《微积分第九版》PPT课件.ppt

,微積分第九版,平面上的直線與斜率,2.3,2.3 平面上的直線與斜率,學習目標 用線性方程式的斜截式繪圖。 求經過兩點的直線斜率。 用點斜式寫出直線的方程式。 求平行線以及垂直線的方程式。 用線性方程式做為現實生活問題的模型並解之。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-20,斜率的使用,連結兩個變數的最簡單數學模型是線性方程式 (linear equation) y mx b。這種方程式稱為線性，是因為其圖形是直線。當 x 0時，直線與 y 軸相交於 y b，如圖 2.30 所示。也就是 y 截距為 (0, b)。這條直線的坡度或斜率為 m。 斜率 (slope) 即直線在由左至右水平移到 1 個單位時垂直上升 (或下降) 的單位數，如圖 2.30 所示。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-20,斜率的使用,第二章 函數、圖形與極限,P.2-20 圖2.30,斜率的使用,線性方程式寫成 y mx b 時稱為斜截式 (slope-intercept form)。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21,斜率的使用,垂直線的方程式為 x a 垂直線 因為這類的方程式不能寫成 y mx b 的形式，所以垂直線的斜率是沒有定義的，如圖 2.31所示。 一旦確定直線的斜率以及 y 截距，描繪其圖形就是相當簡單的事。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21,斜率的使用,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21 圖2.31,範例 1 描繪線性方程式的圖形,描繪下列線性方程式的圖形。 a. y = 2x + 1 b. y = 2 c. x + y = 2,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21,範例 1 描繪線性方程式的圖形 （解）,a. 因為 b 1，所以 y 截距為 (0, 1)。此外，因為斜率 m 2，所以直線每往右移動 1 個單位就會上升 2 單位， 如圖 2.32(a) 所示。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21 圖 2.32,範例 1 描繪線性方程式的圖形 （解）,b. 將方程式寫成 y (0)x 2，可得 y 截距為 (0, 2) 及斜率為 0。零斜率意味著直線是水平的，也就是不會上升或 下降，如圖2.32(b) 所示。,P.2-21 圖 2.32,範例 1 描繪線性方程式的圖形 （解）,c. 將方程式寫成斜截式。 x + y = 2 寫出原方程式 y = x + 2 兩邊減 x y = (1)x + 2 寫成斜截式 可得 y 截距為 (0, 2)。此外，因為斜率是 m 1，所以直線每往右移動 1 個單位就會下降一單位，如圖 2.32(c) 所示。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21,範例 1 描繪線性方程式的圖形 （解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21 圖 2.32,檢查站 1,描繪下列線性方程式的圖形。 a. y 4x 2 b. x 1 c. 2x y 6,第二章 函數、圖形與極限,P.2-21,斜率的使用,在現實生活問題中，斜率可解釋為比例或比率。當 x 軸和 y軸的單位相同時，則斜率沒有單位而只是一個比例 (ratio)。當 x軸和 y 軸的單位不同時，則斜率表示比率 (rate) 或變化率 (rate of change)。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-22,範例 2 ： 斜率視為比例的應用,輪椅坡道的建議最大斜率是 0.083。一家公司安裝一個輪椅坡道，其水平長度為 24 呎及高度為 22 吋，如圖 2.33 所示。此坡道是否比建議的更陡峭？(資料來源：美國障礙法案手冊),第二章 函數、圖形與極限,P.2-22 圖2.33,範例 2 斜率視為比例的應用 （解）,坡道的水平長度為 24 呎或者為 12(24) 288 吋，所以坡道的斜率是 所以此坡道並沒有比建議的陡峭。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-22,檢查站 2,如果範例 2 的坡道之水平長度為 26 呎及高度為 27 吋，是否比建議的坡道陡峭？,第二章 函數、圖形與極限,P.2-22,範例 3 斜率做為變化率的應用,一家製造公司確定生產 x 單位產品的總成本是 C 25x 3500，對此方程式的直線，說明 y 截距和斜率的實際意義。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-22,範例 3 斜率做為變化率的應用 （解）,y 截距 (0, 3500) 表示生產零單位的成本為 $3500。此為生產的固定成本 (fixed cost，不管生產多少單位都必須支付此成本)，斜率m 25 表示每生產一單位的成本是 $25，如圖 2.34 所示。經濟學家將每一單位的成本稱為邊際成本 (marginal cost)，如果生產增加一單位，則邊際或額外的成本是 $25。