2016年高考江苏数学试题及答案(word解析版).doc

2016年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考公式：样本数据的方差，其中棱柱的体积，其中是棱柱的底面积，是高棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，为高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 请把答案填写在答题卡相应位置上（1）【2016年江苏，1，5分】已知集合，则_【答案】【解析】由交集的定义可得【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题（2）【2016年江苏，2，5分】复数，其中为虚数单位，则的实部是_【答案】5【解析】由复数乘法可得，则则的实部是5【点评】本题考查了复数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（3）【2016年江苏，3，5分】在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是_【答案】【解析】，因此焦距为【点评】本题重点考查了双曲线的简单几何性质，考查学生的计算能力，比较基础（4）【2016年江苏，4，5分】已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是_【答案】【解析】，【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用（5）【2016年江苏，5，5分】函数的定义域是_【答案】【解析】，解得，因此定义域为【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，二次不等式的解法，难度不大，属于基础题（6）【2016年江苏，6，5分】如图是一个算法的流程图，则输出的值是_ 【答案】9【解析】的变化如下表：159975则输出时【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答（7）【2016年江苏，7，5分】将一个质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有个点为正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_【答案】【解析】将先后两次点数记为，则共有个等可能基本事件，其中点数之和大于等于10有六种，则点数之和小于10共有30种，概率为【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用（8）【2016年江苏，8，5分】已知是等差数列，是其前项和若，则的值是_【答案】20【解析】设公差为，则由题意可得，解得，则【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用（9）【2016年江苏，9，5分】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是_【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点【点评】本题考查正弦函数与余弦函数的图象，作出函数与在区间上的图象是关键，属于中档题（10）【2016年江苏，10，5分】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是_【答案】【解析】由题意得，直线与椭圆方程联立可得，由可得，则，由可得，则【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查化简整理的运算能力，属于中档题（11）【2016年江苏，11，5分】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上 其中，若，则的值是_【答案】【解析】由题意得，由可得，则，则【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键（12）【2016年江苏，12，5分】已知实数满足 则的取值范围是_【答案】【解析】在平面直角坐标系中画出可行域如下：为可行域内的点到原点距离的平方可以看出图中点距离原点最近，此时距离为原点到直线的距离，则，图中点距离原点最远，点为与交点，则，则【点评】本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键（13）【2016年江苏，13，5分】如图，在中，是的中点，是上两个三等分点，则的值是_【答案】【解析】令，则，则，则，由，可得，因此， 因此【点评】本题考查的知识是平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，难度中档（14）【2016年江苏，14，5分】在锐角三角形中，则的最小值是_【答案】8【解析】由，可得（*），由三角形为锐角三角形，则，在（*）式两侧同时除以可得，又(#)，则，由可得，令，由为锐角可得，由(#)得，解得， ，由则，因此最小值为，当且仅当时取到等号，此时，解得（或互换），此时均为锐角【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（15）【2016年江苏，15，14分】在中， （1）求的长； （2）求的值解：（1），为三角形的内角，即：（2），又为三角形的内角， ，【点评】本题考查正弦定理，考查两角和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题（16）【2016年江苏，16，14分】如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，求证：（1）直线平面； （2）平面平面解：（1）为中点，为的中位线，又为棱柱，又平面，且，平面 （2）为直棱柱，平面，又，且，平面，平面，又，平面，又平面，又，且平面，平面，又，平面平面【点评】本题考查直线与平面平行的证明，以及平面与平面相互垂直的证明，把握常用方法最关键，难答不大（17）【2016年江苏，17，14分】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍 （1）若，则仓库的容积是多少； （2）若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？解：（1），则，故仓库的容积为（2）设，仓库的容积为，则，当时，单调递增，当时，单调递减，因此，当时，取到最大值，即时，仓库的容积最大【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档（18）【2016年江苏，18，16分】如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：及其上一点 （1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程； （2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；（3）设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围解：（1）因为在直线上，设，因为与轴相切，则圆为，又圆与圆外切，圆：，则，解得，即圆的标准方程为（2）由题意得， 设，则圆心到直线的距离，则，即，解得或，即：或（3），即，即，又，即，解得，对于任意，欲使，此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，必然与圆交于两点，此时，即，因此对于任意，均满足题意，综上【点评】本题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用（19）【2016年江苏，19，16分】已知函数 （1）设，求方程的根；若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值； （2）若，函数有且只有1个零点，求的值解：（1），由可得， 则，即，则，由题意得恒成立，令，则由可得， 此时恒成立，即恒成立时，当且仅当时等号成立，因此实数的最大值为（2），由，可得，令，则递增，而，因此时，因此时，则；时，则；则在递减，递增，因此最小值为， 若，时，则；logb2时， 则；因此且时，因此在有零点， 且时，因此在有零点， 则至少有两个零点，与条件矛盾； 若，由函数有且只有1个零点，最小值为，可得， 由，因此，因此，即，即， 因此，则【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力（20）【2016年江苏，20，16分】记对数列（）和的子集，若，定义；若，定义例如：时，现设（）是公比为的等比数列，且当时， （1）求数列的通项公式； （2）对任意正整数（），若，求证：；（3）设，求证：解：（1）当时，因此，从而，（2）（3）设， ，因此原题就等价于证明由条件可知 若，则，所以 若，由可知，设中最大元素为，中最大元素为， 若，则由第小题，矛盾因为，所以，所以， ，即综上所述，因此【点评】本题考查数列的应用，涉及新定义的内容，解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述数学【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（21-A）【2016年江苏，21-A，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，在中，为垂足，是中点，求证：解：由可得，由是中点可得，则，由可得，由可得，因此，又可得【点评】本题考查三角形的性质应用，利用C+DBC=ABD+DBC=90，证得ABD=C是关键，属于中档题（21-B）【2016年江苏，21-B，10分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵，矩阵的逆矩阵，求矩阵解：，因此【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，属于中档题（21-C）【2016年江苏，21-C，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆的参数方程为，设直线与椭圆相交于两点，求线段的长解：直线方程化为普通方程为，椭圆方程化为普通方程为，联立得，解得或，因此【点评】本题考查直线与椭圆的参数方程，考查了参数方程化普通方程，考查直线与椭圆位置关系的应用，是基础题（21-D）【2016年江苏，21-D】（本小题满分10分）（选修4-4：不等式选讲）设，求证：解：由可得，【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分请把答案写在答题卡的指定区域内（22）【2016年江苏，22，10分】如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和求证：线段上的中点坐标为； 求的取值范围解：（1），与轴的交点坐标为，即抛物线的焦点为，（2） 设点，则：，即，又关于直线对称，即，又中点一定在直线上，线段上的中点坐标为； 中点坐标为，即，即关于有两个不等根，【点评】本题考查抛物线方程的求法，直线与