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均值不等式,引例 如果a,bR, 那么a2+b22ab, 当且仅当a=b时, 等号成立.,证明: (1)作差法 a2 + b2 2ab = ( a b )2 当 a b时, (a b)2 0 ; 当a=b时, (a b)2 =0 所以( a b )20, 即 a2 + b22ab,(2) 数形结合 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a 、b，那么正方形的边长为 .这样，4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD的面积,故得 a2+b22ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 a2+b2=2ab,定理 如果a,b是正数, 那么,其中 称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数,所以基本不等式也称为均值不等式,(3)数形结合 如图, AB是圆的直径, 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD. 易证RtACDRtDCB,则,A,B,C,D,E,a,b,而这个圆的半径为 , 显然会大于或等于CD, 即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时, 等号成立.,例 已知x,y都是正数, 求证: (1)如果积 xy 是定值P,那么当x =y时,和 x+y有最小值 (2)如果和 x+y是定值S,那么当x =y时,积 xy 有最大值,C,A.最大值为2，最小值为2 B.最大值为2，但无最小值 C.最小值为2，但无最大值 D.最大值为2，最小值为0,A,4,ab9,5,题1 (1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短. 最短的篱笆是多少? (2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大. 最大面积是多少?,解: (1)设矩形菜园的长为 x m, 宽为y m, 则 xy=100, 篱笆的长为 2(x+y)m.,(2)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m, 则 2(x+y)=36, x+y =18,矩形菜园的面积为 xy m2.,题2 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池, 其容积为4800m3, 深为3m. 如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最
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