《数字逻辑基础》PPT课件.ppt

数字电子技术,东北大学信息科学与工程学院,第1章 数字逻辑基础,本章主要介绍数字电路中常用的几种数制的 表示方法及其转换规律，数字系统中常见的 几种编码及逻辑代数知识。,概 述,在电子技术中，被传递、加工和处理的信号可以分为两大类：模拟信号和数字信号。 模拟信号：时间和幅度都是连续变化的信号。 数字信号：在时间和幅度上均不连续的信号。 模拟电路：工作信号为模拟信号的电子电路。 数字电路：工作信号为数字信号的电子电路。,1.1计数体制,数是用来表示物理量多少的。常用多位数表示。 通常，把数的组成和由低位向高位进位的规则称为数制。 在数字系统中，常用的数制包括十进制数(decimal)，二进制数(binary)，八进制数(octal)和十六进制数(hexadecimal)。,1.1.1十进制数(Decimal System),组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 进位规则：逢十进一。 不同位置数的权不同，可用10i表示。 i在(n-1)至-m间取值。 n为十进制数的整数位位数， m为小数位位数。 10称为基数(radix 或base)。,1.1.1十进制数 (Decimal System),例：729.35 729.35=7102+2101+9100+310-1+510-2,十进制位置记数法(Positional notation)；,多项式表示法(Polynomial notation)。,102、101、100、10-1、10-2表示每位数对应的权值,9为系数。,1.1.1十进制数 (Decimal System),任意一个十进制数都可以写成：,n是整数位位数,m是小数位位数,ai是第i位系数,10i是第i位的权，10是基数。,1.1.1十进制数 (Decimal System),任意进制数的按权展开式,R为基数,ai为0(R1)中任意一个数字符号,Ri为第i位的权值。,1.1.2二进制数(Binary System),组成：0、1 进位规则：逢二进一 一个二进制数M2可以写成：,1.1.2二进制数(Binary System),一个二进制数的最右边一位称为最低有效位，常表示为LSB(Least Significant Bit)。 最左边一位称为最高有效位，常表示为MSB(Most Significant Bit)。 例：试标出二进制数11011.011的LSB，MSB位，写出各位的权和按权展开式，求出其等值的十进制数。,1.1.2二进制数(Binary System),M2=11011.0112=124+123+022+121+120+02-1+12-2+12-3=27.37510,1 1 0 1 1 . 0 1 1,24,23,22,21,20,2-1,2-2,2-3,MSB,LSB,1.1.3八进制数(octal),组成：0、1、2、3、4、5、6、7 进位规则：逢八进一 权值：8i 基数：8 按权展开式,1.1.4十六进制数(hexadecimal),十六进制数 组成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A(10)、B(11)、C(12)、D(13)、E(14)、F(15) 进位规则：逢十六进一,例：,求八进制数6668的等值十进制数。 解： 6668=682+681+680=384+48+6=43810 例：一个十六进制数2AF16的等值十进制数是多少？ 解： 2AF16=2162+A161+F160 =2162+10161+15160=68710,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,十进制数转换成二进制数 将十进制数M10转换为二进制数，一般采用将M10的整数部分和小数部分分别转换，然后把其结果相加。,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,(1)整数部分转换 设M10=an-12n-1+an-22n-2+a121+a020 将上式两边同除以2，两边的商和余数相等。