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文档简介

中南财经政法大学信息系,第四节 对称矩阵的相似矩阵,第五章 矩阵的特征值 与特征向量,定理1 对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,于是有,两式相减，得,定理1的意义,证明,定理5.9,它们的重数依次为,根据上述定理可得：,定理,定理5.10,由于不同特征值的特征向量正交，,这样的特征向量共可得 个.,故这 个单位特征向量两两正交.,以它们为列向量构成正交矩阵 ，则,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,2.,1.,解,例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,单位化,令,令,则 P 是正交阵,且,思考：,例2,例3,解,例4 设A,B是两个n阶实对称阵，则存在正交矩阵P，使得 的充要条件是：A与B有完全相同的特征值。,证明：充分性,设A与B有完全相同的特征值 ，,则存在正交矩阵 与 ，使得,令 ，P为正交阵,必要性,若存在正交矩阵P，使得 ， 则A与B相似，,从而A与B有完全相同的特征值。,1. 对称矩阵的性质：,三、小结,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特
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