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文档简介
1,第一章 集 合,1. 集合的概念及其表示 2. 集合之间的关系 3. 集合的运算 4. 容斥原理,2,本章学习目标,通过本章的学习,应达到如下目标: 深入理解掌握集合的概念和不同的表示方法; 理解集合间的关系和特殊集合,包括幂集等; 熟练掌握集合的基本运算(交、并、补、差、对称差等);理解集合运算的规律和主要证明方法; 了解集合的图形表示法,能够借助文氏图直观表示复杂的集合;,3,1.1 集合论(set theory),十九世纪数学最伟大成就之一 集合论体系 朴素(naive)集合论 公理(axiomatic)集合论(蔡梅罗(Zermelo ) ) 创始人康托(Cantor),Georg Ferdinand Philip Cantor 1845 1918 德国数学家, 集合论创始人。他在这一领域的贡献包括实数集合不可数性的发现。,4,什么是集合(set),集合:是一种原始概念,不能精确定义。一些具有某种特点的对象的整体就构成集合,这些对象称为元素(element)或成员(member)。 用大写英文字母A,B,C,表示集合 用小写英文字母a,b,c,表示元素 aA:表示a是A的元素,读作“a属于A” aA:表示a不是A的元素,读作“a不属于A”,5,什么是集合(set)(续),例 : (1) 偶素数集合2, 称为单元集。 (2) 二进制的基数集合0, 1。 (3) 英文字母(大写和小写)的集合。 (4) C#语言的基本字符构成一个字符集。 (5) 计算机主存的全部存储单元集合。 (6) 全体实数的集合。 (7) 广工全体师生的集合。,6,集合的性质1(外延 (extension) 公理),1. 外延 (extension) 公理-两个集合A和B相等的充分必要条件是它们有相同的元素。 I:互异性: 一个集合的各元素是可以互相区分开的, 即每一元素在一个集合中只出现一次。 II:无序性: 集合中元素排列次序无关紧要, 即集合表示形式的不唯一性。例:a, b = b, a III. 确定性:任一元素是否属于一个集合, 回答是确定的。,7,集合的性质2(正则 (regularity)公理),3. 对任何集合S, 有S S;只能说 S S,不能说S=S。(正则 (regularity) 公理的推论) 从而规定了集合S与 S的不同层次性。 说明: 1.集合与其成员是两个截然不同的概念, 集合的元素可以是任何具体或抽象事物, 包括别的集合, 但不能是本集合自身。 2.先有成员后才形成集合, 所以一个正在形成中的集合并不能作为一个实体充当本集合的成员。,8,1.2 数的集合表示,N:自然数(natural numbers)集合, N=0,1,2,3, Z:整数(integers)集合, Z=0,1,2,=,-2,-1,0,1,2, Q:有理数(整数商Quotient : i/j, j 0) R:实数(Real numbers)集合 C:复数(complex numbers)集合 P:素数或质数 (Prime)集合,9,1.3 集合的表示,列举法(枚举法) 描述法(特征法),10,1.列举法(roster),列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来,例如 A=a,b,c,d,x,y,z B=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 集合中的元素不规定顺序。 C=2,1=1,2 集合中的元素各不相同。 C=2,1,1,2=2,1,11,用列举法表示集合并不总是可能的。 例如, 区间0, 1中的所有实数的集合就不能用这种方法给出。 从计算机的观点看, 列举法是一种“静态”表示法, 若把全部列举的数据都存储在计算机中, 那将占用大量的存储空间。,12,2.描述法(defining predicate),也称作特征法。以某个小写英文字母表示该集合中的任意一个元素,并指出该类元素的共同特征。 例 : 正奇数集合 Odd = m | m=2n + 1且nN。 例 : 0, 1上的所有连续函数所形成的集合可记成 : C0, 1 = f (x) | f (x)在0, 1上连续。,13,描述法(defining predicate),描述法也称作谓词法,性质描述法。 用谓词P(x)表示x具有性质P ,用x|P(x)表示具有性质 P 的集合,例如 P1 (x): x是小写英文字母 A=x|P1 (x)=x| x是英文字母 =a,b,c,d,x,y,z P2 (x): x是十进制数字 B=x|P2(x)= x|x是十进制数字 =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,14,描述法(续),两种表示法可以互相转化,例如 E=2,4,6,8, /列举法 =x|x0且x是偶数 /描述法 =x|x=2(k+1),k为非负整数 =2(k+1) | k为非负整数 有些书在列举法中用:代替|, 例如 2(k+1): k为非负整数,15,1.4 集合之间的关系,子集、真子集(包含关系与相等关系) 空集、全集 幂集,16,子集:设A和B是两个集合, 若A中的每一个元素都是B的元素, 则称A是B的子集(subset), 也称B包含(include)A, 记作A B(或B A)。 真子集:若A为B的子集, 且A B, 则称A为B的真子集(proper subset), 或称B真包含A, 记作A B, B称为A的超集(superset)。,集合的包含关系:子集与真子集,17,子集、真子集(举例),设A=England国家足球队全体成员 B=England国家足球队前锋成员 C=欧文, 鲁尼 则有 B A, C B, C A 也有 B A, C B, C A,18,子集(举例),设A=a,b,c,B=a,b,c,d,C=a,b,则 AB, CA, CB, C AB,A,C,B,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,19,例 :N Q R C。 例 :台湾人都是中国人, 台湾人真包含于中国人, 即 台湾人 中国人。 “”与“”“”的区别: 符号“”表示元素与集合间的隶属关系; 例: 1N /* 1N,正确与否?