时域离散信号和系统的频域分析(12上).ppt

第 2 章 时域离散信号和系统的频域分析,Discrete-Time Signals and Systems in the Transform-Domain,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,2,2019/7/29,本章主要内容,序列的傅里叶变换（DTFT） 离散傅里叶级数（DFS） 周期序列的傅里叶变换 序列的Z变换（ZT） 逆Z变换 时域离散时不变系统的变换域分析,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,3,2019/7/29,2.1 引言,信号和系统的描述方法和分析工具 时域信号序列、系统单位脉冲响应、差分方程 直观 求解难，分析困难 特征不易把握 设计难 频域信号频谱、系统频率响应、离散时间傅里叶变换（DTFT）、Z变换、 便于求解 分析、设计易,2.2 时域离散信号的傅里 叶变换,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,5,2019/7/29,连续信号的傅里叶变换（FT）,连续信号的傅里叶变换定义如下 正变换 反变换 时域非周期绝对可积信号，在频域中为连续的频谱,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,6,2019/7/29,2.2.1 时域离散信号的傅里叶变换的定义,若 序列 绝对可和，或者说序列能量有限，即 则时域离散信号 的傅里叶变换(DTFT离散时间傅立叶变换)为 正变换（DTFT） 其中： ，T是采样间隔。 表示序列的频率特性。 幅频特性： 相频特性： 注意：求和上下限、变换的条件、n取整数、DTFT变换的结果是连续的，且以2为周期。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,7,2019/7/29,反变换（IDTFT）定义： 证明： 由于 于是,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,8,2019/7/29,DTFT举例,例2.2.1求矩形序列 的傅里叶变换 解：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,9,2019/7/29,2.2.2 周期信号的离散傅里叶级数（DFS）,周期为 基频 正变换 反变换,连续周期信号的傅里叶级数（FS）,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,10,2019/7/29,表明： 时域连续周期信号 频域非周期离散序列； 任意周期信号 x(t) 可分解为许多不同频率的复指数信号之和。X(jk0) 是频率为 k0 的分量的系数， X(j0) 是直流分量。,连续周期信号的傅里叶级数（续）,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,11,2019/7/29,周期序列的离散傅里叶级数（DFS）,周期信号不存在傅里叶变换 设 为以 N 为周期的周期序列，则其可展开成傅里叶级数： 为什么是有限项之和？ 如何求 ？,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,12,2019/7/29,周期序列的离散傅里叶级数（续）,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,13,2019/7/29,k、n 均取整数； 是周期函数，周期为N 是周期为N的周期序列，即 令 则：离散傅里叶级数（DFS）对：,仅有N个独立的频率分量,周期序列的离散傅里叶级数（续）,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,14,2019/7/29,周期序列的离散傅里叶级数（续）,均是以 N 为周期的周期序列。 反变换表达式 具有明显的物理意义：它表示将周期序列分解为 N 次谐波，第k次谐波的频率是 谐波的幅度为 ，相位为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,15,2019/7/29,例2.2.2 设 ，将 以 N=8 为周期进行周期延拓，得到周期序列 ，试求 的离散傅里叶级数的系数,解：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,16,2019/7/29,得：,周期信号的频谱是离散线状谱 若信号的周期为 N，则 的周期亦为 N。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,17,2019/7/29,四种傅立叶变换:,时域,频域,1. 连续非周期 非周期连续 () FT 2. 连续周期 非周期离散 () FS 3. 离散非周期 周期连续 ( ) DTFT 4. 离散周期 周期离散 ( ) DFS,切实理解四种FT之间的对应关系,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,18,2019/7/29,四种傅立叶变换,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,19,2019/7/29,2.2.3 周期信号的傅里叶变换,序列的傅里叶变换（DTFT）的条件是序列必须绝对可和，周期序列不满足绝对可和的条件，因此严格讲傅里叶变换不存在。 但如果像连续信号那样，引入奇异函数（单位冲激函数），傅里叶变换的定义可以放松，可以用冲激函数表示其傅里叶变换。 模拟信号 的傅里叶变换是在 处的一个冲激，强度是2，即,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,20,2019/7/29,1. 复指数序列的傅里叶变换,复指数序列的傅里叶变换 连续信号 的傅里叶变换 令：复指数序列 的傅里叶变换为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,21,2019/7/29,复指数序列的傅里叶变换（续）,是以 为周期的单位脉冲序列 上式为假设，如该假设成立，其傅里叶反变换应为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,22,2019/7/29,求证：,复指数序列的傅里叶变换（续）,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,23,2019/7/29,2. 