正弦稳态电路的分析.ppt

6.1 正弦量及其相量表示,第6章 正弦稳态电路的分析,6.2 电路定律的相量表示,6.4 正弦稳态电路的分析,6.5 正弦稳态电路的功率,6.3 阻抗和导纳,6.1 正弦量及其相量表示,一、正弦量的三要素,电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的数学描述，可以采用正弦函数，也可采用余弦函数。但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种形式，不要两者同时混用。本书采用余弦函数。,设右图中正弦电流 i 的数学表达式为,1.振幅Im,Im称为正弦量的振幅，即正弦量的最大值(maximum)imax。,当,时，正弦量有最小值imin = -Im。,imax - imin = 2Im 称为正弦量的峰峰值。,2.角频率(angular frequency),随时间变化的角度(t + i)为正弦量的相位(或相角)。为正弦量的角频率，是正弦量的相位随时间变化的角速度，即,角频率的单位为rad/s。它与正弦量的周期 T 和频率 f 之间的关系为：,频率(cyclic frequency) f 的单位为1/s，称为Hz(赫兹)。我国工业用电的频率为50Hz。,正弦量在 t = 0 时刻的相位(phase)，称为正弦量的初相位(initial phase angle)，简称初相。即,3.初相(位)i,正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据。,初相的单位用弧度或度表示，通常取| i |1800。它与计时零点有关。对任一正弦量，初相是允许任意指定的，但对于一个电路中的许多相关的正弦量，它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位。,正弦量随时间变化的图形称为正弦波。,4.正弦波形(waveform),二、两个同频率正弦量之间的相位差(phase difference),设两个同频率正弦量 u 和 i 分别为：,两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果，在主值范围内取值。设j 表示电压 u 和电流 i 之间的相位差。则,上式表明，同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差，为一个与时间无关的常数。电路中常采用“超前”和“滞后”来说明两个同频率正弦量相位比较的结果。,同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定，在同一个周期内两个波形的极大值(或极小值)间的角度值(1800)，即为两者的相位差。超前者先达到极值点。相位差与计时零点的选取、变动无关。,0,试分析图中各量的相位关系。,三、正弦量的有效值(effective value),正弦量的有效值用来表示正弦交流电的大小。,有效值定义：设两个相同的电阻，分别流过周期电流和直流电流。如果在周期信号的一个周期内，两个电阻消耗的能量相等，则该直流电流的数值为周期电流的有效值，表明两者在能量消耗方面具有相同的效果。,周期电流i(t)在一个周期T 时间内在电阻R上消耗的电能为,直流电流I在一个周期T 时间内在电阻R上消耗的电能为,按照有效值的定义，若,则,即,电流 I 称为电流 i(t)的有效值。它是电流 i(t)在一个周期内的均方根值。,类似地，周期电压的有效值：,当电流 i 有为正弦量时，有,有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流。例如对于图(a)所示三角波形，将瞬时值表达式,得：,计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值是的 倍，或者说其振幅值是有效值的 倍。,选讲,对于图(b)所示半波整流波形，将其瞬时值表达式,可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的0.5倍，或者说其振幅值是有效值的2倍的结论，具体计算过程如下：,选讲,1)代数形式,在数学中虚单位常用i表示，如F = a + bi，但由于在电路中已用i表示电流，故虚单位改用j表示。,实部(real part) ReF = a 虚部(imaginary part) ImF = b,复数可用复平面上的向量表示：,四、复数(complex)的运算,1.复数的表示形式,共轭复数,2)三角形式,3)指数形式(exponential form),4)极坐标形式(polar form),欧拉公式,平行四边形法则：,F1,F2,F1 +F2,F1,F2,F1F2,2.复数的基本运算,1)加减运算,复数的加减运算采用代数形式较为简便，或在复平面中使用平行四边形法则。,设,2)乘法运算,(a)代数形式,(b)指数形式,即复数乘积的模等于各复数模的积；其辐角等于各复数辐角的和。,(c)极坐标形式,可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。