所得商为an-12n-2+an-22n-3+a221+a1，余数为a0，经整理后有：,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,再将上式两边同时除以2，可得余数a1，依次类推，便可求出二进制数的整数部分的每一位系数an-1、a1、a0。 在转换中注意除以2一直进行到商数为0止。 这种方法称作除基取余法(Radix Divide Method)。,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,例：将十进制数2510转换为二进制数。 解：, 2510=110012,25,3,1,余1a0,0,6,12,余0a1,余0a2,余1a3,余1a4,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,(2)小数部分转换 设M10的小数部分转换成二进制数为 M10=a-12-1+a-22-2+a-m2-m 将上式两边同时乘以2得 2M10=a-120+a-22-1+a-m2-m+1 上式中乘积的整数部分就是系数a-1，而乘积的小数部分为：,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,2M10-a-1=a-120+a-22-1+a-m2-m+1 对上式两边再同乘以2，则积的整数部分为系数a-2，依次类推，便可求出二进制数的小数部分的每一位系数，这种方法为乘基取整法(Radix Multiply Method)。 在转换过程中，乘2过程一直继续到所需位数或达到小数部分为0止。,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,例：将0.2510转为二进制数。 解：0.25102=0.5 整数=0=a-1 MSB 0.5102=1.0 整数=1=a-2 LSB 即0.2510=0.012 由上两例可得25.2510=11001.012 也可以用不同位权值相加等于十进制数的办法将十进制数转换成二进制数。 如25=16+8+1=24+23+20=11001。,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,二进制数和八进制数之间的转换 三位二进制数恰好等于一位八进制数，8=23。 对于二进制数，从小数点处开始，分别向左、右按三位分为一组，每组就对应一位八进制数，组合后即得到转换的八进制数。 将八进制数转换为二进制数时，把每位八进制数写成等值的二进制数，再连接起来，即得到二进制数。,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,例：将1011011.10101112转换为八进制数。 解：,1 011 011.101 011 1, 1011011.10101112=133.5348,00,00,.,1,3,3,4,3,5,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,例：将八进制数2748转换成二进制数。 解：, 2748=101111002,2 7 4,100,010,111,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,二进制数与十六进制数之间的转换 因为16=24，所以4位二进制数代表一位十六进制数。 将二进制数从小数点处开始，分别向左、右按每四位分为一组，每组用相应的十六进制数表示，组合后可得到相应的十六进制数。,1.1.5二进制数和其它进制之间的转换,例：将10101111.00010110112转换成十六进制数。 解：, 10101111.00010110112=AF.16C16,1010 1111 . 0001 0110 1100,.,A,F,1,6,C,几种数制之间的关系对照表(1),几种数制之间的关系对照表(2),1.2常用编码,编码：是指用文字、符号、数码等表示某种信息的过程。 