酉变换与正交变换.ppt

2019年7月23日2时49分,酉变换与正交变换(续),2019年7月23日2时50分,上节回顾：酉变换,数域F上内积空间V上的保长变换,数域F上内积空间V上的保内积变换,数域F上内积空间V上保长变换与保内积变换等价性,2019年7月23日2时50分,上节回顾：酉变换,数域F上内积空间保长同构,数域F上有限n维内积空间保长同构性质及判定方法,V Fn,两有限维内积空间保长同构的充要条件维数相同。,2019年7月23日2时50分,上节回顾：酉变换,酉变换定义,复数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换,酉变换判定定理,定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 U是一个酉变换;, U把标准正交基变为标准正交基; U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.,2019年7月23日2时49分,证明(续) 5) 1):,2019年7月23日2时49分,2019年7月23日2时49分,2019年7月23日2时49分,正交变换,正交变换定义,实数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换,2019年7月23日2时49分,正交变换,性质1 正交矩阵的行列式只可能为1或-1 .,正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行列式为-1,则称A为第二类正交变换.,2019年7月23日2时50分,正交变换,性质2 正交矩阵的特征值的绝对值等于1.,2019年7月23日2时50分,正交变换,性质3 正交矩阵的对应于不同特征的特征向量正交.,2019年7月23日2时49分,作业,Page294 9.4.2, 9.4.3,2019年7月23日2时49分,第五节 实对称矩阵相似对角化,一. 实对称矩阵的特征值和特征向量,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,2019年7月23日2时49分,特征值、特征向量,A = ,(EA) = 0,|EA| = 0,特征方程 (characteristic equation),特征多项式 (characteristic polynomial),EA,特征矩阵,特征值,特征向量,2019年7月23日2时50分,一. 实对称矩阵的特征值和特征向量,证明,定理1. 实对称矩阵的特征值均为实数.,2019年7月23日2时50分,一. 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理2. 设1, 2是实对称矩阵A的两个不同 的特征值, p1, p2是对应与它们的特征向量, 则p1与p2正交.,事实上, 1 p1T = (Ap1)T = p1TAT = p1TA,于是(12) p1Tp2 = 0, 但是1 2, 故p1Tp2 = 0.,从而1p1Tp2 = p1TAp2 = p1T(2p2) = 2p1Tp2.,2019年7月23日2时49分,定理3. 对于任意n阶实对称矩阵A, 存在正交矩阵Q, 使得 Q 1AQ = = diag(1, 2, , n), 其中1, 2, , n为A的全部特征值,Q = (q1, q2, , qn)的列向量组是A的对应于1, 2, , n的标准正交特征向量.,求正交矩阵的一般步骤-三步,求A的特征值- 求每个特征值的特征向量并化 为标准正交向量组-写出正交阵Q与对角阵,二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵,2019年7月23日2时49分,5实对称矩阵的相似对角化,例1. 把A =,正交相似对角化.,解: |EA| = (2)(4)2. 所以A的特征值为1= 2, 2= 3= 4. (2EA)x = 0的基础解系1= (0,1, 1)T. (4EA)x = 0的基础解系2=(1, 0, 0)T, 3=(0, 1, 1)T. 由于1, 2, 3已经是正交的了, 将它们单位化即 可得,4 0 0 0 3 1 0 1 3,2019年7月23日2时49分,5 实对称矩阵的相似对角化,注: 对于2=3=4, 若取(4EA)x = 0的基础解系 2=(1, 1, 1)T, 3=(1, 1, 1)T, 则需要将它们正交化. 取1= 2,再单位化, 即得,=,1 1 1,Q = (q1, q2, q3),2019年7月23日2时49分,5 实对称矩阵的相似对角化,例2. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = (1, 2, 2)T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.,证明(1): 由定理3可知()成立.,()因为=1是A的二重特征值, 所以A有两个 线性无关的特征向量1, 2对应于=1.,注意到1, 2, 3线性无关, 而, 1, 2, 3 线性相关, 可设 =k11+k22+k33,故 =k11+k22是对应于=1的特征向量.,由3, = 3, 1 = 3, 2 = 0得k3=0,2019年7月23日2时49分,5 实对称矩阵的相似对角化,解(2): 由(1)可知对应于=1两个线性无关的,将正交向量组1, 2, 3单位化得正交矩阵,例2. 设3阶实对称矩阵A的特征多项式为,(1)2(10), 且3 = (1, 2, 2)T是对应于 =10的特征向量. (1)证明: 是对应于= 1的特征向量 与3正交; (2)求A.,特征向量可