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第四章 拉氏变换与S域分析,拉氏变换定义;拉氏变换性质 拉氏逆变换;S域分析 系统函数零极点时域特性和稳定性 系统函数零极点频响特性;拉氏变换傅里叶变换,iv)卷积 相乘,建立系统函数的概念,ii)微积分 乘除法,微分方程 代数方程,4.1 拉氏变换定义、拉氏变换性质,一、拉氏变换 1引言,iii)指数、超越 初等函数,i)同时给出特解和齐次解,初始条件自动包含在变换式中,v)零极点 时域、频响、稳定性,零、极点分析的概念,赫维赛德 19世纪末算子法,依据拉普拉斯著作,重新定义,适用:连续线性时不变系统,作用:简便变换线性时不变系统时域模型,分析步骤:时域-复频域-时域,i) 通常为因果信号,若 , 则,ii) 不绝对可积,但 容易满足绝对可积条件,定义,另一方面,iii),为单边拉氏变换对,象函数,原函数,双边拉氏变换:,3收敛问题,定义,为何值, 收敛:,含义: 满足绝对可积的条件,即:,单边拉氏变换,右边,收敛坐标,收敛轴,收敛域,时间有限的有界信号,收敛坐标位于,收敛域整个s 平面,( ,与 无关),有界非周期信号: 收敛域至少为 s 右半平面,有界周期函数:,,收敛域为 s 右半平面,综上:单边拉氏变换收敛域形式为,比指数函数增长还快的信号,无拉氏变换:如,4积分限问题,例:,与 的 部分函数值无关, 与 问题:,利用拉氏变换解微分方程时,可以直接利用已知的起始状态,例1:求 的单边拉氏变换:,解:,解:,:,:,二、拉氏变换性质,1线性,例3:求 的拉氏变换(分 a 为实数和虚数两种情况),解: i)当 a 为实数,ii)设 a 为虚数,即,则,解:,例3:求 的拉氏变换,解:,2时域微分,ii) 注意:本书采用,例4:电感的 s 域模型:,若,证明:,3时域积分,故:,或令: 则:,例5:电容的S域模型,4频域微分,证明:,故:,例6:求 的拉氏变换(n为正整数),求 的拉氏变换,解:,5频域积分,证明:,对比,),例7:求 的拉氏变换,解:,P181,表4-1,常用函数拉氏变换,6. 时移,证明: ,例8:求拉氏变换, ,例9:周期信号的拉氏变换,解:,7S域平移,证明:,例10:求,的拉氏变换, , , ,解:, , , ,8尺度变换,,则,证明:,例11:,解:,先尺度,后时移 先时移,后尺度,9初值定理,证明:,,其中F1(s)为真分式,,若F(s)为假分式,令,P(s)为多项式,则,因为 ,,若F(s)中含延时因子,,初值定理仍然成立,,则,因为,例12:求初值,,即,解:,,即,10终值定理,证明:,条件:F(s)在s平面虚轴和右半平面解析(无极点), 在原点处只允许一阶极点,例13:求终值,解:,不存在,不存在,不存在,首先应判断是否满足终值定理的条件,然后再求解,11时域卷积,条件:,比较,无条件,证明:,12S域卷积,证明:,比较,作业4-1(3)(6)(9)(12)(15)(18), 4-2,4-3(3)(4),4-5, 4-20, 4-
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