,3)除法运算,(a)代数形式,(b)指数形式,(c)极坐标形式,可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。,两个复数的乘法也可以在复平面上进行计算，即复数的模相乘，辐角在1的基础上逆时针旋转2角度，即为复数乘积的辐角。,两个复数的除法也可以在复平面上进行计算，即复数的模相除，辐角在1的基础上顺时针旋转2角度。,4)旋转因子,根据欧拉公式可得e j/2= j，e -j/2= -j，e j= -1。因此“j ”和“1”都可以看成旋转因子。若一个复数乘以j，等于在复平面上把该复数逆时针旋转/2。若一个复数除以j ，等于把该复数乘以-j ，则等于在复平面上把该复数顺时针旋转/2。,复数的乘、除运算表示为模的放大或缩小，辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转。复数ej =1是一个模等于1，辐角为的复数。任意复数F1=F1ej1乘以ej等于把复数F1逆时针旋转一个角度 ，而F1的模值不变，所以ej称为旋转因子。,5)相等运算,在复数运算中常有两个复数相等的运算。两个复数相等必须满足两个条件：复数的实部、虚部分别对应相等；或者复数的模和辐角分别对应相等。即若,则必须有：,或必须有：,在线性电路中，如果电路中的所有电源均为同一频率的正弦量，则电路中各支路的电压和电流的正弦稳态响应(sinusoidal steady-state response)也将是同频率的正弦量。处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，又称正弦电流电路。相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具。,1.相量(phasor)的概念,五、正弦量的相量表示,从而，正弦交流电流,可以看出， 是以正弦量的有效值为模，以初相为辐角的一个复数，定义其为正弦量 i 的相量，记为 。,正弦量的有效值相量,正弦量的振幅相量、最大值相量,注意：,正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应的关系，不是相等的关系。,若已知正弦量时域表达式，可直接写出与之对应的相量。,若已知正弦量的相量，须再知道其角频率才可写出与之对应的函数表达式。,相量是个复数，它在复平面上的图形称为相量图。,2.旋转相量,与正弦量相对应的复指数函数在复平面上可以用旋转相量表示出来。其中复常数 称为旋转相量的复振幅，ejt 是一个随时间变化而以角速度 不断逆时针旋转的因子。复振幅乘以旋转因子ejt 即表示复振幅在复平面上不断逆时针旋转，故称之为旋转相量。这就是复指数函数的几何意义。,对于 ，其几何意义为：正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。,旋转相量及其在 实轴和虚轴上的投影,3.相量的运算,正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分及同频率正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个同频率的正弦量。其相应的相量运算如下：,1)同频率正弦量的代数和,设它们的代数和为正弦量 i ，则,设,2)正弦量的微分,上式表明：,复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；,正弦量的导数是一个同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量乘以j，即表示di/dt 的相量为,该相量的模为I ，辐角则超前原相量/2 。,对 i 的高阶导数 dni/dtn，其相量为 。,上式在任何时刻都成立，则有,设,3)正弦量的积分,上式表明：,复指数函数实部的积分等于复指数函数积分的实部；,该相量的模为 I / ，辐角则滞后原相量/2。,对 i 的 n 重积分，其相量为 。,正弦量的积分结果为同频率的正弦量，其相量等于原正弦量的相量除以j，即表示 的相量为,设,例1 ：已知两个同频率的正弦电流分别为,解：,(1)由题意，设 ，其相量为,(2)由题意，设 ，其相量为,(3)由题意，设 ，其相量为,6.2 电路定律的相量形式,一、电阻元件中电压与电流的相量形式,则,即,二、电感元件中电压与电流的相量形式,则,(电压超前于电流 ),感抗XLUL/IL=L=2f L的量纲与电阻相同，为欧姆()。,=0时，L=0，此时电感相当于短路。,三、电容元件中电压与电流的相量形式,则,(电压滞后于电流 ),容抗XC= UC/IC= 1/(C ) 的量纲与电阻相同，为欧姆()。,=0 时，1/(C )，此时电容相当于开路。,四、受控源,如果线性受控源的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。例如,五、基尔霍夫定律的相量形式,正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频率正弦量。