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文档简介

第四章 傅里叶变换和系统的频域分析,本章要点： 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 周期信号的傅里叶变换 LTI系统的频域分析 取样定理,信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似,一、正交矢量：,定义：如果两个矢量 和 相互垂直，则称 和 为正交矢量。,设在平面上，两个矢量 和 夹角为， 在 上的投影为,4.1信号分解为正交函数,其误差矢量为：,1、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量 是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：,若用 来近似表示 ，则表达式为：,4.1信号分解为正交函数,2、若从解析角度考虑c12的取值问题，可令误差矢量的平方最小：,C12标志着两个矢量相互接近的程度。,4.1信号分解为正交函数,二、正交函数：,设在时间区间（t1，t2）内，两函数f1(t)，f2(t)。 用f1(t)在f2(t)中的分量c12f2(t)来表示f1(t)。即：,这个概念可推广到n维空间。,平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。,4.1信号分解为正交函数,设误差函数为：,为使f1(t)和f2(t)达到最佳近似，用均方误差：,4.1信号分解为正交函数,4.1信号分解为正交函数,当c12为0时，表示两个函数正交。 c12为f1(t) 与f2(t)的相关系数。由此，给出正交函数的 定义：,4.1信号分解为正交函数,1、 在t1,t2区间上定义的非零实函数f1(t)与f2(t)， 若满足条件：,则函数f1(t)与f2(t)为区间t1,t2上的正交函数,2、 若 f1(t)与f2(t)是复变函数，则 f1(t)与f2(t)在t1,t2区 间上正交的条件是：,正交函数的定义：,4.1信号分解为正交函数,三、正交函数集：,定义：在t1,t2区间上定义的n个非零实函数集 g1(t), g2(t) ,gn(t)，其中任意两个函数gi(t)、 gj(t)均满足：,其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集,4.1信号分解为正交函数,任意一个函数f(t)在区间t1,t2内，可以用这n个正交函数的线性组合来近似表示：,在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数c1,c2,cn：,4.1信号分解为正交函数,4.1信号分解为正交函数,四、完备正交函数集,在区间t1,t2内，用正交函数集g1(t),g2(t) ,.,gn(t)，来近似表示函数f(t)，其方均误差为 ：,4.1信号分解为正交函数,所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级数表示：,此级数收敛于f(t)。上式即f(t)的正交分解。,4.1信号分解为正交函数,常用的完备正交函数集:,1、三角函数集： 函数1，cost,cos2t, ,cosnt,.,sint, sin2t, ,sinnt, 当所取函数有无限多个时，在区间t0，t0+T内组成完备正交函数集。其中T=2/,2、复指数函
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