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硕士论文答辩： 有理三次Bzier样条曲线与PH样条曲线造型,答辩人：陈锦辉 （导师：彭群生教授） 浙江大学CADCG国家重点实验室 2002.6,2019/7/27,2,主要工作,有理三次Bzier样条 曲线的G 3连续,以往的曲线造型设计中，一般通过改变控制顶点的方法使Bzier曲线样条达到一定的连续阶。 本文提出了通过调整权因子而不是改变控制顶点来修改有理三次Bzier样条曲线的形状，实现了相邻两段Bzier曲线间的G 3连续拼接；实现了整体G3连续的闭曲线造型。,PH样条曲线造型,三次平面Bzier曲线在端点与端切矢不变的情况下，通过改变中间两个控制顶点使之成为PH曲线。利用三次Bzier-PH样条曲线直接逼近一般的Bzier曲线，并就其误差进行了估计。,有理Bzier曲线造型,曲线造型是计算机辅助几何设计和图形学的基础 ，其典型代表： 1. 参数形式的曲线，如Bzier曲线、B-样条曲线等； 2. 隐式曲线，如代数曲线等.,Bzier曲线是由法国工程师Bzier(1910-1999)于1962年提出的，其最初形式十分奇特，令人难以理解：,Bzier曲线,1972年，Forrest把Bzier曲线表示为如下形式： 其中， 为n次Bernstien基函数，Pi为控制多边形的顶点。,Bzier曲线的表达形式简单，具有很强的几何直观性，并有许多良好的性质 。 Bzier曲线比较好地解决了整体形状控制问题。 但Bzier多项式曲线对曲线拼接与局部修改仍存在着许多问题。,1974年，Gordon与Riesenfeld将Bzier曲线进行了拓广，把n次Bernstien基函数转换成n次B-样条基函数，构造了等距节点B -样条曲线。 B-样条曲线不仅具有Bzier曲线的几何特征，而且还具有曲线形状局部可调及连续阶数可调等Bzier曲线所没有的特征。 Boehm和Cohem等人又给出了B-样条曲线的节点插入技术和升阶技术。,B-样条曲线,有理Bzier曲线,有理Bzier曲线既能表示多项式曲线，又能表示圆锥曲线，可把两者统一起来，便于编程。 有理Bzier曲线可表示为： 其中 ，为权因子。,有理Bzier曲线具有与Bzier曲线类似的性质。 有理Bzier曲线在特定的线性变换下还具有形状不变性，即其形状取决于形状因子。,有理Bzier曲线造型,在曲线造型设计中，一般采用改变控制顶点的方法来达到所需要的连续阶。 在控制顶点给定而不能改变的情况下，通过权因子（形状因子）的调整，利用三次Bzier曲线构造整体连续的样条曲线。 利用有理多项式曲线构造G3连续的样条曲线，次数最低的是有理三次Bzier曲线。,实现两段有理三次Bzier曲线的连续拼接；两段分离的有理三次Bzier曲线的连续过渡；并且实现了有理三次Bzier样条曲线整体连续的闭曲线造型。 曲线间的G2连续就是曲率连续，而空间曲线间的G3连续的本质是挠率连续。,PH样条曲线,等距（offset）曲线曲面是基曲线曲面沿法线方向距离为d的点的轨迹 。 对于一条平面曲线 ，其等距距离为d的等距曲线可表示为：,等距曲线的形状不仅受原曲线的影响，而且还受等距距离d 和局部曲率的影响。 曲线曲面的Offset一般无法表示为有理形式，从而不能被通用的CAGD系统处理。 九十年代初，Farouki给出了多项式曲线的等距曲线为有理曲线的充分条件Pythagorean Hodograph（简称PH）条件 。 吕伟给出了具有有理等距曲线的参数曲线(Offset-Rational)-OR曲线。,对等距曲线曲面目前采用的方法主要有：,等距移动控制网格法 . 基圆包络逼近法 . 基于插值或拟合的方法 .,平面三次Bzier-PH曲线,目前，大部分逼近方法所得到的等距曲线通常是Bzier曲线，但所得的Bzier曲线具有较高的次数，或需要对原曲线进行多次离散，从而需要大量的数据存贮。 根据PH条件，得出了平面三次Bzier曲线在端点与端切矢不变的情况下，通过改变中间两个控制顶点使之成为PH曲线平面三次Bzier-PH曲线。 