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文档简介

设空间曲线的方程,(1)式中的三个函数均可导.,7 Geometric Applications of Differentiation of Multivariable Functions 一、空间曲线的切线与法平面,考察割线趋近于极限位置切线的过程,上式分母同除以,割线 的方程为,曲线在 M 处的切线方程:,切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.,法平面：过 M 点且与切线垂直的平面.,曲线在 M 处的法平面方程:,解,切线方程,法平面方程,1.空间曲线方程为,法平面方程为,特殊地：,2.空间曲线方程为,切向量,切线方程为,法平面方程为,解,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,曲线在 M 处的切向量,在曲面上任取一条通过点M的曲线,二、曲面的切平面与法线,令,则,切平面方程为,法线方程为,曲面在M处的法向量即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.,特殊地：空间曲面方程形为,曲面在M处的切平面方程为,曲面在M处的法线方程为,令,解,切平面方程为,法线方程为,法向量,解,令,切平面方程,法线方程,法向量,解,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),例6. 确定正数 使曲面,在点,解: 二曲面在 M 点的法向量分别为,二曲面在点 M 相切, 故,又点 M 在球面上,于是有,相切.,与球面, 因此有,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线,小结,提示:,设切点,切点满足曲面和平面方程,思考与练习,2. 设 f ( u ) 可微, 证明 曲面,上任一点处的,切平面都通过原点.,提示: 在曲面上任意取一点,则通过此,证明原点坐标满足上述方程 .,点的切平面方程,1. 证明曲面,与定直线平行,证: 曲面上任一点的法向量,取定直线的方向向量为,则,(定向量),故结论成立 .,的所有切平面恒,备用题,2. 求曲线,在点(1,1,1) 的切线,解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为,因此切线的方向向量为,由此得切线:,法平面:,即,与法平面.,3.,为曲面上一点,则连接 PP0 的直线的方程为,证,得出直线上的点都
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