3,所以k=6. 所以x3的系数是(-1)6 =84. 答案:84,5. 的展开式中x6y4项的系数是_. 【解析】在Tr+1= 中,令r=4, 即得 的展开式中x6y4项的系数为 =840. 答案:840,类型一 二项式定理的正用、逆用 【典例1】(1)求(a+2b)4的展开式. (2)求 的展开式. (3)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).,【解题指南】(1)(2)利用(a+b)n的二项展开式展开即可. (3)由所给式子的特点逆用二项式定理.,【解析】,【方法总结】二项式定理正用、逆用的技巧 (1)形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点,进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提.,(2)逆用二项式定理,要注意分析其结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,且a,b的指数和等于二项式的次数n,正负相间是(a-b)n的形式.指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整,缺项时通常需添加项来凑结构形式.,【巩固训练】1.(1) 的展开式为_. (2)设P=1+5(x+1)+10(x+1)2+10(x+1)3+5(x+1)4+(x+1)5,则P=_.,【解题指南】(1)直接利用二项式定理将其展开,也可 将其变为 (x+1)4展开. (2)由所给式子形式特点考虑逆用二项式定理.,【解析】(1)方法一:,方法二: 答案:,(2)P=1+(x+1)5=(x+2)5. 答案:(x+2)5,2.设n为正整数,化简: 【解析】,【补偿训练】 (1)求 的展开式. (2)求 的展开式.,类型二 求二项展开式中特定的项 【典例2】(1)(2016四川高考)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20ix4 D.20ix4,(2)(2015重庆高考) 的展开式中x8的系数是_(用数字作答).,【解题指南】(1)利用二项式定理展开,复数的运算. (2)写出通项化简后,令x的次数为8求解.,【解析】(1)选A.二项式(x+i)6展开的通项Tr+1= x6-rir,则其展开式中含x4的项是当6-r=4,即r=2, 则展开式中含x4的项为 x4i2=-15x4.,令15- =8,得r=2, 故第3项为x8项, 所以T3= 答案:,【延伸探究】 1.题(2)中条件“ ”改为“ ”求 展开式中的常数项.,【解析】 令10- =0,所以r=4, 所以展开式中的常数项为:,2.题(2)条件不变,求展开式中二项式系数最大的项. 【解析】因为n=5,故展开式中共有6项且第三项、第 四项二项式系数相等且最大. 所以T3=,【规律总结】求二项展开式的特定项的方法及三种常 见类型 (1)方法:求二项展开式的特定项问题实质是考查通项 Tk+1= an-kbk的特点,一般需要建立方程求k,再将k的 值代回求解,注意k的取值范围(k0,1,n).,(2)三种常见类型. 常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为零建立方程; 有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程; 第m项:此时k+1=m,直接代入通项.,类型三 二项式定理的简单应用 【典例3】(1)今天是星期一,过2100后是星期_. (2)求证:32n+2-8n-9能被64整除.,【解题指南】(1)将2100变形为2(7+1)33, 利用二项式定理展开式求解. (2)将32n+2变形为(1+8)n+1然后利用二项式定理展开进行证明.,【解析】(1)2100=2333+1=8332=2(7+1)33 即21007余2,所以过2100后是星期三. 答案:三,(2)因为32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(1+8)n+1-8n-9 又 是整数, 所以32n+2-8n-9能被64整除.,【方法总结】整除性或求余数问题的处理方法 (1)构造一个与题目条件有关的二项式. (2)把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式. (3)利用二项式定理展开,只需研究后面(或前面)一、两项就可以.,(4)注意余数的范围,若a=cr+b,其中b为余数,b0,r),r是除数. (5)利用二项式定理展开、变形后,若剩余部分是负数,要注意转化为正数.,【巩固训练】1.用二项式定理证明:34n+2+52n+1能被14整除.,【解析】34n+2+52n+1=92n+1+52n+1=(9+5)-52n+1+52n+1 =(14-5)2n+1+52n+1 =142n+1- 142n5+ 142n-152-+ 1452n- 52n+1+52n+1 =14(142n- 142n-15+ 142n-252-+ 52n).,上式是14的倍数,能被14整除,所以34n+2+52n+1能被14整除.,2.求9192除以100的余数.,【解析】 9192=(100-9)92=10092- 100919+ 10090 92- 100991+992,前面各项均能被100整除,只 有末项992不能被100整除,于是求992除以100的余数.,因为992=(10-1)92 =1092- 1091+ 1090-+ 102- 10+(-1)92 =1092- 1091+ 1090-+ 102-920+1 =(1092- 1091+ 1090-+ 102-1000)+81, 所以被100除的余数为81,即9192除以100的余数为81.,【补偿训练】如果今天是星期一,那么对于任意自然数n,经过23n+3+7n+5天后的那一天是星期几?,【解析】由于23n+3+7n+5=8n+1+7n+5 =(7+1)n+1+7n+5 由此23n+3