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-22,範例 3 斜率做為變化率的應用 （解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-22 圖2.34,檢查站 3,一家小公司購買一部影印機且在 t 年後的價值為 V 300t 1500，對此方程式的直線，說明 y 截距和斜率的實際意義。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-22,求直線的斜率,已知一個非垂直線的方程式，可將方程式寫成斜截式而求出斜率。如果沒有已知方程式，還是可求出斜率。例如，假設要求得經過點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之直線的斜率，如圖 2.35 所示。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-23,求直線的斜率,第二章 函數、圖形與極限,P.2-23 圖2.35,求直線的斜率,沿著直線由左往右移動時，若在水平方向有 (x2 x1) 單位的變化量則在垂直方向有 (y2 y1) 單位的變化量，這兩種變化量以下列符號表示。 y y2 y1 y 的變化量 和 x x2 x1 x 的變化量 (符號 是希臘文 delta 的大寫字母，符號 y 和 x 唸成“delta y”和“delta x”。),第二章 函數、圖形與極限,P.2-23,y 和 x 的比值為經過 (x1, y1) 和 (x2, y2) 之直線的斜率。 注意 x 代表一個數，而不是兩個數相乘 ( 和 x)，y 也是一樣。,求直線的斜率,第二章 函數、圖形與極限,P.2-23,求直線的斜率,第二章 函數、圖形與極限,P.2-23,求直線的斜率,用這個公式求斜率時，減法運算的順序是很重要的。已知直線上的兩點，可任意令其中一點為 (x1, y1)，而另外一點為 (x2, y2)。一旦設定，分子和分母相減的運算順序要一致。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-23,例如，經過點 (3, 4) 和 (5, 7) 之直線的斜率算法為 或,求直線的斜率,第二章 函數、圖形與極限,P.2-23,範例 4 求直線的斜率,求經過下列每一對點的直線斜率。 a. (2, 0) 和 (3, 1) b. (1, 2) 和 (2, 2) c. (0, 4) 和 (1, 1) d. (3, 4) 和 (3, 1),第二章 函數、圖形與極限,P.2-24,a. 令 (x1, y1) (2, 0) 和 (x2, y2) (3, 1) ，則可得斜率為 如圖 2.36(a) 所示。,範例 4 求直線的斜率 （解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-24 圖2.36,範例 4 求直線的斜率 （解）,b. 經過 (1, 2) 和 (2, 2) 的直線斜率是,第二章 函數、圖形與極限,P.2-24 圖2.36,範例 4 求直線的斜率 （解）,c. 經過 (0, 4) 和 (1, 1) 的直線斜率是,第二章 函數、圖形與極限,P.2-24 圖2.36,範例 4 求直線的斜率 （解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-24 圖2.36,d. 經過 (3, 4) 和 (3, 1) 的垂直線斜率是無定義的，因為除以 0 是沒有意義 (參考 圖 2.36(d)。,檢查站 4,求經過下列每一對點的直線斜率。 a. (3, 2) 和 (5, 18) b. (2, 1) 和 (4, 2) c. (2, 4) 和 (2, 4),第二章 函數、圖形與極限,P.2-24,直線方程式的形式,當你知道直線的斜率以及在直線的一個點的座標，就可以求出直線的方程式。例如，在圖 2.37 ，如果 (x1, y1) 是斜率為 m 的非垂直線上的一個點，以及 (x, y) 是直線上的任意其他點，則 這個含變數 x 和 y 的方程式可寫成 y y1 m (x x1) 的形式，稱為直線方程式的點斜式 (point-slope form)。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25,直線方程式的形式,在非垂直線上的任兩點可用來確定此直線的斜率,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25 圖2.37,直線方程式的形式,求非垂直線的方程式時，點斜式最好用，應該熟記此方程式以便今後隨時使用。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25,範例 5 用點斜式,求斜率為 3 且經過點 (1, 2) 的直線方程式。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25,範例 5 用點斜式 （解）,用點斜式，已知 m 3 以及 (x1, y1) (1, 2)。 y y1 = m(x x1) 點斜式 y (2) = 3(x 1) 代入 m、x1 和 y1 的值 y + 2 = 3x 3 化簡 y = 3x 5 寫成斜截式 此直線方程式的斜截式是 y 3x 5，其圖形如圖 2.38 所示。