,对电路中的任一节点(或闭合面)，在时域内有KCL方程：,KCL方程的相量形式,对电路中任一回路(或闭合节点序列)，在时域内有KVL方程：,KVL方程的相量形式,例2:正弦电流源 iS的有效值为5A，=1000rad/s，R=3，L=1H，C=1F。求uad和 ubd。,解：,画出相量形式的电路图。,设电路的电流相量为参考相量(reference phasor)，即,则,例3:已知右图中各电流表都是交流电流表，其读数为电流的有效值。电流表1、2、3的读数依次为 5A、20A、25A。求电流表4、5的读数。,解：,选并联电压相量为参考相量。,所以，电流表4的读数为5A；电流表5的读数为7.07A。,6.3 阻抗和导纳,一、阻抗(impedance)与导纳(admittance),R、L、C各元件电压电流相量关系：,统一,(Z 为元件复阻抗，简称阻抗，量纲为欧姆),1、阻抗Z,称为欧姆定律的相量形式。,线性无源一端口N0在正弦激励下处于稳态时，端口电压相量 与电流相量 的 比值定义为该一端口的复阻抗Z，即：,其中,阻抗三角形,复阻抗模阻抗,阻抗角,电阻,电抗(reactance),如果N0内部仅含单个元件R、L或C，或串联组合，则对应的复阻抗分别为:,感抗,容抗,单位为,N0内部为 RLC 串联电路时的等效阻抗(复阻抗) Z 为:,其中,Z的电抗,一般情况下，按上式定义的复阻抗又称为一端口N0的等 效阻抗、输入阻抗或驱动点阻抗，它的实部和虚部都将是外 施正弦激励的角频率的函数，即:,电抗分量,电阻分量,R、L、C各元件电压电流相量关系：,2、导纳Y,(YR、YL、YC分别为电阻、电感、电容的复导纳，简称导纳，量纲为西门子),导纳三角形,其中,复导纳模导纳,导纳角,电导,电纳(suspectance),如果N0内部仅含单个元件R、L或C，或并联组合，则对应的复导纳分别为：,感纳,容纳,N0内部为 RLC 并联电路时的复导纳 Y 为:,其中,Y的电纳,一般情况下，按上式定义的复导纳又称为一端口N0的等 效导纳、输入导纳或驱动点导纳，它的实部和虚部都将是外 施正弦激励的角频率的函数，即:,电纳分量,电导分量,同电阻的串联电路相似，对于 n 个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为：,二、阻抗及导纳的串并联,各个阻抗的电压分配为,1.阻抗的串联,同电阻的并联电路相似，对于 n 个导纳并联而成的电路， 其等效导纳为：,2.阻抗的并联,各个导纳的电流分配为,例4 已知 Z1=10+j6.28 , Z2=20-j31.9 , Z3=15+j15.7 。 求 Zab。,解：,解：,例5 已知图示RLC串联电路中 R = 15，L = 12mH， C = 5F，端电压 ， 试求等效阻抗 Zeq、电路中 的电流 i 及各元件的电压相量。,例6 图示电路中 R1=10 ， L=0.5mH，R2=1000 ， C=10F， U=100V， =314rad/s，求各支路 电流和电压。,解：,ZR2与ZC 的并联等效阻抗为Z10，有,则,总的输入阻抗 Zin 为,各支路电流和电压 计算如下：,三、阻抗与导纳的等效变换,一般情况 G1/R，B1/X。 若Z为感性，X0，则B0，即仍为感性。,？,同样，若由 Y 变为 Z ，则有：,？,根据各相量的相位相应地确定各相量在图上的位置。 按比例画出各相量的模。 以电路并联部分的电压相量为参考，确定各并联支 路电流相量与电压相量之间的夹角；再根据KCL 方程作出节点上各支路电流相量所组成的多边形。 以电路串联部分的电流相量为参考，确定有关电压 相量与电流相量之间的夹角；再根据回路KVL方程 作出回路上各电压相量所组成的多边形。,画相量图要点：,电路的相量图由相关的电压和电流相量在复平面上组成。,四、正弦稳态电路的相量图,例7 画出例 6.2电路的相量图。,例8 画出例 6.3电路的相量图。,要点回顾： 对于电路中的并联部分，可以选取并联电压作为参考相量； 对于电路中的串联部分，可以选取串联电流作为参考相量。,解：以 为参考相量，根据 画出相量图。,电阻电路与正弦稳态电路相量法分析比较：,可见二者依据的电路定律是相似的。只要作出正弦电流电路的相量模型，便可将电阻电路的分析方法推广到正弦稳态电路的相量分析中。在用相量法分析时，电路方程是以相量形式表示的代数方程，计算为复数运算。,6.4 正弦稳态电路的分析,列写电路的回路电流方程。,例9,解：,例10 列写电路的节点电压方程。,解：,节点1：,节点2：,方法(1)电源变换,解：,例11,方法(2)戴维南等效变换,例12 用叠加定理计算电流 。,解：,(1) 单独作用时（ 短路）,(2) 单独作用时（ 开路）,已知平衡电桥 Z1 = R1，Z2 = R2，Z3 = R3+jwL3。 求：Z4=R4+jwL4。,由平衡条件：Z1 Z3= Z2 Z4 得,R1(R3+jwL3)=R2(R4+jwL4), R4=R1R3 /R2 , L4=L3 R1/R2,例13,解：,|Z1|1 |Z3|3 = |Z2|2 |Z4|4,例14,解：,分析：若设 ，则Z转实部为零，相位差为90o。,故电流领先电压90o。,已知：U = 115V，U1 = 55.4V， U2 = 80V，f = 50Hz， R1 = 32W 。 求：线圈的电阻 R2 和电感 L2。