角函数的有关计算-解直角三角形.ppt

3.三角函数的有关计算,沈阳南昌中学九年级,九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系,RtABC中除直角之外的五要素: 三条边:AB,AC,BC;两个锐角:A ,B,知识回顾,（2）两锐角之间的关系,AB90,（3）边角之间的关系,（1）三边之间的关系,（勾股定理）,知识回顾,知识回顾,特殊角的三角函数值表,由锐角的三角函数值反求锐角,1 . 如图，在RtABC中，C 90， 求B.,如何解直角三角形,解：在RtABC中，,tanB=,B=30,30,2.如图,身高1.7m的小明用一个两锐角分别是30和60 的三角尺测量一棵树的高度.已知他与树之间的距离 为5m,那么这棵树大约 有多高?（精确0.1m）,解:在RtACD中，CAD30 tan30,CDADtan30,CE1.7+ 4.6(m),棵树大约4.6m.,3 .如图，ABC中，B=45，C=30，AB=2，求AC的长.,解：过A作ADBC于D， 在Rt ABD中,B=45,AB=2，,D,45,30,2,AD=ABsinB,sinB =,在RtACD中，C=30,=2sin45=,AC=2AD =,解：在RtACD中,BDA45 CD=AD, AD2 +2,知识的运用,怎样做？,体会这两个图形的“模型”作用.将会助你登上希望的峰顶.,4.如图,D90,B=30,ACD=45, BC=4cm,求AD.,A,B,C,45,30,4,D,BD= AD,在RtABD中，B30 tan30=,BDCD=BC, 即 ADAD4,x,x,x,巩固练习,建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为60,观察底部B的仰角为45,求旗杆的高度(精确到0.1m),40,(课本17页),5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60和45求路况显示牌BC的高度,2010年长沙,解：在RtADB中， BDA45，AB3 DA3,CA=,在RtADC中，CDA60 tan60=,BC=CABA=( 3)米,答：路况显示牌BC的高度是( 3)米,6.一个人先爬了一段45o的山坡300m后，又爬了一段60o的山坡200m，恰好到达山顶。你能计算出山的高度吗？,A,B,C,D,300m,200m,解：过B作BECD于E，BFAD于F.,在RtABF中，A45 BFABsin45=150,在RtABF中,CBE60 CEBCsin60=100,山高(150 100 )m,7.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部的俯角为60,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?,=30,=60,120,A,B,C,D,解；在RtABD中，BAD30 BDADtan30=40,在RtACD中,CAD60 CDADtan60=60,山高100 m,BCBD+CD100,8.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？,B,A,D,F,60,12,30,解：过A作AFBD于F.设AFx海里 在RtABF中,BAF60, x=6 8,在RtADF中，DAF30 DF=AFtan30= x,BFDF=BD ，即,没有触礁的危险,BF=AFtan60 x,x,解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解.,温馨提示,在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.,1.解直角三角形,(1)三边之间的关系:,a2b2c2（勾股定理）；,2.解直角三角形的依据,(2)两锐角之间的关系:, A B 90；,(3)边角之间的关系:,知识回顾,(必有一边),感悟：利用解直角三角形的知识解决实际问题 的一般步骤:,1.将实际问题抽象为数学问题;,(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题),2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形;,3.得到数学问题的答案;,4.得到实际问题的答案.,(有“弦”用“弦”; 无“弦”用“切”),已知斜边求直边，,已知直边求直边，,已知两边求一边，,已知两边求一角，,已知直边求斜边，,计算方法要选择，,正弦余弦很方便；,运用正切理当然；,函数关系要选好；,勾股定理最方便；,用除还需正余弦；,能用乘法不用除.,优选关系式,a,b,c,9.如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,学以致用,1,2,10,10,F,如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,解：过点C作CD AB,垂足为D,10,5,10,F,灯塔B在观察站A北偏西45的方向, B=45,sinB =,CD=,BCsinB=,10sin45=,10 =,在RtDAC中， sin DAC=, DAC=30,CAF=,BAF -DAC=,45-30=15,45,45,灯塔C处在观察站A的北偏西15的方向,如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？,解：过点A作AEBC，垂足为E,10,10,设CE=x,在RtBAE中，BAE=45 AE=BE=10+x,在RtCAE中，AE2+CE2=AC2,x2+(10+x)2=(10 )2,即：x2+10x-50=0,(舍去),灯塔C处在观察站A的北偏西15 的方向,sin CAE=,CAE15,45,练一练,1.在Rt ABC中，C90，已知a， A的值，则c的值为 A. atanA B. asinA C. D. （ ） 2.在Rt ABC中，C90，已知 ，BC6， 则AC ，AB . 3.在RtABC中，C90，根据下列条件解直角三角形； (1) A45, a= 3; (2) c=8,b=4;,思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？,D,8,10,一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解.,在山脚C处测得山顶A的仰角为45问题如下: 沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB.,D,巩固练习,2009沈阳中考 16如图，市政府准备修建一座高AB6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角ACB的正 弦值为 ，则坡面AC的长度为 m,2008沈阳中考 14如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD， BCAD，迎水坡AB长13米，且tanBAE ，则河堤的高BE为 米,再见,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足50 75.现有一个长6m的梯子.问:,(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的平房?(精确到0.1m),这个问题归结为: 在RtABC中,已知A= 75,斜边AB=6,求BC的长,角越大,攀上的高度就越高.,你能解决吗?,要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角一般要满足50 75.现有一个长6m的梯子.问:,(2)当梯子底端距离墙面2.4m时,梯子与地面所成的角等于多少(精确到1)?这时人能否安全使用这个梯子?,这个问题归结为: 在RtABC中,已知AC=2.4m,斜边AB=6, ,求锐角的度数?,你能解决吗?,角是否在50 75内,例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a22， 求电线杆AB的高（精确到0.1米）,1.20,22.7,知识应用,仰角和俯角,铅直线,水平线,视线,视线,仰角,俯角,在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.,介绍:,例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a22， 求电线杆AB的高（精确到0.1米）,1.20,22.7,22,知识应用,E,例2:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30,看这栋高楼底部的俯角为60,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?,=30,=60,120,A,B,C,D,巩固练习,建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50,观察底部B的仰角为45,求旗杆的高度(精确到0.1m),40,(课本93页),例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）,65,34,P,B,C,A,指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方位角. 如图：点A在O的北偏东30 点B在点O的南偏西45（西南方向）,方位角,介绍:,例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