数字系统中处理、存储、传输的都是二进制代码0和1，因而对于来自于数字系统外部的输入信息，例如十进制数09或字符AZ，az等，必须用二进制代码0和1表示。 二进制编码：给每个外部信息按一定规律赋予二进制代码的过程。或者说，用二进制代码表示有关对象（信号）的过程。,1.2.1二十进制编码（BCD码）,二十进编码是用四位二进制代码表示一位十进制数的编码方式。 BCD码的本质是十进制，其表现形式为二进制代码。 如果任意取四位二进制代码十六种组合的其中十种，并按不同的次序排列，则可得到多种不同的编码。 常用的几种BCD码列于表1-1中（参见P4表1-1）。,种类,1.2.1二十进制编码（BCD码）, 8421 BCD码 8421码是最常用的一种BCD（Binary Coded Decimal）码，舍去四位二进制码的最后六个码，十位数和其二进制数有对应关系，为恒权码。 多位十进制数，需用多位8421BCD码表示。 例如：36910= 0011 0110 10018421。,1.2.1二十进制编码（BCD码）,余3码 特点是每个余3码所表示的二进制数要比它对应的十进制数多3。 2421和5421码 二者均为恒权码。2421码有A、B两种。,1.2.2循环码,1.2.2循环码,循环码和二进制码之间保持确定关系，即已知一组二进制码，便可求出一组对应的循环码，反之亦然。 设二进制码为B=B3B2B1B0、循环码为G=G3G2G1G0 Gi=Bi+1Bi,1.2.3 ASCII码,ASCII是American National Standard Code for Information Interchange美国国家信息交换标准代码的简称。常用于通讯设备和计算机中。 它是一组八位二进制代码，用17七位二进制代码表示十进制数字、英文字母及专用符号。第八位作奇偶校验位（在机中常为0）。 如表1-3所示（参见P5表1-3）。,1.3 逻辑代数基础,逻辑代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。 本节讨论：逻辑变量、逻辑函数、基本逻辑运算和逻辑代数公式，以及化简逻辑函数的两种方法公式法和图形法。,逻辑电路中的几个问题,逻辑值的概念 在数字系统中，通常用逻辑真和逻辑假状态来区分事物的两种对立的状态。 逻辑真状态用1表示；逻辑假状态用0来表示。 1和0分别叫做逻辑真假状态的值。 0、1只有逻辑上的含义，已不表示数量上的大小。,高、低电平的概念,以两个不同确定范围的电位与逻辑真、假两个逻辑状态对应。 这两个不同范围的电位称作逻辑电平，把其中一个相对电位较高者称为逻辑高电平，简称高电平，用H表示。而相对较低者称为逻辑低电平，简称低电平，用L表示。,状态赋值和正、负逻辑的概念,状态赋值：数字电路中，经常用符号1和0表示高电平和低电平。把用符号1、0表示输入、输出电平高低的过程叫做状态赋值。 正逻辑：在状态赋值时，如果用1表示高电平，用0表示低电平，则称为正逻辑赋值，简称正逻辑。 负逻辑：在状态赋值时，如果用0表示高电平，用1表示低电平，则称为负逻辑赋值，简称负逻辑。,基本逻辑运算和基本逻辑门,基本逻辑运算有逻辑与、逻辑或和逻辑非。 实现这三种逻辑运算的电路，称作基本逻辑门。,逻辑与（乘）运算,只有决定一件事情的全部条件具备之后，结果才能发生，这种因果关系为“逻辑与”或“逻辑乘”。,逻辑与（乘）运算,如图1-7示照明电路，灯和开关之间符合与逻辑关系。,逻辑符号,逻辑与（乘）运算,逻辑真值表（Truth Table）：经过状态赋值之后所得到的由文字和符号0、1组成的，描述输入和输出的所有状态的表格。简称真值表。 逻辑与的逻辑关系表达式写成 F=AB 与逻辑功能可记成：“有0为0，全1为1” 与运算规则：00=0； 01=0； 10=0； 11=1 A0=0； A1=A； 0A=0； 1A=A,逻辑或（加）运算,决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，结果就会发生，这种因果关系称为“或逻辑”，也称“逻辑加”。,逻辑或（加）运算,图1-8为两个开关并联的照明电路。灯亮和开关之间的关系是“或逻辑”关系。,逻辑符号,逻辑或（加）运算,逻辑或的逻辑关系表达式 F=A+B 或逻辑功能可记成“有1为1，全0为0”。 