数学概念的划分和命题.ppt

第四讲 数学概念和命题,数学概念的划分,概念的内涵借助于定义来揭示，那么概念的外延借助于哪种方法来揭示呢？ 前面讲述的概念间的关系是揭示外延的一种方法，此外还有借助于概念的划分来揭示概念外延的方法。,概念的划分是把一个属概念，按一定标准分为若干个不相容的种概念的逻辑方法。 划分是一种科学的分类，与通常将某一事物分成若干种情况的说法，在意义上有较大差别。,划分必须按一定标准进行 。逻辑 学上的划分是一种专有名词的 任何划分包含三部分，它们是划分的母项（属概念）、划分的子项（各个种概念）以及划分的标准,划分必须遵守一定的原则（要求）： 划分必须按照同一标准（定义所规定）； 划分的各子项间必须是不相容关系（定义 所规定）； 划分必须相称，即划分的子项的外延之和必须等于被划分的属概念的外延； 划分不能越级，而被划分的属概念必须是划分的各子概念的最邻近的属概念。,是保证划分的一致性，不能混乱；要求和是保证划分“不漏”、“不重”；要求是保证划分层次分明、清晰、合理。 不符合要求和，划分中没有同一标准，且各子项关系不是不相容关系,不符合要求，其中只有两边相等的三角形被漏掉,不符合要求，直角梯形最邻近的属是梯形，而不是四边形，按划分的要求，四边形应划分为：,这样的划分是按照标准“四边形的每组对边的平行关系”其中没有一组对边平行为一类，只有一组对边平行为一类，有两组对边平行为一类，共三类，故划分为 个子项。,数学的判断 判断同概念一样也是思维的一种形式，它反映了概念与概念的联系。 判断表 达人们对思维对象具有某种属性或不具有某种间的属性的断定 判断是对思维对象有所断定的思维形式。,判断必须通过语言或符号来表达与用词语表达概念不同，判断的表达形式是语句。 我们将表达判断的语句叫做命题。,这3 个语句都是判断，它们都表达了对思维对象的性质或关系作出了肯定或否定。 命题是一种特殊表达形式的语句，“有所断定”是判断的基本特征。 如“4是素数吗？”不是判断，无所断定的语句不是判断即不是命题，因为它既没有肯定什么，也没有否定什么。,命题具有真、假意义 如“凡直角都相等 ”是真的，“正三角形是中心对称图形”是假的，因此可知，命题是具有真假意义的语句，具有真意义的命题称为真命题，反之为假命题。,判断的种类 在逻辑学中,判断可按不同的标准进行分类： 按判断的量分类，有全称判断，特称判断 按判断的质分类，有肯定判断，否定判断 按判断的关系分类，有直言判断，假言判断，选言判断 按质与量来分，共有4 类,按判断本身是否还包含有其他判断可分为简单判断和复合判断。简单判断是不包含有其他判断的判断，复合判断是包含有至少一个其他判断的判断。如下列的判断分别是相应的简单判断和复合判断。,(1)所有的自然数不是无理数。(简单判断、性质判断) (2)2小于3。(简单判断、关系判断) (3)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。(复合判断、充分条件假言判断) (4)一个自然数只有能被3整除，才能被9整除。(复合判断、必要条件假言判断) (5)当且仅当两直线的斜率相等时，这两直线才平行。(复合判断、充分必要条件假言判断) (6)平面上的两直线若不平行，则互相垂直或互相不垂直。(复合判断、选言判断),(7)3既是整数又是实数。(复合判断、联言判断) (8)并非所有实数都是有理数。(复合判断、负判断),数学命题,1数学命题的意义 32，(a+b)2=a2+2ab+b2，ABCABC 判断有真假之分，命题也相应地有真假之分。用A、B、C或者p、q、r表示任意的命题，当p是真命题时，记作“p=1”，p是假命题时，记作“p=0”。1和0称为命题的真值。,2命题的基本运算 命题的基本运算有否定(非)、合取(与)、析取(或)、蕴涵(若则)、等价(当且仅当)等。 (1)否定。 (2)合取 (3)析取。 (4)蕴涵。 (5)等价。,非、与、或、若则、当且仅当统称为逻辑联结词。在一个命题中若没有逻辑联结词出现，则该命题称为简单命题，否则叫做复合命题。 以p、q分别表示简单命题，以上五个联结词结合简单命题形成如下五类复合命题。,负命题 联言命题 选言命题 充分条件假言命题 充分必要条件假言命题,3命题运算律 (1)复合命题的真值。一个复合命题的真值取决于构成它的各个命题的值，可以利用真值表来计算。 (2)命题运算中常用的定律。,数学命题的四种形式及其关系,在数学中，为了全面地研究命题中条件和结论的逻辑联系，往往把一个命题的条件和结论换位，或者把条件和结论变为它们的否定，就可以得到三个新的命题。 互逆关系。 互否关系。 互逆否关系。,例1 原命题：若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相垂直。 (假) 逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是平行四边形。 (假) 否命题：若一个四边形不是平行四边形，则它的对角线不互相垂直。 (假) 逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则它不是平行四边形。(假),例2 原命题：在ABC中，若ABAC，则CB。 (真) 逆命题：在ABC中，若CB，则ABAC。 (真) 否命题：在ABC中，若ABAC，则CB。 (真) 逆否命题：在ABC中，若CB，则ABAC。 (真)