《元函数微分学》PPT课件.ppt

,1 一元函数微分学,1 函数极限的几何解释 2 函数的左极限 3 x 时的极限 4 x+ 时的极限 5 数列的极限 6 无穷大 7 函数的连续性 8 导数的几何意义 9 微分的几何意义,10,17 弧微分ds的几何意义,对函数进行全面讨论并画图：,y = x 2arctan x,11,12,13,14,15,16,主 目 录（1 18）,18 曲率,x,y,0,f (x),A,当,该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,1. 函数的极限,A的邻域, x0的空心 邻域,A+,A,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域,当, x0的空心 邻域,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域,当, x0的空心 邻域,A,1. 函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,几何上：函数有极限 等价于这种 邻域与 空心 邻域之间 存在着无限的对应.,1. 函数的极限,因此，函数的极限定义也称函数极限的 定义,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,f (x),A,该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内.,2. 函数的左极限,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A+,A,A,f (x),2. 函数的左极限,.,该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A,f (x),2. 函数的左极限,.,该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A,f (x),2. 函数的左极限,.,该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,A,f (x),函数有左极限等价于,这种邻域与左半邻 域存在着无限的对应.,2. 函数的左极限,.,几何上：,该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内.,A的邻域，, x0的左半 邻域，,f (x),A,N, N,其相应的曲线上的点,落在绿色区域内.,3. x 趋于无穷大时的极限,A的邻域, N 0,A+,A,对满足 |x| N 的一切点 x,f (x),N, N,A,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),N, N,A,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,此类极限定义也称 函数极限的 N定义,其相应的曲线上的点,A的邻域, N 0,.,3. x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| N 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,N,其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内.,4. x 趋于正无穷大时的极限,对满足 x N 的一切点 x,( f (x) A的情况),f (x),A,N,.,4. x 趋于正无穷大时的极限,对满足 x N 的一切点 x,( f (x) A的情况),其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内.,f (x),A,N,.,( 一般情况),4. x 趋于正无穷大时的极限,对满足 x N 的一切点 x,其相应的曲线上 的点 落在绿色区 域内.,当 x = n, 则,相应的点都落 在绿色区域内,n,f(n),A,N,1,2,3,N+1,N+2,5. 数列的极限,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,当 x = n, 则,A,N,1,2,3,N+1,N+2,5. 数列的极限,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,当 x = n, 则,A,N,1,2,3,N+1,N+2,5. 数列的极限,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,当 x = n, 则,A,1,2,3,N+1,N+2,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,5. 数列的极限,当 x = n, 则,A,1,2,3,N+1,N+2,因此，数列的极限定义也称数列极限的 N定义,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,5. 数列的极限,f (x),M,M,该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.,6. 无穷大,M 0，, 0，,当 0 |x x0| ，,恒有 | f (x) | M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),6. 无穷大,.,y,该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| ，,恒有 | f (x) | M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),6. 无穷大,.,y,该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| ，,恒有 | f (x) | M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),M,M,6. 无穷大,.,该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| ，,恒有 | f (x) | M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),M,M,6. 无穷大,因此，无穷大的 定义也称无穷大 的M 定义,.,该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.,M 0，, 0，,当 0 |x x0| ，,恒有 | f (x) | M.,M邻域，, x0 的空心邻域，,f (x),该邻域内所有点 相应的曲线上的 点落在绿色区域 内,问题： 函数在点x0连续与 存在极限的区别？,1 x=x0必须取到,.,7. 函数的连续性,2 A= f (x0),f (x0),f (x0)+,f (x0),并且A= f (x0),f (x)在x0连续,y = f (x),M,x,N,y,.,.,x0,令x0,8. 导数的几何意义,y = f (x),M,x,N,y,x0,令x0,8. 导数的几何意义,.,y = f (x),M,= tan,.,.,x0,令x0,.,8. 导数的几何意义,.,M,N,.,f (x),dy,x,微分是函数的局部线性化,.,用切线增量近似曲线增量,dy,dy =,在图上是哪条线段？,=tan x,9. 微分的几何意义,即：,.,y,问题：何时dy y ?,x,y,o,dy,x,用切线增量近似曲线增量,dy, y,9. 微分的几何意义,.,dy y,微分是函数的局部线性化,哪条线段是dy ？,.,列表,曲线过点(0,0),1,2,(1, 2),0,0,+,x,y,y,+,驻点：x =1,x =2,10. 函数作图,极大值,(拐点),故 y = 0为水平渐近线,因,图形：,1,渐进线 ：y = 0,(0,0),2,.,10.,.,(x +),列表,.,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 x =0,0 (拐点),+,+,因,（牛顿三叉戟线）,0,0,+,+,3 极小值,+,11.,0,.,间断点,3,牛顿三叉戟线,11.,.,列表,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 y =0，,因,+,+,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0 (拐点),间断点,间断点,+,及 x =1，x = 1,x = 0,12.,1,1,12.,.,列表,对函数进行全面讨论并画图：,解,所以，曲线有渐近线 y = ,0,0 最小值,+,因,图形关于y轴对称.,= 2, 0, 0,13.,考虑 x 0,= 2,.,.,arctan2,13.,.,对函数进行全面讨论并画图：,列表,+,.,对函数进行全面讨论并画图：,解,(在定义域内),所以，曲线有渐近线 y =1及 x =-1,1,0 最小值,+,+,因,+, 0,1,14.,1,1,1,渐进线 y =1,(1,0),渐进线 y =1,图形:,.,14.,列表,.,解,故曲线有渐近线 y =x+ 和 y =x.,因,+,+,0,因 y(x) = y(x)，,图形关于原点对称。,1,0,1,0 (拐点),极大值,极小值,+,+,0,0,+,.,.,对函数进行全面讨论并画图:,y = x 2arctan x,x = 0,15.,1,1,y = x 2arctan x,15.,.,对函数进行全面讨论并画图:,列表,+,0,解,无实根,所以，曲线有渐近线,1 极大值,因,函数是周期函数，,而且是偶函数。,周期为2 ；,只须讨论,0,0,+,1 极小值,.,对函数进行全面讨论并画图:,x = 0, ,16.,.,1,3,2,由对称性,由周期性,16.,.,对函数进行全面讨论并画图:,1,3,2,由对称性,由周期性,16.,.,-3,对函数进行全面讨论并画图:,M,N,.,f (x),用切线长ds近似曲线长s,s,s=s(x),A,B,.,dy,ds,s,dx,= s,17. 弧微分ds的几何意义,例如，