均值不等式的实际应用.ppt

均值不等式的实际应用,教学重点：利用均值不等式解决实际问题 教学难点：实际问题数学化（建模）,教学重点和难点,利用均值不等式求函数的最值,教学关键,复习旧知识,均值不等式a2+ b22ab，a+b2 2ab (当且仅当a=b时上述各式取等号)； a3+ b3 + c33abc，a+ b+ c3 3abc (当且仅当a=b=c时上述各式取等号)。,利用上述重要不等式求最值时注意三点：各项为正，和或积为定值，当且仅当上述不等式取等号时未知数的取值必须在允许值范围内。,和为定值，积有最大；积为定值，和有最小值,例1：用边长为60厘米的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边形翻转90，再焊接而成，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大，最大的容积为多少？,解：已知量： 边长为60 cm的正方形铁皮。 需设量： 四角截去的小正方形的边长为：x cm 最终要研究的量：体积（V）=底面面积高,60cm,60cm,xcm,60-2x,x,60-2x,xcm,60-2x,60-2x,所求几何体的体积V=（ 60-2x ）（ 60-2x ） x,目标函数： V=(60-2x)(60-2x)x,3,=2(20)3 =16000 (cm)3,当且仅当30-x=2x即x=10时，Vmax =16000(cm) 3 答：截去小正形的边长为10cm时，水箱容积最大，最大容积为16000(cm)3,=2(30-x) (30-x) 2x,例2 : 一块长方形的铁皮长为80厘米，宽为50厘米，从四角处截掉四个同样大小的正方形，然后做成一个无盖的小箱，问截去小正方形的边长为多少时，水箱容积最大。,80cm,50cm,解：已知量： 长为80 cm，宽为50cm 需设量： 截去小正方形的边长为：x cm 最终要研究的量：体积（V）=底面面积高,xcm,xcm,80-2x,50-2x,此题若按例1的解法来解 当且仅当 80-2x = 50-2x,这样的x不存在！,目标函数： V= (80-2x) (50-2x) x,解: V = (80-2x) (50-2x) x = 2 (40-x) (50-2x) x,=18000(cm) 3,当且仅当40-x=50-2x=3x即小正方形边长x=10时， Vmax=18000 (cm) 3,解法：V=4(40-x) (25-x) x = (40a - ax) (25b - bx) x (4/ab),解得a=1/3，b=2/3，x=10,V=18 (40/3-x/3) (50/3-2x/3) x 18(40/3-x/3+50/3-2x/3+x)/3 3 =18000 当且仅当40/3 - x/3=50/3 - 2x/3 = x 即x=10时 V max =18000(cm) 3,若满足,由同学们来完成下列练习： 用总长29.6m的钢条制做一个长方体的容器的框架，如果所制做容器的底面一边比另一边长1m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。,解：已知量： 长方体的12条棱长之和为29.6 m，需设量：长方体的底面两边长为：x 和(x+1) m，高为hm最终要研究的量：体积（V）=底面面积高,而4x+4(x+1)+4h=29.6 即 h = 6.4 - 2x V=x (x+1) (6.4 - 2x),x+1,x,h,目标函数： V= x (x+1) h,V=x(x+1) (6.4 - 2x) =ax(bx+b) (6.4-2x)/ab,其中 a，b是待定的正常数且满足 a+b=2 且ax = bx + b = 6.4-2x 解得 a=1.2，b=0.8，x=2此时 V= 1.2x(0.8x+0.8) (6.4-2x)/0.96 (1.2x + 0.8x + 0.8 + 6.4 - 2x)/3 3 / 0.96 =(7.2/3) 3/0.96 =14.4m 3 答：当高h=6.4-22=2.4m时，Vmax =14.4m3,例3：制做圆柱形的罐头盒，如果容积一定，它的尺寸怎样取，所用的材料最少？,分析：所用的材料最少的本质是什么意思？ 或者说从数学的角度来说是什么意思？,分析出来实质是圆柱体的表面积,已知量： 体积 V（假定为定值） 需设量： 底半径r，高 h 最终要研究的量： 表面积 S=两个底面积 + 侧面积,2r,h,且V = r2 h,目标函数： S=2r2 +2r h,作业,如图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x，下底半径与上底半径之比为k（0k1）的内接圆台，试问：当x为何值时，圆台的