高中数学全程复习方略3.3.3函数的最大(小)值与导数(共66张PPT).ppt

3.3.3 函数的最大(小)值与导数,1.能够区分极值与最值两个不同的概念. 2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.,1.本课重点是求函数的最值. 2.本课难点是函数最值的灵活应用. 3.本课易混点是函数的极值与最值.,1.函数y=f(x)在闭区间a,b上的最值 (1)能够取得最值的前提条件：在区间_上函数y=f(x)的 图象是一条_曲线. (2)函数的最值必在_或_取得.,a,b,连续不断的,极值点,区间端点,2.求函数y=f(x)在a,b上的最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在a,b内的_； (2)将函数y=f(x)的_与_,_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,极值,各极值,端点处的函数值f(a),f(b),1.在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在a,b上一定存在最值和极值吗？ 提示：一定有最值，但不一定有极值.如果函数y=f(x)在a, b上是单调函数，此时y=f(x)在a,b上无极值；如果y=f(x)在a,b上不是单调函数，则y=f(x)在a,b上有极值.,2.在区间(a,b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在(a,b)上一定存在最值吗？ 提示：不一定.函数有最值的条件有两个：一是给定函数的区间必须是闭区间，二是函数的图象在闭区间上必须是一条连续不断的曲线，二者缺一不可.,3.函数y= 的最大值为_. 【解析】令y= =0. 解得x=e. 当xe时,y0; 当0xe时，y0. y极大值=f(e)= ，在定义域内有一个极值, 所以ymax= . 答案：,4.函数y=x- ,x1,3的最大值为_，最小值为_. 【解析】函数y=x- 在x1,3上单调递增， 所以当x=3时，ymax=3- . 当x=1时，ymin=1- =0. 答案： 0,1.对函数最值的两点说明 (1)给定的区间必须是闭区间，y=f(x)在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值. 例如，函数f(x)= ，x(0,2),y=f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y=f(x)没有最大值和最小值.,(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y=f(x)有最大值和最小值. 例如，函数f(x)= 作图可知f(x)无最小值.,2.函数极值与最值的内在联系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.,(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个. (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值.,求已知函数的最值 【技法点拨】 导数法求可导函数最值的两要点 (1)求f(x)，令f(x)=0，求出在(a，b)内使导数为0的点. (2)比较两类点处的函数值：导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在a，b上的最大值，最小者便是f(x)在a，b上的最小值.,【典例训练】（建议教师以第1题为例题重点讲解） 1.函数f(x)=x3-x2-x+1在-1,2上的最大值为_，最小值为_. 2.求函数f(x)=x2-4x+6在区间1,5内的最大值和最小值.,【解析】1.解题流程,f(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 令f(x)=0，得x1= ，x2=1,极大值为f（ ）= ，极小值为f（1）=0,又f(-1)=0,f(2)=3,最大值为f(2)=3, 最小值为f(-1)=f(1)=0,答案：3 0,2.方法一:f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2, f(x)在区间1,2内单调递减，在区间2,5内单调递增. x=5时，函数取到最大值为f(5)=11； x=2时，函数取到最小值为f(2)=2. 方法二：f(x)=2x-4, 令f(x)=0，即2x-4=0，得x=2.,当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,由表知：函数f(x)在区间1，5内的最大值为11，最小值为2 .,【归纳】解答题1的关键点和题2方法二的解题技巧. 提示：(1)在熟练掌握求解步骤的基础上，解答题1的关键在于对函数进行正确的求导，正确的确定极值和端点函数值. (2)题2方法二的技巧在于把区间的端点值一并列表，在列表的同时比较得出函数的最值，清晰明了.,【变式训练】求函数f(x)=x3+3x2+5x-1在x-1,1内的最值. 【解析】f(x)=3x2+6x+5=3(x2+2x)+5 =3(x+1)2+2, 在x-1,1内f(x)0. f(x)在x-1,1上单调递增. 