由真值表看出0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1，A+0=A；A+1=1；A+A=A。 或逻辑又称逻辑加法。通过上述真值表，可见它和算术加有很大区别。 在逻辑加中1+1=1，1+1+1=1。,逻辑非运算,条件具备时结果不发生，条件不具备时结果反而发生，这种因果关系是逻辑非。非也称为取反。,逻辑非运算,逻辑图,如图1-9示照明电路，开关A和灯满足非逻辑关系。同样可列出以0和1表示A和F之间的逻辑关系的真值表。,逻辑非运算,逻辑非的逻辑表达式写成,复合逻辑运算,=AB,复合逻辑运算符号如图:,逻辑代数的基本公式和常用公式 基本公式,基本公式,用真值表可证明基本公式。如反演律,逻辑代数的三条规则公式,代入规则 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。这个规则叫代入规则 。 例如：等式,利用代入规则，可以将基本公式推广为多变量的形式，扩大公式的使用范围。,逻辑代数的三条规则公式,反演规则 将逻辑表达式中所有 变+，+变成（注意省略的“”号） 1变成0，0变成1，原变量变成反变量 反变量变成原变量 即得到原逻辑函数的反函数 反演规则常用于从已知原函数求出其反函数。,逻辑代数的三条规则公式,例：,逻辑代数的三条规则公式,利用反演规则时须注意以下两点： 仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算顺序。 不属于单个变量上的长非号，在利用反演规则时应保持不变，而长非号下的变量及和号符号仍按反演规则处理。 德摩根定理实际上是反演规则的一个特例。,逻辑代数的三条规则公式,对偶规则 将逻辑函数F中的“”换成“”，“”换成“”，“”换成“”，“”换成“”，即可求得F的对偶式F。若两个逻辑函数相等，则它们的对偶式也相等；反之亦然。 例：求下列逻辑函数的对偶式：,逻辑代数的三条规则公式,两个逻辑式相等，则它们的对偶式相等。 例：证明A+BC=(A+B)(A+C) 证明：先写出等式两边的对偶式 等式左边=A(B+C) 等式右边=AB+AC 根据分配律A(B+C)=AB+AC知对偶式相等，由对偶规则知A+BC=(A+B)(A+C) 使用对偶规则时，同样要注意运算的优先级别；正确使用括号；原式中的长非号，短非号均不变。,若干常用公式,利用基本公式可以证明下列各式的正确性，直接运用这些公式，可以给化简带来很大方便。,若干常用公式,现将表中公式证明如下：,这个公式的含义是当两个乘积项相加时，若它们分别包含B和 两个因子，而其它因子相同，则两项定可合并，且能将B和两个因子消掉。,若干常用公式,A+AB=A A+AB=A(1+B)=A1=A 此式表明：两个乘积项相加，若其中一项以另一项为因子，则该项是多余的。,若干常用公式,结果说明：两个乘积项相加时，如果一项取反后，是另一项的因子，则此因子是多余的，可以消去。,若干常用公式,证明：,若干常用公式,逆证：,该式说明：两个与项相加时，若它们分别包含A和 因子，则两项中的其余因子组成可添加的第三个与项。其逆式也成立，即三个与项相加时，若两项中分别有 和A因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。,该公式的推论是：,若干常用公式,证明 ：,用反演规则：,若干常用公式,例：,变量x和含有变量x的逻辑函数相乘时，函数f中的x用1代替，用0代替，依据是xx=x=x1；x =0=x0。,F=A1B+0C+(1+D)(0+E)=A(B+E),若干常用公式,例：,逻辑函数及其表示法,逻辑函数 数字电路研究的是输出变量和输入变量之间的逻辑关系。图1-11示出二输入、一输出的数字电路框图。,逻辑函数,在处理逻辑问题时，可用多种方法来表示逻辑函数，其常用表示方法有真值表，逻辑表达式，卡诺图和逻辑图等。,真值表表示法,描述逻辑函数各个变量取值组合和函数值对应关系的表格，称为真值表。 由于每一个输入变量有0、1两个取值，n个输入变量有2n个不同的取值组合，将输入变量的全部取值组合和相应的函数值一一列举出来，即可得到真值表。 