,方法(1) 已知的都是有效值，画相量图进行定性分析。,例15,解：,将上述方程联立求解，可得：,方法(2),N为任意线性网络（u，i 取关联参考方向）。,一、瞬时功率(instantaneous power)：,第一种分解方法,6.5 正弦稳态电路的功率,第二种分解方法,第一种分解方法：, p有时为正，有时为负； p 0，电路吸收功率；p 0，电路发出功率。,恒定量,正弦量,第二种分解方法：,不可逆部分,可逆部分,瞬时功率实用意义不大，且不便于测量。一般讨论所说的功率指瞬时功率在一个周期内的平均值，即平均功率。,二、有功功率(平均功率:average power)P：,有功功率(active power)的单位：W(瓦)，kW(千瓦),对无源网络，为其等效阻抗的阻抗角。即,cos 称为功率因数(power factor)。常记做 = cos 。,瞬时功率中的恒定分量,平均功率实际上是电阻消耗的功率，即有功功率。它代 表电路实际消耗的功率，它不仅与电压和电流的有效值的乘 积有关，而且与它们之间的相位差有关。这是交流电路和直 流电路的区别，其原因在于储能元件在交流电路中产生了阻 抗角。,电阻总是消耗功率的，电感、电容则不消耗有功功率。,有功功率满足功率守恒定律，即任一正弦稳态电路各元 件（或支路）吸收的有功功率之和恒为零，即 。,三、无功功率(reactive power)Q：,无功功率的单位： var(乏)，kvar(千乏)。,瞬时功率中可逆分量的幅值,工程中，引用无功功率的概念来反映电路中电感、 电容等储能元件与外电路或电源之间能量交换的情况。,感性负载： 0，Q 0，表示网络吸收无功功率 （或称该一端口网络输出感性的无功功率）；,容性负载： 0，Q 0，表示网络发出无功功率 （或称该一端口网络输出容性的无功功率）。,四、视在功率(apparent power)S,它反映电气设备的容量（额定电压和额定电流的乘积）。,视在功率的单位：VA(伏安)，kVA(千伏安)。,视在功率一般不满足功率守恒定律。,有功功率、无功功率、视在功率的关系：,有功功率: P = UIcosj 单位：W,无功功率: Q = UIsinj 单位：var,视在功率: S = UI 单位：VA,功率三角形,阻抗三角形,导纳三角形,五、RLC串联电路的功率问题：,六、交流电路功率的测量：,使用功率表应注意：,(1)同名端：在负载的u、i为关联参考方向下，电流 i 从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。,(2)量程：P的量程 = U的量程 I的量程 cosN,测量时，P、U、I均不能超量程。,例17 三表法测线圈参数。,解：,方法(1) 功率表的读数表示电阻吸收的有功功率。,方法(2) 功率表的读数表示线圈吸收的有功功率。,五、功率因数的提高,设备容量 S（额定）向负载送多少有功功率要由负载的阻抗角决定。,P = Scosj,cosj = 1，P = S = 75kW,cosj = 0.7，P = 0.7S = 52.5kW,一般用户： 异步电机 空载cosj = 0.2 0.3 满载cosj = 0.7 0.85,日光灯 cosj = 0.45 0.6,(1)设备不能充分利用，电流到了额定值，但功率容量还有；,(2)当输出相同的有功功率时，线路上电流大I =P/(Ucosj )， 线路压降损耗大；线路的有色金属消耗量也增加。,功率因数低带来的问题：,解决办法：对于感性负载并联电容，提高功率因数（改进自身设备）。,分析:,并联电容后，原感性负载流过的电流不变，吸收的有功功率和无功功率都不变，即负载工作状态没有发生任何变化。由于并联电容的电流 超前 900，端口总电流 减少了。从相量图上看， 和 的夹角减小了（ 变 ），从而提高了功率因数 。,补偿电容量的确定：,因为电容不消耗有功功率，所以 并联电容前后电路所消耗的总有 功功率没有发生变化。,（吸收负的无功功率）,无功补偿的3 种不同情况：,全补偿 电容设备投资增加， 经济效果不明显,欠补偿,过补偿 使功率因数又由高变低 (电路性质由感性变为容性),综合考虑，以提高到适当值为宜( 0.9左右)。,功率因数提高后，减少了电源的无功“输出”，从而 减小了电流的输出，这提高了电源设备的利用率，使其可 以带更多的负载，充分利用设备的能力。同时线路上电流 的减少，使得传输线上的损耗也相应的减少了；线路的有色金属消耗量也减少。,功率因数提高的意义：,再从功率这个角度来看功率因数的提高：,并联电容后，电源向负载输送的有功功率不变，但是电源向负载输送的无功功率减少了，减少的这部分无功功率就由电容“产生”来补偿，使感性负载吸收的无功功率不变，而电路的功率因数得到改善。,例18 已知：f = 50Hz，U = 380V，P = 20kW，cosj1=0.6 (感性)。要使功率因数提高到0.9 , 求并联电容C。,解：,六、复功率(complex power):,为了用相量 和 来计算功率，引入“复功率 ”。,电压、电流的有功分量和无功分量：,(以感性负载为例， ),复功率守恒定理,在正弦稳态下，任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。,注意：复功率、有功功率、无功