利用所得的平面三次Bzier-PH曲线逼近一般的平面曲线，从而得到原曲线的等距曲线。,连续的有理三次 Bzier样条曲线造型,有理三次Bzier曲线 的各阶端点切向量,平面有理三次Bzier曲线： 两个独立的参数为形状参数(形状因子)：,有理三次Bzier曲线端点 处的各阶导数,两段有理三次Bzier曲线段的G3连续拼接,两段有理三次Bzier曲线 、 ：,两段相邻的有理三次Bzier曲线,P0,P1,P2,P3,P4,P5,P6,两段相邻的有理三次Bzier 曲线的G 2连续条件,三点共线.,.,五点必共面.,.,2.,1.,等号两边同时与 作叉积，并经过计算整理可以得到：,G 2 连续为曲率连续,计算出曲线段在P3点处的曲率：,则：,三次多项式Bzier曲线与有理三次Bzier曲线的比较,(a) 两段三次多项式Bzier曲线,(b)两段有理三次Bzier曲线,在两段曲线的连接处，(a)曲率明显不连续；而（b)曲率是连续的。,两段有理三次Bzier曲线段的G 3连续拼接,两段有理三次Bzier曲线段的G 3连续条件,1.,2.,3.,式3可用形状参数及几何参数表示 ( ),不共面,G 3连续的实质是挠率连续,当 P0 、P1、P2、P3共面时,将P0 、 P6点沿着点P1、P2、P3所在的平面 法向N 方向作一个小的扰动变成 、,用形状参数及几何参数表示：,对平面控制顶点而言，通过上两式选择形状参数 就可使相邻两段有理三次Bzier曲线达到G3连续。,两段有理三次Bzier曲线段的过渡曲线,两段给定曲线的过渡曲线,给定平面上两段分离的有理三次Bzier曲线段C1、 C2要确定有理三次Bzier曲线段C必须确定它的控制顶点 及形状参数 要使过渡曲线C与C 1、C 2分别在点R0及R3点达到G 3连续，则 与R1、R2必须满足如下方程：,过渡曲线控制顶点的求法,其中s是一个与 无关的常数,设 ，则：,从而,，同理可以求出 。,利用有理三次Bzier曲线段 进行闭曲线造型,给定平面上m(=3n+1)个点P1，P2，P3n，P3n+1，并且P3n+1=P1，要求构造一条有理三次Bzier样条曲线，以给定的点为控制顶点，并达到一定的几何连续阶。,G 1连续条件的图示,1、G 1连续条件 P3i，P3i+1，P3i+2(i=1，n-1)共线 2、G 2连续闭曲线条件 不再改变控制顶点，通过调整形状参数使它们达到G 2连续。 3、G 3连续闭曲线造型 首末两段曲线一般不能达到连续，先构造一条连续的开曲线样条，再构造一段G 3连续的过渡曲线。,小 结,通过改变形状参数而不是通过改变控制顶点的方法来控制曲线的形状及协调曲线段之间的几何连续性。 能否将该思想推广到曲面，这对于洞的填补、曲面的拼接具有十分重大的意义,PH样条曲线造型,等距（offset）曲线曲面是基曲线曲面沿法线方向距离为d的点的轨迹。 对于一条平面曲线 其等距距离为d的等距曲线可表示为：,平面三次Bzier曲线为 PH曲线的条件,平面三次Bzier曲线： 曲线r (t)为PH曲线的充要条件为：,三次Bzier曲线为PH曲线的条件,改变控制顶点使三次Bzier 曲线为PH曲线,给定一条平面三次Bzier曲线r (t)，在起点与终点不变，且端切矢相同的情况下，可以通过改变中间两个控制点P1、P2使之成为PH曲线。,改变Bzier曲线的控制顶点成为PH曲线,1. 当 时， 如果 ，则： 如果 ，则： （其中 ）,Q1，Q2的坐标分别为,2. 当 时，设 则： Q1，Q2的坐标分别为,控制多边形的两边平行时 Bzier-PH曲线的构造,3. 当 时， 如果 ，则,如果 ，则： 如果 ，则： （对于后两种情况所得的PH曲线为反方向，因此其逼近效果不好。),控制多边形的两个底角之和 大于 时PH曲线的构造,Bzier曲线于由其生成的三次 Bzier-PH曲线之间的比较,逼近精度30，分割次数5,逼近精度20，分割次数8,逼近精度50，分割次数10,Bzier曲线与三次Bzier-PH 曲线之间的误差,平面三次Bzier曲线 由其生成的Bzier-PH曲线 两条曲线之间的误差：,四次Bzier曲线与三次Bzier-PH 曲线之间的误差,四次