晶体中电子能带理论.ppt

第五章 晶体中电子能带理论,是目前研究固体中电子运动的主要理论基础，量子力学建立后逐渐 发展起来。最初的成就在于对晶体中电子运动给出普遍性的结论。,-说明固体何以有导体、半导体、绝缘体之分,-晶体中电子的自由程为何远大于原子间距,-为分析半导体提供了理论基础，推动了半导体技术的发展,计算机的发展使能带理论发展到对具体材料复杂能带结构进行计算。,能带理论是一个近似理论，固体中存在大量电子，对这种 多电子系统严格求解是不可能的。,引言:,晶体最大的特点就是具有周期性结构，满足平移对称性。,在考虑电子和离子实之间的相互作用的前提下，给出周期 性结构中系统的哈密顿量，并考虑对哈密顿的近似处理 -模型的建立,假定晶体体积 ， 含有N个带正电荷Ze的离子实， Z为单原子的价电子数目，晶体中有NZ个价电子。即：,N个离子实，每个离子实带正电荷Ze，其位矢用 表示；,NZ个价电子，简称为电子，其位矢用 表示。,模型的建立,系统的哈密顿为：,NZ个电子的动能和库仑势,N个离子实的动能和库仑势,电子和离子实之间的库仑势,式中 表示求和时 i j, 源于考虑了两次相互作用,描写体系的薛定谔方程为：,（其中 代表 ， 代表 ）,上述问题是一个NZ+N的多体问题，无法直接求解薛定谔方程， 为此进行如下假设和近似：,1、绝热近似（玻恩奥本海默近似）,认为离子实固定在其瞬时位置上，只关注电子体系的运动。此时， 离子实的动能项和离子实之间的库仑势可不考虑。,为离子实的瞬时位置，是其中的一个参量。一般情况下，离子实是围绕其平衡位置作小振动（晶格振动）。绝热近似忽略晶格振动的影响，认为 即是平衡位置的,2、单电子近似(平均场近似),哈密顿中的 项，使电子的运动彼此关联，难于处理。为此，用一个平均场来代替 项。(每个电子处于其他电子的平均场中),则电子体系的哈密顿进一步简化为：,此式表明，晶体中总的 是NZ个单电子的哈密顿之和，即多体问题 简化为单体问题。,3、周期场近似,单电子势能:,周期场近似的内容是：假定 具有和晶格同样的平移对称性，即：,成立,绝热近似,单电子近似,周期场近似,将复杂的多粒子体系问题简化为周期场中单电子的运动,周期场中单电子薛定谔方程的本征函数（布洛赫波函数）。 从两个极端情况出发（电子受原子核束缚强弱），近自由电子近似和紧束缚近似，了解晶体中电子能带结构的起源。 周期场中电子的动力学行为。 从能带论的角度讲述何以有导体、半导体和绝缘体之分。,本章主要内容：,5.1 布洛赫波函数,一、 布洛赫定理及证明 （有关周期场中单电子薛定谔方程的本征函数）,二、 波矢k的取值与物理意义,本节主要内容:,布洛赫定理(Bloch theorem)及证明,布洛赫定理：,对于周期性势场，即 其中 取布拉维 格子的所有格矢，则单电子薛定谔方程:,的本征函数是按布拉维格子周期性调幅的平面波，即,且,对 取布拉维格子的所有格矢成立。,具有此形式的波函数称为布洛赫波函数。,且,布洛赫定理也可以表述为：对前述定理中薛定谔方程的 每一本征解，存在一波矢 ，使得：,对属于布拉维格子的所有格矢 成立。,布洛赫定理的证明,(1)引入平移对称算符,(2)说明:,布洛赫电子(Bloch electron),把遵从周期势单电子薛定谔方程的电子，或用布洛赫波 函数描述的电子称为布洛赫电子，相应的描述晶体电子行 为的这种波称为布洛赫波。,对属于布拉维格子的所有格矢 ,只要证得,即可。,(3),(1)引入平移对称算符,定义：,性质：,(2)证明：,即平移对称算符与晶体中布洛赫电子的哈密顿算符对易,所以晶体中单电子哈密顿量 具有晶格周期性。,微分算符与坐标原点的平移无关，比如在直角坐标系中：,所以平移对称操作算符与哈密顿算符是对易的。,由于对易的算符有共同的本征函数，所以如果波函数 是 的本征函数，那么 也一定是算符 的本征函数。,根据平移算符的性质：,(3) 证明：,其中,可得到：,即,周期性边界条件：,同理可得：,这样 的本征值取下列形式,为整数,则：,引入矢量：,为整数,式中 为晶格三个倒格基矢，由于 ,-布洛赫定理得证。,可以看出平面波 能满足上式：,因此矢量 具有波矢的意义。,讨论 的意义,取分立值,为使 与本征值一一对应，必须把波矢 的取值限制在 一个倒格子原胞区间内（第一布里渊区）,为整数,波矢k的取值与物理意义,在第一布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞 数目N=N1N2N3。在波矢空间内，由于N的数目很大，波 矢点的分布是准连续的。,电子的波矢密度为：,取值是量子化的，在 空间均匀分布，一个 值 平均占据体积：,为晶体的体积,证明：根据布洛赫定理,下面证明,得证,令：,说明：,在第六章描述的自由电子情形，由于波函数：,对自由电子情形，动量算符有确定的本征值，代表电子的动量。,但是，对于布洛赫电子，由于布洛赫波函数：,所以，布洛赫波函数不再是动量算符的本征函数， 不再代表布洛赫电子的动量。,一般把 称为晶体动量,而把 理解为标志电子在具有平移对称性的周期场中不同状态的量子数。,例：一维周期场中电子的波函数 应当满足布洛赫定理，若晶格常量为a，电子波函数为 f为某一确定函数，试求电子在此状态的波矢。,解：据布洛赫定理，在周期性势场中运动的波函数具有以下特点：,令m-n=l，,在第一