自然界和社会上发生的现象是各种各样的.ppt

引言,自然界和社会上发生的现象是各种各样的，可分为两类： 确定性现象：在一定条件下必然发生某一结果的现象。 其特性是在相同的条件下重复进行实验或观察，它的结果总是确定不变的。 例如：在标准大气压下，纯水加热到1000C时必然会沸腾，半径是R时，圆面积一定是 等。 随机现象：在相同条件下，重复进行实验或观察，它的结果未必是相同的现象。 其特性是重复进行实验或观察，可预言该条件下实验或观察的所有可能结果，但是在实验前或观察前无法预测出现哪一个结果，而实验或观察后必然出现一个可能结果。 例如：掷硬币出现正面反面情况，在一定条件下，某射手向靶射击一弹，观察中靶情况，等等。,概率论与数理统计就是研究随机现象的数量统计规律性的数学分支。 确定性现象是用经典的数学理论方法来研究其确切的因果关系。 概率论研究随机现象有其独特的方法，是通过对随机现象的大量观察揭示其规律性。 同学在学习中要注意其规律和方法。,随机现象其结果的发生呈现偶然性，但在一定条件下对其 进行大量重复实验或观察，它的结果会出现某种规律性，这是 随机现象所呈现的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。 这正是概率论所研究的对象。,第一章 概率论的基本概念,随机试验 我们把对随机现象进行一次试验或观察，统称为随机试验，记为E。 叙述试验，我们要注意到： 1、“在一定条件下，进行一次试验”包括内容： 试验条件； 观察特性（要观察的目的） 2、结果的描述 随机试验有什么特点？下面举例看一看！,随机试验E，样本空间 ， 基本事件，事件，概率的定义,上面所列举的试验，其共同的特点是： 1、可以在相同的条件下重复进行（可重复性） 2、试验的可能结果不止一个，并能事先明确试验的所有可能的结果 （预知性） 3、一次试验之前不能确定预言中哪一个结果会出现（随机性） 具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称为试验，记为E。 我们是通过研究随机试验来研究随机现象的。,（二）随机试验E的每一个可能出现的结果叫做基本事件， 记为 或e,所有基本事件组成的集合叫样本空间，记为,样本点 满足两点： 1 完备性：样本点是E 的所有可能结果 2 互斥性：任何两个基本事件都不会在一次试验中同时发生。,（三）一个或多个基本事件组成的集合叫随机事件。 记为A，B，C,关系：,如,（出现正面）,（第二次出现正面）,（取到卡片上号码大于3）=C =（4，5，6）,（四）频率与概率,频率：在相同条件下，独立重复进行n次试验，在这n次试验中， 事件A发生的次数nA叫事件发生的频数，比值nA/n称为事 件A发生的频率， 记为f n(A)。,特点：（1）频率在一定程度上可以反映事件A发生的可能性大小。 （2）具有波动性的弱点。,频率具有“稳定性”的特性，即当试验次数n逐渐增大时。 频率f n(A)逐渐稳定某一 定数。,例：掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中，正面出现频率 fn (H)的趋势，如图,由上面演示可看出： 在多次试验中，事件的频率总是在一个”定值“附近摆动，而且当试验次数n越大，这个摆动的振幅越小。这个特性叫频率的稳定性。这是大量实践中得到的随机现象的统计规律性。,我们将频率稳定于某一定数定义为A发生的概率，记P(A)。 用它表示事件A发生的可能性大小。,概率的频率定义,在一组不变的条件下，重复作n次试验，记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时，如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动，而且一般地说，随着试验次数的增加，这种摆动的幅度越来越小，称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率，记作P(A)=p.,概率的定义：设S是试验E的样本空间，对于E的每一事件A赋予 一个实数P(A)，如果P(A)满足：,公理（1）对于任何事件A，有,公理（2）对于S，有P(S)=1,公理（3）对于对于两两互斥的事件A1,A2,Am,则称P(A)为事件A的概率,概率的公理化定义,二. 概率的计算,（一）直接计算,古典概型:,1. E的样本空间S只含有限个样本点（基本事件）记 n 2. E的每个基本事件发生的可能性相同,古典概型中:,其中n是S中 的个数,k是A中包含的 个数,（1）计算n，k要用到两个基本原理和排列、组合,1. 