故f(x)min=f(-1)=-4，f(x)max=f(1)=8.,含参数的函数最值问题 【技法点拨】 已知函数最值求参数的方法 已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采用待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的解析式，进而可以研究函数的其他性质.,【典例训练】 1.(2012北京高考)已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值； (2)当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间k,2上的最大值为28，求k的取值范围. 2.若f(x)=ax3-6ax2+b(a0),x-1,2的最大值为3，最小值为29，求a,b的值.,【解析】1.(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b, 由已知可得 解得a=b=3. (2)f(x)=3x2+1,g(x)=x3-9x, 令h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1, h(x)=3x2+6x-9,令h(x)=0，得x1=-3,x2=1.,当x=-3时，取极大值28; 当x=1时，取极小值-4. 而h(2)=3h(-3)=28， 如果h(x)在区间k,2上的最大值为28，则k-3.,2.f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令f(x)=0，得x=0或x=4. x-1,2，x0. a0， 当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,当x=0时，f(x)取极大值，即最大值为3，b=3. 又f(2)=8a-24a+3=-16a+3， f(-1)=-7a+3f(2)， 当x=2时，f(x)取最小值，为16a329， a=2.a=2,b=3.,【思考】题2为什么对a的符号加以限定？ 提示：通过解答题2可知，a的符号对函数的单调性的变化有直接的影响，进而导致函数的最值也受a的符号的影响，如果题2不对a的符号限定，应注意对a进行讨论.,【互动探究】题2中a0这一条件删去，其他条件不变，求a,b的值. 【解析】显然a0(否则f(x)=b为常函数，矛盾). 则f(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令f(x)=0，得x=0或x=4. x-1,2，x0. (1)当a0时，,则当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表： 当x=0时，f(x)取极大值，即最大值为3，b=3. 又f(2)=8a-24a+3=-16a+3， f(-1)=-7a+3f(2)， 当x=2时，f(x)取最小值，为-16a+3=-29， a=2.a=2,b=3.,(2)当a0时， 则当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表： 当x=0时，f(x)取极小值,即最小值为-29， b=-29. 又f(2)=8a-24a-29=-16a-29， f(-1)=-7a-29f(2)，,当x=2时，f(x)取最大值,为-16a-29=3， a=-2. a=-2,b=-29. 综上所述，a=2,b=3或a=-2,b=-29.,与最值有关的恒成立问题 【技法点拨】 不等式恒成立问题常用的解题方法,分离参数，转化为f(x)a恒成立，即f(x)mina；或f(x)a恒成立，即f(x)maxa,求f(x)min或f(x)max,写出参数的取值范围,【典例训练】 1.设函数f(x)=ax3-3x+1(xR)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_. 2.已知f(x)=x3- x2-2x+5，当x-1,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围.,【解析】1.x(0,1，f(x)0可化为a 设g(x)= ,则g(x)= 令g(x)=0，得x= . 当0x 时,g(x)0; 当 x1时,g(x)0. g(x)在(0,1上有极大值g( )=4，它也是最大值, a4. 答案：4,+),2.f(x)=x3- x2-2x+5， f(x)=3x2-x-2. 令f(x)=0，即3x2-x-2=0， x=1或x=- . 当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,+,0,-,0,+,当x=- 时，f(x)取得极大值f(- )= 当x=1时，f(x)取得极小值f(1)= 又f(-1)= f(2)=7， f(x)在x-1,2上的最大值为f(2)=7. 要使f(x)a恒成立，需f(x)maxa，即a7. 所求实数a的取值范围是(7,+).,【互动探究】题2中，把“f(x)a”改为“f(x)a”,求实数a的取值范围. 【解题指南】解答本题可利用导数求出函数f(x)的最小值，进而可得a的取值范围. 【解析】由本题2解析可知 f(2)=7, f(x)在x-1,2上的最小值为f(1)= ， 要使f(x)a恒成立，需f(x)mina，即a ， 所求实数a的取值范围是(-, .,【想一想】解答题1的体会及解答题2的注意点. 