通常输入变量的全部取值组合按二进制顺序进行，以防遗漏，并方便检查。,真值表表示法,真值表直观明了，把实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用真值表很方便。当变量较多时，为避免烦琐可只列出那些使函数值为1的输入变量取值组合。 例：三人就某一提议进行表决，试列出表决结果的真值表。,真值表表示法,解：设输入变量A、B、C代表三人，F代表表决结果，两人以上同意者为1（表示通过），否则为0。 A、B、C：同意为1，不同意为0。 F：通过为1，不通过为0。 则真值表为：,函数表达式表示法,用与、或、非等运算表示函数中各个变量之间逻辑关系的代数式子，叫做函数表达式。 由真值表求函数表达式最方便。 表决逻辑的原函数和反函数,函数表达式表示法,特点： 简洁方便。能高度抽象而且概括地表示各个变量之间的逻辑关系。 便于利用逻辑代数的公式和定理进行运算、变换。 便于利用逻辑图实现函数。 缺点是难以直接从变量取值看出函数的值，不如真值表直观。,逻辑图表示法,把函数表达式输入变量间的逻辑关系用逻辑符号表示出来而得到的电路图，称逻辑图。逻辑图只反映电路的逻辑功能，而不反映电器性能。 一般可根据逻辑表达式画逻辑图。方法是把逻辑表达式中相应的运算用门电路的符号来代替。,逻辑图表示法,例：将F=AB+BC+CA画成逻辑图。 如表决逻辑图所示。,如果要求用与非门实现表决逻辑，怎么做？,卡诺图表示法,卡诺图（Karnaugh Map）是逻辑函数的一种图形表示方法。,图1-13 二变量卡诺图与相应真值表对应关系,逻辑函数化简,逻辑函数表达式按表达式中乘积项的特点，以及各个乘积项间的关系进行分类，大致可分成五种：,F=(A+B)(B+C)(C+A) 或与表达式,与非与非表达式,与或非表达式,F=AB+BC+AC 与或表达式,逻辑函数化简,最简与或表达式应满足 乘积项的个数应该是最少的 在满足乘积项个数最少的条件下，要求每一个乘积项中变量的个数也最少。 与或表达式最简，由它转换得来的表达式，一般来说也就最简。,逻辑函数化简,逻辑函数的代数（公式）化简法 代数化简法的实质就是反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得函数式的最简与或式。因此化简时，没有固定的步骤可循。 现将经常使用的方法归纳如下：,逻辑函数化简,吸收法：根据公式A+AB=A可将AB项消去，A和B同样也可以是任何一个复杂的逻辑式。,例：化简,解:,逻辑函数化简,消因子法：,利用公式 可将 中的因子 消去。A、B均可是任何复杂的逻辑式。,例：,逻辑函数化简,合并项法(1)：,运用公式 可以把两项合并为一项，并消去B和 这两个因子。根据代入规则，A和B可以是任何复杂的逻辑式。,例：化简,逻辑函数化简,合并项法(2)：,利用公式 可以把两项合并为一项，并消去一个变量。,例：,逻辑函数化简,配项法,例：,逻辑函数化简,逻辑函数的卡诺图化简法 卡诺图表示法 卡诺图（Karnaugh Map）是逻辑函数的一种图形表示方法。 卡诺图和真值表一样可以表示逻辑函数和输入变量之间的逻辑关系。卡诺图是用图示方法将各种输入变量取值组合下的输出函数值一一表达出来。,逻辑函数化简,最小项 对于n个变量，如果某乘积项含有n个因子，每个因子或以原变量或以反变量的形式仅仅出现一次，则这个乘积项称为最小项。 n个变量一共有2n个最小项。因为每一个变量都有两种状态原变量和反变量，而变量一共有n个。,逻辑函数化简,最小项编号 编号方法：把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制，就是该最小项的编号。 表1-17为三变量的最小项及其编号。,逻辑函数化简,逻辑函数化简,最小项性质,n个变量的逻辑函数有2n个最小项。,每一个最小项对应了一组变量取值，任意一个最小项，只有对应的那一组取值使其值为1，其它均为0。,任意两个最小项之积恒为0，记作：mimj=0（ij）,所有最小项的逻辑和为1，记作mi=1（i=0，1，2，2n-1）,n个变量逻辑函数的每一个最小项都有n个相邻项。