乘法原理,如果完成某件事需经k个步骤,第一个 第二个 第k个 步骤有 步骤有 步骤有,n1种方法 n2种方法 nk种方法,必须经过每一步骤才能完成此事。 则完成这件事共有 种不同方法,北京到上海的走法共有,2. 加法原理 设完成某件事有k种方式：,第一种 第二种 第k种 方式有 方式有 方式有 n1种方法 n2种方法 nk种方法 无论通过哪种方式都可以完成此事。 则完成这件事总共有n1+n2+nk 种方法。,北京到天津的共有3+5+6=11种方法,排列公式,如：,该公式可视为以下模型：,m个球放在n个盒子中，每个盒子最多,有一个球（或说m个球都不在同一盒子中）,第一个球任意放在n个盒中之一，有n种方法可放,第二个球任意放在剩下n-1个盒中之一，有n-1种方法,第m个球任意放在剩下n-m+1个盒中之一，有n-m+1种方法,把m个球全放完共有方法：,种,特别：,可重复排列，如：m个球任意放入n个盒子中，盒中 球的个数不限，共有方法 种。,如：从0，1，29个数字中任取7个数字为某城市的电话 号码，该城市最多可安装电话的部数是,组合公式：,（2）抽样方法,10无放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，不放回再 取一个，又不放回，再取下一个,20 有放回抽样（抽取）即是第一次从中任取一个，放回再 取一个，又放回，再取下一个,例1：从1，3，5三个数字中任取一个数字，求取的数字大 于等于3的概率？,解：设A表示事件“任取一个数字大于等于3”。,S=1,3,5, n=3, k=2,例2：从1，3，5三个数字中任取一个数字，不放回的再从中 任取一个数字。求下列事件的概率。 （1）“第一次取的是3，第二次取的是5”=A （2）“取的两个数字是3和5”=B,分析,第一次取球的情况,不放回，第二次抽取,可知,S=(1,3), (1,5), (3,1), (3,5), (5,1), (5,3),解：,n=6,(1) k=1,(2) k=2,此问题，能否用如下方法计算是否对？,例3. 如果例2中的抽样方法为有放回抽样，求P(A),P(B),第一次取球的情况,有放回，第二次抽取,1 3 5,S=(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5),n=9,分析,解：,例4：从分别标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9件同型产 品中，有放回的任取3件，求“取得3件的号码都是偶数”的概率？,分析：由于是有放回的抽取，每取一件产品都有9种不同的取法。 有放回的抽取3件，便有 种不同的结果,而要求取得的号码是偶数，所以只能从标号为偶数的4个中取得， 有放回的取3件，便有 种不同的结果。,解：,设D=“取得3件产品的标号都是偶数”,思考：如果是无放回的抽取，结果如何呢？,例5. 在100件同型产品中有5件废品，其余都是正品。今从100 件中无放回的任取10件，求取的产品正好有三件废品的概率,分析：正好取得3件废品实际上是“正好取得3件废品，7件正品,从100件中无放回的取10件，共有 种不同的取法。,正好取得3件废品，只能从5件废品中任取3件，共有 不同的取法,而另外7件必须从95件正品中取得，其不同的取法有 种。,所以正好取得3件废品共有 种不同的取法,解：,设A=“正好取得3件废品”,“A、B中至少有一个发生时”， “A发生或B发生”与“事件AB发生”是等价的。,（二）用概率性质,（1）集合运算：和、交（积）、差，自己复习,“事件A和B同时发生”， “A发生且B发生”， “A和B都发生”与“事件AB发生”是等价的。,A发生且B不发生时，事件AB发生。,A与B互斥（互不相容）即A与B没有共同元素, A与B对立（互逆）,满足条件：,且,S-A,也称为A的逆事件，记为,（2）概率的性质。要熟记,10 若,则,20 一般加法公式,30,两两互斥，则,如：产品的次品率是5%,（次品）=A,（正品）=,40,例5：甲、乙二人独立破译密码，甲、乙能译出的概率依次 为0.5，0.6，又知甲乙能同时译出的概率是0.4，求密码能 译出的概率？,解：（甲能译出）=A,（乙能译出）=B,（甲乙能同时译出）=AB,由条件知 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,P(密码能译出)= P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB),=0.5+0.6-0.4=0.7,例6：已知事件A的概率P(A)=0.6，,求,法一：条件扩大,法二：,B,A,例7：在同型产品中，有8件次品，其余为正品，今从这100 件产品中，任取10件。