用函数观点看与一元二次方程.ppt

26.2.1 用函数观点 看一元二次方程,复习.,1、一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由 确定。, 0,= 0, 0,有两个不相等的实数根,有两个相等的实数根,没有实数根,b2- 4ac,活动1,2、在式子h=50-20t2中，如果h=15，那么 50-20t2= ，如果h=20，那50-20t2= ， 如果h=0，那50-20t2= 。如果要想求t的值，那么我 们可以求 的解。,15,20,0,方程,复习思考与观察,第一种方法：通过计算 设y=0,得x-3=0.解得x=3. 所以图像与x轴的 交点坐标是（3，0）.,第二种方法看图像,如何求一次函数y=x-3的图像与x轴的交点坐标.,（3，0）,思考,如何求二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标呢？ 方法一： 设y=0, 得到一个一元二次方程 x2-2x-3=0， 解得 x1=3,x2=-1, 所以与x轴的交点坐标是（3，0），（-1，0).,方法二： 也可以观察抛物线与坐标轴的交点情况得到两个交点坐标.,引发思考,通过这个例题的解答我们能得到什么信息呢？,我们可以知道：二次函数的图像与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程的根，反之也成立。,观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,y=x-6x+9,Y=x+x-2,Y=x-x+1,x,y,?,（1）设y=0得x2+x-2=0 x1=1，x2=-2 抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，公共点的横坐标分别是1和-2，当x取公共的的横坐标的值时，函数的值为0.,（2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐标的值时，函数的值为0.,（3）设y=0得x2-x+1=0 b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-30 方程x2-x+1=0没有实数根 抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点,Y=x+x-2,Y=x-x+1,y=x-6x+9,x,y,（-2、0）,（1、0）,解:,有两个交点,有两个不相等的实数根,b2-4ac 0,只有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点 (2)有一个交点 (3)没有交点,二次函数与一元二次方程,b2 4ac 0,b2 4ac= 0,b2 4ac 0,若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则,b2 4ac,0,0,=0,0,O,X,Y,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点,从二次函数 的图象可知：,2、二次函数的图象与x轴的位置关系 有三种：,归纳,没有公共点,没有实数根,有一个公共点,有两个相等的实数根,有两个公共点,有两个不相等的实数根,与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）,有两个不同的解x=x1，x=x2,b2-4ac0,与x轴有唯一个 交点,有两个相等的解 x1=x2=,b2-4ac=0,与x轴没有 交点,没有实数根,b2-4ac0,例,方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x =-1.3，x =2.3。,利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实数根（精确到0.1）.,?,x,y,导学导练:,1.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是.,归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),(-2,0) (5/3,0),2.不与x轴相交的抛物线是( ) A y=2x2 3 B y= - 2 x2 + 3 C y= - x2 3x D y=-2(x+1)2 - 3,D,随堂训练,1.一元二次方程 x2+x-2=0的两个根是x1= -2 , x2= 1 , 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是（ -2，0 ）（1，o),(-2,0)和,2.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是 3.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a0,c0时,图象与x轴交点情况是( ) A 无交点 B 只有一个交点 C 有两个交点 D不能确定,4利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax2bxc0的根为_； （2）方程ax2bxc3的根为_； （3）方程ax2bxc4的根为_； （4）不等式ax2bxc0的解集为_； （5）不等式ax2bxc0的解集为_ 5.思考：已知抛物线y=x2 + mx +m 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个,1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 y (单位:m)与飞行时间 x(单位:s)之间具有关系: y= 20 x 5 x2 问: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时间? (4)球从飞出到落地要用多少时间?,解决问题,(1)球的飞行高度能否达到15m?如能, 需要多少飞行时间?,解: (1)解方程,当球飞行1s和3s时,它的高度为15m.,为什么在两个时间 球的高度为15m呢?,(2)球的飞行高度能否达到20m?如能, 需要多少飞行时间?,解: (2)解方程,当球飞行2s时,它的高度为20m.,为什么只在一个时间 内球的高度为20m呢?,(3) 球的飞行高度能否达到20.5m?为什么?,解: (3)解方程,解: (4)解方程,(4)球从飞出到落地要用多少时间?,当球飞行0s和4s时,它的高度为0m, 即0s时球从地面飞出, 4s时球落回地面.,为什么在两个时间 球的高度为0m呢?,解：（1）解方程 15=20t-5t t-4t+3=0 t =1， t =3. 当球飞行1s和2s时， 它的高度为15m。,?,h,t,（2）解方程 20=20t-5t t-4t+4=0 t = t =2. 当球飞行2s时， 它的高度为20m。,（4）解方程 0=20t-5t t-4t=0 t =0， t =4. 当球飞行0s和4s时， 它的高度为0m，即0s飞出，4s时落回地面。,（3）解方程 20.5=20t-5t t-4t+4.1=0 （-4）-4*4.10， 方程无实数根,（2、20）,归纳:,例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变量x的值.,就是求方程3=-X2+4x的解,例如,解方程X2-4x+3=0,就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量x的值.,结论：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0),巩固,6、画出函数 的图象，利 用图象回答： (1)方程 的解是什么？ (2) x 取什么值时，函数值大于0？ (3) x 取什么值时，函数值小于0？,归纳:,知识探究,y=ax2+bx+c与ax2+bx+c=0的关系：,1.解方程ax2+bx+c=0可以看作是二次函数y=ax2+bx+c的值为0时，求自变量x的值。,求二次函数y=ax2+bx+c的值为0时自变量x的值。可以看作是解方程ax2+bx+c=0,练习,C,A,范例,例2、已知二次函数 。,(1)求证：对于任意实数m，该二次函数 的图象与x轴总有公共点； (2)若该二次函数的图象与x轴有两个公 共点A、B，且A点的坐标为(1，0)，求 B点的坐标。,巩固,4、若二次函数 与x轴无交 点，则一次函数 的图 象不经过( ) 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限,巩固,5、抛物线 与x轴 有两个不同的交点，则m的取值范围 是( ),A. B.,C. D.,范例,例3、求抛物线 与直线 的交点坐标。,巩固,7、利用函数图象求方程组,的解,巩固,3、已知二次函数 。 (1)写出它的图象的开口方向、对称轴 及顶点坐标； (2)m为何值时，顶点在x轴的上方； (3)若抛物线与y轴交于A，过A作AB x轴交抛物线于另一点B，当SAOB=4 时，求此二次函数的解析式。,6.某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆, 下半部是矩形,制造窗框的材料长(图中所有黑线 的长度和)为10米.当x等于多少米时,窗户的透光 面积最大? 最大面积是多少?,二次函数y=axbxc的图象和x轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程axbxc=0的解。 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: (1)有两个交点