考研数学]北京航天航空大学线性代数1.ppt

第六章 二次型,平面解析几何中的以原点为中心的二次有心曲线方程,可通过坐标旋转变换,消去2bxy，化为,从此标准型可以识别曲线的类型, 从而研究曲线的性质.,从代数学的观点看, 化标准形就是通过变量的线性变化化简一个二次多项式, 使它只含平方项.,定义,含有n个变量x1, x2, , xn的二次齐次多项式,称为一个n元二次型, 简称二次型.,第一节 化二次型为标准形,第二节 二次型的规范形,第三节 正定二次型,第四节 实二次型通过正交变换化为标准形,第五节 典型例题,第一节 化二次型为标准形,一 二次型的矩阵表示,记为,称为二次型的矩阵表示, 建立了对称矩阵与二次型之间的一一对应关系. 当aij为实数时, f 称为的实二次型，当 aij为复数时， f 称为复二次型.,=xAx,A是对称矩阵.,例如,二次型讨论的主要问题: 在新旧变量之间, 寻找适当的线性变换,使二次型只含新变量的平方项, 即将上式代入后,这种只含平方项的二次型, 称为二次型的标准形.,线性变换的矩阵表示,或 x=Cy.,当矩阵C=(cij)mn满秩时, 称为满秩线性变换. 当C为实矩阵时, 称为实线性变换, 当C为复矩阵时, 称为复线性变换.,本章讨论的是满秩线性变换. 从x=Cy可以得到, 只有|C|0时, 新旧变量之间的关系是唯一确定的.,二次型经过满秩变换后还是二次型.,=xAx=(Cy)A(Cy),= y(CAC)y= yBy,即 B= CAC.,定义 设A,B为n阶方阵, 若有n阶可逆矩阵C,使得,B= CAC,则称A与B合同, 记为,AB.,合同关系的性质,(1) 自反性,(2) 对称性,(3) 传递性,说明矩阵之间的合同关系是等价关系.,(4) 合同变换是保秩变换.,(5) 合同变换保持对称性.,对矩阵A用满秩矩阵C做运算CAC, 称为对A进行合同变换.,对称矩阵A的秩称为A所对应的二次型f =xAx的秩.,二 用配方法化二次型为标准形,对于任意n元二次型f =xAx是否可以用满秩变换x=Cy化为,而这二次型对应于对角矩阵. 上述问题就变为任意一个对称矩阵是否合同于一个对角形矩阵？,如果可以, 变换x=Cy中的矩阵C如何找出.,抛物线,的图形与y=ax2相同.,配方可以得到.,以下通过例子说明n元二次型配方的一般方法.,例1 用配方法将二次型,化为标准形.,解,(1) 三个平方项都存在, 可任意选定一个变量配方(将含有x的项配成完全平方),(2) 在剩余项中再选定一个含有平方项的变量进行配方,配方完毕.,取新变量,即,或,化为标准形,所用变换x=Cy中,这时,例2 用配方法化二次型,为标准形, 并写出所用的满秩线性变换.,解,不含平方项, 因此先作变换,代入后按例1方法配方.,其中,或,经过两次满秩变换化为标准形, 变换依次为,x=C1y, y=C2z,其中,于是,x=C1y=(C1C2)z,容易验证,配方法化二次型为标准形的一般过程,(1) 观察所给的二次型是否含有平方项, 若不含平方项, 先作一次满秩变换, 使其出现平方项.,(2) 对含有平方项的二次型依次配方(例1).,定理1.1 任意一个n元二次型xAx总可以通过满秩线性变换x=Cy化为只含有平方项之和的标准形:,定理1.2 任意一个n阶对称矩阵A总存在满秩矩阵C, 使CAC为对角形. 即任意一个对称矩阵都与一个对角形矩阵合同.,例3 化下列二次型为标准形, 并求所用的满秩线性变换.,解,令,原二次型化为,所用满秩变换为,x=Cy, 显然,三 用矩阵的初等变换化二次型为标准形,对任意对称矩阵A, 存在满秩矩阵P, 使得,由于C是满秩矩阵, 则它可分解成一系列初等矩阵的乘积, 令,C=P1P2Ps,其中Pi(i=1, 2, , s)为初等矩阵.,于是,CAC=(P1P2Ps)A(P1P2Ps),=PsP2P1AP1P2Ps,=Ps(P2(P1AP1)P2)Ps,P(i, j)AP(i, j),相当于把A的第i, j行互换, 接着把所得矩阵的第i, j列互换.,P(i(k)AP(i(k),相当于把A的第i行乘以k, 接着把所得矩阵的第i列乘以k.,P(i(k), j)AP(i(k), j),相当于把A的第j行的k倍加到第i行, 然后将所得矩阵的第i列的k倍加到第j列.,以上说明对初等矩阵Pi, PiAPi表示对A进行成对的对称初等变换, 经过若干次变换, A化为对角形矩阵.,而,C= P1P2Ps=EP1P2Ps,说明对单位矩阵E进行若干次与A相同的列变换便可得到变换矩阵C.,将A的对角化过程与求变换矩阵C的过程同时进行, 可表示为,对A作对称的初等行列变换,对E只