求至少取得1件次品的概率。,解：记A=“至少取得一件次品”.,法一：用古典概率知：,法二：先计算,=“不取得次品”,三、条件概率与乘法公式,例：甲、乙两厂生产同一种零件，它们的产品情况如下表：,产品混放在一起，从中任取一件产品， （1）“取得的一件产品是甲厂生产的”=A。 求P(A) （2）“取得的一件产品是次品”=B。求P(B) （3）“取得的一件产品是甲厂生产的次品”=AB 求P(AB) （4）已知取得的一件是甲厂的产品，求它是次品的概率，,解：,注意：以上四个问题的不同之处，什么叫“条件”。,定义：若P(A)0,A发生的条件下B发生的条件概率为,若P(B)0,B发生的条件下,A发生的条件概率为,计算方法（一）公式法 * （二）直接计算 *,注：条件概率具有概率的性质。请自己总结,（2） 乘法公式,若P(A)0有,P(B)0有,注意： 如何把实际问题表述成事件的关系运算来求解。, 区分,如：一批产品是甲、乙二厂生产的，从中任取一件产品。“任取一件是甲厂的产品”=A，“任取一件是次品”=B，,求甲厂的生产的次品的概率。如何表达？ 甲厂产品的次品率。如何表达？,例8:盒中有10件同型产品，其中8件正品，2件次品。现从 盒中无放回的连取2件，求第一次、第二次都取得正品的概率。,解：记A=“第一次取得正品”,B=“第二次取得正品”,则 AB =“第一次取得正品，第二次也取得正品”,因为在第一次已取得正品下，第二次在取得产品时，盒中只剩 9件产品，其中正品只有7件。所以,由乘法公式得：,例9:将6个球（其中3个红球，3个白球）随机放入3个盒子中。 求每个盒子正好都放入一个红球一个白球的概率。,解：记Ai =“第i个盒子正好放入一个红球一个白球”，i=1,2,3,则“每盒正好放入一个红球一个白球”事件可表成A1A2A3。,由概率的乘法公式得：,例10:某厂产品的次品率是0.04，正品中一等品占90%， 求从这批产品中任取一件是一等品的概率?,解：设“正品”=A，“一等品”=B,已知,P(A)=0.96,P(任取一件产品是一等品)=P(B),(4) 事件的独立性,如果,说明B的发生对A发生的概率无影响,说明 A的发生对B发生的概率无影响,称 A与B互相独立。,定义：若事件A,B满足,则称A和B互相独立。（反之也成立）,若,互相独立，则,注意：,互相独立的定义应是：,两两独立,必须满足以上所有等式都成立。,有,小结：（1）,A和B独立,一般情况,（2）如果已知A与B相互独立，则可知：,（3）如果A与B相互独立，则,如甲、乙二人的射击问题。,例11:已知事件A与B相互独立,且知,则,解：,例12:已知,（1）若A与B互斥。,求：,（2）若A与B互相独立,求：,解：,（1）若A与B互斥。,（2）若A与B互相独立,注意：A与B对立（互逆）， A与B互斥（互不相容）， A与B独立的概念区别，用处。,A与B对立,A与B互斥,A与B互相独立,？,？,A,B,若,则,即,例12:甲、乙两名稳健射手各对目标射出一发子弹，记： A=“甲命中目标”，B=“乙命中目标”，已知,求：（1）甲、乙都命中目标的概率。 （2）甲乙至少有一人命中目标的概率。,解：因为甲、乙二人都稳健，可认为其中一人命中与否， 不影响另一人命中与否的概率，即A与B互相独立。,（2）法一：,法二：,且易知 与 独立,例13:袋中有4个红球，3个白球，每次从中任取一个不放回的 取二次，求下列事件的概率。 （1）第二次才取到红球。（2）第二次取到红球。,解：设 表示第i次取到的是红球。i=1,2,(1) P第二次才取到红球,（2）,四、全概率公式与贝叶斯公式,设S为试验E的样本空间，B1，B2，Bn为E的一组事件，且,即,则,（全概率公式）,（贝叶斯公式）,小结：用全概率公式求解问题一般应具有三个条件。,（1）问题是求一个事件（如设为A）的概率P(A)；,（2）A的发生可能有“多种原因”或“多种条件”或“多种情况 下发生”的诸事件记为： B1，B2，Bn，满足,和,（3）由题中条件易求出,注意,（4）,k=1,2,.n,例14 某库内有同型产品1000件，其中500件是甲厂生产的 300件是乙厂生产的，200件是丙厂生产的。已知甲厂产品 次品率为1%，乙厂产品次品率为2%，丙厂产品次品率为4%， 今从库内任取一件产品，求： （1）求取得一件次品的概率。 （2）若已知取得