提示：(1)当函数在闭区间上只有一个极值时，该极值必为最值. (2)在确定a的取值范围时，要注意等号能否取到.,【变式训练】已知函数f(x)=x3+ x2-6x+c在x-3,2时， 都有f(x) 恒成立，求c的范围. 【解析】f(x)=3x2+3x-6=3(x+2)(x-1). 令f(x)=0，即3(x+2)(x-1)=0， 解得x=-2或x=1. 当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,+,+,0,c+10,-,0,x=-2时，f(x)取得极大值为f(-2)=c+10， x=1时，f(x)取得极小值为f(1)=c- ， 又f(-3)=c+ ，f(2)=c+2. f(x)在x-3,2上的最小值为f(1)=c- . c- , 解得 c0或c,利用函数的最值证明不等式 【技法点拨】 利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将要证明的不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)，转化成f(x)-g(x)0(f(x)-g(x)0)的形式； (2)构造新函数h(x)=f(x)-g(x)； (3)利用导数求h(x)在所给区间的最小值(最大值)； (4)证明函数h(x)min0(h(x)max0)即可证原不等式成立.,【典例训练】 1.当0x 时，求证：tanxx+ 2.求证：lnx+ (x-1)21+ (1-x)3.,【证明】1.设f(x)=tanx-(x+ )， 则f(x)= -1-x2 =tan2x-x2=(tanx+x)(tanx-x), 0x ,tanxx0, f(x)0，即f(x)在(0, )上递增. 又f(0)=0，当x(0, )时，f(x)0, 即tanxx+ .,2.设f(x)=lnx+ - (x-1)2+ (x-1)3-1(x0), 则f(x)= - -(x-1)+2(x-1)2 = -(x-1)+2(x-1)2=(x-1)3 . 令f(x)=0，解得x=1,当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表： 由表可知，当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值. 当x0时，f(x)f(1)=0. lnx+ - (x-1)21+ (1-x)3.,【规范解答】不等式恒成立问题的解决方法 【典例】(12分)(2012邢台模拟)已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x0)在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.若对任意x0，不等式f(x)-2c2恒成立，求c的取值范围.,【解题指导】,【规范解答】f(x)=4ax3lnx+ax4 +4bx3 =x3(4alnx+a+4b). 2分 在x=1处取得极值-3-c， 即 解得a=12，b=-3. f(x)=48x3lnx(x0),4分 令f(x)=0,解得x=0或x=1. x0,x=1.6分,当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如表： x=1时，f(x)有极小值为-3-c,并且该极小值为函数的最小 值. 8分 要使对任意x0，不等式f(x)-2c2恒成立， 只需-3-c-2c2即可. 10分,整理得2c2-c-30. 解得c 或c-1. c的取值范围为(-,-1 ,+).12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)设函数f(x)=2ax- +lnx，若f(x)在x=1, x= 处取得极值. (1)求a，b的值； (2)在 ，2上存在x0,使得不等式f(x0)-c0成立，求c的 最小值. 【解题设问】(1)由题设条件可得到什么？_ (2)在 ,2上存在x0，使不等式f(x0)-c0成立是恒成立问 题吗？_.应该怎样转化？_,关于a,b的方程组,不是,cf(x)min,【规范答题】(1)f(x)=2ax- +lnx， f(x)=2a+ + . f(x)在x=1,x= 处取得极值， f(1)=0,f( )=0，2分 即 解得 所求a,b的值分别为- ,- .4分,(2)在 ,2上存在x0,使得不等式f(x0)-c0成立，只需cf(x)min, 由f(x)= ，6分 当x( )时，f(x)0， 故f(x)在( )上单调递减;,当x( ,1)时，f(x)0, 故f(x)在( ，1)上单调递增； 当x(1,2)时，f(x)0, 故f(x)在(1，2)上单调递减；8分 f( )是f(x)在 ，2上的极小值. 而f( )= +ln = -ln2, f(2)=- +ln2, 且f( )-f(2)= -ln4=ln -ln4,又e3-160, ln -ln40, 在 ，2上f(x)min=f(2), 10分 cf(x)min=- +ln2. c的取值范围为- +ln2,+),所以c的最小值为- +ln2. 12分,1.下列命题中正确的是 ( ) (A)一个函数的极大值总是比极小值大 (B)函数的导数为0时对应的点不一定是极值点 (C)一个函数的极大