*/ “” “”是集合之间的包含关系, “” “”的两边均是集合, 地位平等。 集合之间可以没有任何关系。,真子集(举例),20,包含关系的性质,设A、B、C为3个集合, 由定义可知集合的包含关系有如下性质: (1) A A。 (自反性) (2) 若A B且B A, 则A = B。(反对称性) (3) 若A B且B C, 则A C。(传递性),21,“”传递性证明,若AB,且BC, 则AC 证明: 因为 AB ,所以对于任意属于A的元素x,都有xB; 又因为BC,则xC; 任何属于A的元素都属于C。即: AC,22,“”传递性证明,若AB,且BC, 则AC 证明: 要证AC,即证AC并且AC 首先证明AC AB AB 并且 AB AB 同理 BC BC, 所以AC. 反证法证明AC 假设A=C, 则BCBA, 又AB, 故A=B, 此与AB矛盾, 所以A=C不成立,因而AC成立. 所以, AC.,23,相等关系定义1:由外延公理, 集合A与集合B的元素完全相同时, A = B。 相等关系判定定理: 设A和B是任意两个集合, 若A B 且 B A, 则称A与B相等, 记作 A = B。,集合的相等关系,24,集合的相等关系有如下性质: (1) A = A。 (自反性) (2) 若A = B, 则B = A。 (对称性) (3) 若A = B且B = C, 则A = C。 (传递性) 两个相等的集合并不意味着它们是用同样的方式定义的。 例 :设集合A是方程 x2 x = 0 的解的集合, A = x | x2 x = 0; x2 x = 0 的解为0和1 B = 0, 1; 则 A = B。,25,空集(empty set),空集:不包含任何元素的集合称为空集(empty set), 记作, 或 。 例 :方程 x2 + 1 = 0 的实根集合是空集。 这说明空集是客观存在的。 空集的引入, 可以使许多问题的叙述得到简化。 下列命题成立: ; ,26,例1 :判断下列命题的真假: (1) (2) (3) (4) Solution :(2)为假; 其余均为真。 例2: 列出 B = 和 C = 的全部(真)子集。 Solution : 且 ; B有两个子集: 和 ; B只有一个真子集 : 。 C, 所以C只有一个子集, 没有真子集。 例3:是否存在集合A和B, 使得 AB 且 A B。 Solution :存在。例 A = a, B = a, a。,27,(1) 空集是一切集合的子集。 (2) 空集是唯一的。 proof 若存在空集合 1和2, 由(1)知 1 2 和 2 1, 根据集合相等的定义 1 = 2。 对于每个非空集合S, 至少有两个不同的子集, 即 S 和 S S。 我们称和S自身是S的平凡子集。,空集的性质,28,全集,全集: 如果限定所讨论的集合A都是某个集合U的子集,则称集合U是全集。某些书上也记作E。 全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.全集只包含与讨论有关的所有对象, 并不一定包含一切事物。 例:讨论(a,b)区间里的实数性质时, 可以选U=(a,b), U=a,b), U=(a,b, U=a,b, U=(a,+),U=(-,+)等,29,幂集(power set),幂集: 设A是集合,A的全体子集组成的集合,称为A的幂集,记作P(A),或者2A 。A称作P(A)的指标集。 P(A)=x|xA 注意: xP(A) xA。也就是说,P(A)中的每一个元素都是集合,这些集合中的元素全部都只能来自集合A。 例:A=a,b, P(A)=,a,b,a,b.,30,集合的基,基:也称作“势”。集合A中元素的个数。 基数是有限数的集合称为有限集, 否则称为无限(infinite)集。一般仅对有限集讨论其基的值。 定理:设A是有限集,且|A|=n,则A的幂集的基|P(A)|= 2n 。 例:A=a,b, P(A)=,a,b,a,b. |A|=2,则|P(A)|=4,31,给定一个有限集, 要保证不重复和不遗漏地写出它的全部子集, 办法之一就是将子集按基数由小到大地分类, 相同基数类的子集再按字母数字顺序逐个地写出。 例:求出集合S = a, b, c的所有子集。n=3 Solution: 0元子集, 只有一个C30个: ; 1元子集, 有C31个: a, b, c; 2元子集, 有C32个: a, b, a, c, b, c; 3元子集, 有C33个: a, b, c 。 共有子集数: C30+C31+C32+C33= (1+1)3 = 23 = 8,32,子集与二进制数,通过建立子集与二进制数的关系,求出集合的所有子集。 A=a1, a2, , an, |A|=n,= a2, a3,A的子集与n位二进制数一一对应,= a1, a3 , an,B101001,B011000,33,子集与二进制数(举例),例:设A = a, b, c, |A| = 3, P(A) = B0= B000 = , B1= B001 =c, B2= B010 =b, B3= B011 =b,c, B4= B100 =a , B5= B101 =a,c B6= B110 =a,b , B7= B111 = a,b,c ,34,若|A|=n,A的任一子集都可用n位二进制数中的某个数来表示;反之, 若给出2n 1中的任何一个值, 就能够确定A相应的子集。 我们只用下标来确定子集的各元素, 而字母B则是无关紧要的。 若使用十进制数作为子集的下标, 则转换为A的基数位数的二进制数后同样处理。,35,例 : 设S = a1, a2, ., a8, 由B17 和B31所表示的S的子集各是什么? 应如何表示子集a1, a8和a3, a8, a7? 解 S有28 = 256个不同的子集, 可表示为B0, B1, B2, B3, , B255, 二进制下标有8位. B17 = B00010001 = a4, a8 B31 = B00011111 = a4, a5, a6, a7 , a8 a1, a8 = B10000001 = B129 a3, a8, a7 = B00100011 = B35。,36,空集的幂集举例,1. |=0,|P
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