相邻是指逻辑相邻。,两个最小项相加可以消去互为反变量的因子。,逻辑函数化简,最小项是组成逻辑函数的基本单元 任何逻辑函数都可以表示成为最小项之和的形式标准与或式，并且这种形式是唯一的。就是说，一个逻辑函数只有一个最小项之和的表达式。,逻辑函数化简,例：写出F=AB+BC+AC的最小项表达式 解：,逻辑函数化简,逻辑函数的卡诺图 最小项卡诺图的画法 画正方形或矩形，图形中分割出2n个小方格，n为变量的个数，每个最小项对应一个小方格。 变量取值按循环码排列（Gray Code），其特点是相邻两个编码只有一位状态不同。 变量卡诺图形象地表达了变量各个最小项之间在逻辑上的相邻性。,逻辑函数化简,图1-13 三变量卡诺图, 三变量卡诺图,逻辑函数化简, 四变量卡诺图,每格标最小项编号,每格标变量取值,注意：最小项循环邻接的排列顺序，蛇形排列。 0 1 3 2 6 7 5 4 12 13 15 14 10 11 9 8,逻辑函数化简, 五变量卡诺图,图1-15 五变量卡诺图,注意：五变量以上卡诺图很少使用。,逻辑相邻： 相接 相对 相重,逻辑函数化简,在卡诺图上，两个相邻最小项合并时，相当于把其圈在一起组成一个新格子。新格子和两相邻最小项消去变化量之后的式子相对应。如图所示。,逻辑函数化简,逻辑函数的卡诺图 通常逻辑函数的卡诺图可由以下三种情况获得： 根据逻辑函数的真值表(给出真值表时) 例：表决逻辑的卡诺图为,逻辑函数化简,根据逻辑函数的最小项表达式（给出的是最小项表达式） 将对应的逻辑函数的最小项的小方格填入1，其它的方格填入0。 根据一般的逻辑表达式（这是经常出现的） 首先将函数变换成与或式，但不必变为最小项之和的表达式。在变量卡诺图中，把每一乘积项所包括的那些最小项对应的格子都填上1，剩下的填0。,逻辑函数化简,例：,逻辑函数化简,逻辑函数的卡诺图化简法 用卡诺图化简逻辑函数一般可按以下步骤进行： (a)画出函数的卡诺图 (b)画包围圈，合并最小项 在卡诺图中，凡是相邻的最小项均可合并，合并时，可消去有关变量。,逻辑函数化简,例：三变量卡诺图二相邻最小项的合并,逻辑函数化简,例：四变量卡诺图二相邻最小项的合并,逻辑函数化简,例：四变量卡诺图二相邻最小项的合并,逻辑函数化简,例：三变量卡诺图四相邻最小项的合并,逻辑函数化简,例：四变量卡诺图四相邻最小项的合并,逻辑函数化简,例：四变量卡诺图四相邻最小项的合并,逻辑函数化简,例：四变量卡诺图八相邻最小项的合并,B,逻辑函数化简,例：四变量卡诺图八相邻最小项的合并,逻辑函数化简,(c)选择乘积项，写出最简与或表达式。 选择乘积项时，必须包含全部最小项，选用的乘积项的总数应该最少，每个乘积项所包含的因子也应该最少。,例：化简函数,逻辑函数化简,解：画出函数的卡诺图,合并最小项,选择乘积项写出最简与或表达式,3,11,4,5,12,13,1,10,化简时应注意的几个问题： 圈1得原函数，圈0得反函数 圈必须覆盖所有的1。 圈中1的个数必须是2n个相邻的1。 圈的个数必须最少 (乘积项最少) 。 圈越大越好(消去的变量多)。 每个圈至少包含一个新的最小项。 选出最简与或式。,逻辑函数化简,逻辑函数化简,例：化简函数 F=(1，4，5，6，8，12，13，15)。,解： 画出F的卡诺图,合并最小项,1,4,5,6,8,12,13,15,写出最简与或表达式,具有无关项的逻辑函数及其化简 约束项、任意项和无关项 在分析某些具体的逻辑函数时，常遇到输入变量的取值不是任意的情况。对输入变量的取值所施加的限制为约束。这些受约束的变量取值组合所对应的最小项叫约束项。,逻辑函数化简,例如用三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止命令。A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。 即ABC的取值只能是001，010，100中的一种，不能是000，011，110，101，111中的任一种。 因此A、B、C是一组具有约束的变量。,逻辑函数化简,通常用约束条件来描述约束的具体内容。 由于每一组输入变量的取值都使一个，且仅有一个最小项的值为1，所