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25,範例 5 用點斜式 （解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25 圖2.38,檢查站 5,求斜率為 2 且經過點 (1, 2) 的直線方程式。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25,直線方程式的形式,點斜式可用來求經過點 (x1, y1) 和 (x2, y2) 的直線方程式，首先求此直線的斜率 然後用點斜式可得方程式 也稱為此直線方程式的兩點式 (two-point form)。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-25,範例 6 稀釋後的每股盈餘,Tim Hortons 公司稀釋後的每股盈餘 (稀釋後 EPS) 在 2007 年是 $1.43，而 2008 年是 $1.55。用這些資料，寫出以年為變數表示稀釋後 EPS 之線性方程式，然後預測 2009 年的稀釋後EPS。(資料來源：Tim Hortons 公司),第二章 函數、圖形與極限,P.2-26,範例 6 稀釋後的每股盈餘（解）,令 t 7 表示 2007 年，則兩筆已知的數值用點 (7, 1.43) 和(8, 1.55) 來表示，經過這兩點之直線的斜率為 用點斜式，可求得表示稀釋後EPS y 與年 t 關係的方程式是 y 0.12t 0.59。用 t 9表示2009 可預測 2009 年稀釋後 EPS 為 y 0.12(9) 0.591.080.591.67,第二章 函數、圖形與極限,P.2-26,範例 6 稀釋後的每股盈餘（解）,根據此方程式可得 2009 年稀釋後的 EPS為$1.67，如圖 2.39 所示 (這個實例中的預測相當準確在 2009 年的實際稀釋後 EPS 是 $1.64)。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-26,範例 6 稀釋後的每股盈餘（解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-26 圖2.39,檢查站 6,A 稀釋後 EPS在 2006 年和 2008 年分別為 $0.45 和 $1.49。根據這僅有的資料，將稀釋後 EPS寫成以年為變數的線性方程式，然後預測 2009 年的稀釋後 EPS。(資料來源： A),第二章 函數、圖形與極限,P.2-26,直線方程式的形式,在範例 6 中所提的預測方法稱為線性外插法 (linear extrapolation)。注意，在圖 2.40(a) 中外插點並不在給定兩點之間。當估計的點位於兩個給定點之間，如圖 2.40(b) 所示，這種方法稱為線性內插法 (linear interpolation)。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-26,直線方程式的形式,第二章 函數、圖形與極限,P.2-26 圖 2.40,直線方程式的形式,因為垂直線的斜率沒有定義，它的方程式不能寫成斜截式。然而，每一條直線的方程式都可寫成一般式 (general form)，即 其中 A 和 B 不能同時為 0。例如，垂直線 x a 可用一般式x a 0 來表示。下列為五個常用的直線方程式的形式。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-26,直線方程式的形式,第二章 函數、圖形與極限,P.2-27,平行線和相互垂直線,斜率可用來判定兩條非垂直線是否平行、垂直，或者都不是。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-27,範例 7 求平行線和相互垂直線,求經過點 (2, 1) 以及 a. 與直線 2x 3y 5 平行的直線方程式。 b. 與直線 2x 3y 5 垂直的直線方程式。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-27,範例 7 求平行線和相互垂直線 （解）,將已知的直線方程式寫成斜截式，即 由此可得所求的直線斜率為 ，如圖 2.41 所示。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-27,範例 7 求平行線和相互垂直線 （解）,a. 與已知之直線平行的直線，其斜率必定是 。所以經過 (2, 1)而與已知之直線平行的直線方程式為,第二章 函數、圖形與極限,P.2-27,b.與已知之直線垂直的直線，其斜率必為 。所以經過 (2, 1) 且與已知之直線垂直的直線方程式為,範例 7 求平行線和相互垂直線 （解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-28,範例 7 求平行線和相互垂直線 （解）,第二章 函數、圖形與極限,P.2-27 圖2.41,檢查站 7,求經過點 (2, 1) 以及 a. 與直線 2x 4y 5 平行的直線方程式。 b. 與直線 2x 4y 5 垂直的直線方程式。,第二章 函數、圖形與極限,P.2-28,延伸應用：線性折舊,大部分的營業費用在當年度都可扣除。有一種例外就是使用壽命超過一年的資產的費用，如建築物、汽車或設備。這樣的費用在資產使用壽命期間會折舊 (depreciated)。如果每一年的折舊金額一樣，這個程序稱為線性折舊 (linear depreciation) 或直線折舊(straight-line depreciation)。帳面價值就是原價扣掉迄今的折舊總額的差額。,第二章 函數、圖形與極限,P.2