一般周期序列的傅里叶变换,设 为以 N 为周期的周期序列，则可展成傅里叶级数 对每一项进行傅里叶变换,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,24,2019/7/29,一般周期序列的傅里叶变换（续）,由于：,于是：,周期序列的傅里叶变换由 的冲激函数的和组成，各冲激函数的强度为 ， 是周期序列离散傅里叶级数的系数。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,25,2019/7/29,例2.2.3 设 ，将 以 N=8 为周期进行周期延拓，得到周期序列 ，试求 的傅里叶变换,解：先求周期序列 的傅里叶级数,周期序列 的傅里叶变换为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,26,2019/7/29,幅频特性：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,27,2019/7/29,例2.2.4 令 ， 为有理数，求其傅里叶变换。,解：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,28,2019/7/29,余弦信号的傅里叶变换是在 处的冲激函数；强度为 ；以 为周期进行周期性延拓。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,29,2019/7/29,正弦序列 ， 为有理数，求其傅里叶变换。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,30,2019/7/29,基本序列的傅里叶变换 P/31,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,31,2019/7/29,2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质,时域离散信号的傅里叶变换(频域函数)以 为周期，即,，M 为整数,证明：,1. 周期性,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,32,2019/7/29,周期性的意义 对信号进行频域分析时，只需分析一个周期即可； 在 处，表示直流分量； 在 附近为低频分量 在 附近为高频分量,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,33,2019/7/29,2. 时域卷积定理,设 则,时域卷积 频域相乘。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,34,2019/7/29,证明,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,35,2019/7/29,该定理说明，两序列卷积的DTFT，结果服从相乘的关系。 对于线性时不变系统输出的DTFT，等于输入信号的DTFT乘以单位脉冲响应的DTFT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域按照前式作乘积，求出输出的DTFT，再作IDTFT求出输出信号。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,36,2019/7/29,3. 频域卷积定理,设 则,时域相乘 频域卷积,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,37,2019/7/29,证明,时域相乘，频域卷积。亦称为调制定理,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,38,2019/7/29,例2.2.5 设 ， 求 的傅里叶变换。,解：,将 移动了 ，即将 信号调制到 信号上。 序列与 相乘，相当于奇数序列值乘以-1，在频域上相当于 平移了 ，即高频段与低频段互换了位置。,在-积分限之间只有r=-1和r=0有效,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,39,2019/7/29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,40,2019/7/29,3. 傅里叶变换的对称性,最一般地，序列 为复序列，则,定义：共轭对称序列,共轭反对称序列,任一序列可分解成共轭对称部分和共轭反对称部分,故有,因为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,41,2019/7/29,傅里叶变换的对称性（续）,频域共轭对称性,频域共轭反对称性,将频域函数分成共轭对称分量和共轭反对称分量,有：,因为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,42,2019/7/29,序列分解为实部和虚部,即：实部（实序列）的傅里叶变换具有共轭对称性质,序列的对称性与变换到频域的对称性之间的关系？ 傅里叶变换的对称性,考虑到,实际上，实部的DTFT就是原序列DTFT的共轭对称分量，即,对实部：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,43,2019/7/29,纯虚数序列的傅里叶变换具有共轭反对称性质,而对 ：,所以：,实际上有：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,44,2019/7/29,因,可以得到：,即有：,将序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,45,2019/7/29,如果将序列傅里叶变换写成：,当 为实序列，则 为偶对称， 为奇对称,当 为实序列， 则其傅里叶变换具有共轭对称性质； 当 为实偶对称序列，则其傅里叶变换为实偶对称的； 当 为实奇对称序列，则其傅里叶变换为纯虚奇对称的,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,46,2019/7/29,小结：,时域离散信号的傅里叶变换 非周期信号 连续周期频谱 周期信号 离散周期冲激频谱 时域离散周期信号的傅里叶级数 离散周期频谱 变换的物理意义 离散信号傅里叶变换的性质,2.3 时域离散信号的Z变换,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,48,2019/7/29,Z变换的意义,傅里叶变换为信号提供了一种频域表示方法，便于进行频域分析及信号处理； 序列的离散时间傅里叶变换是有条件的，即需满足绝对可和条件； 很多情况下，序列的傅里叶变换不存在，无法利用其频域特征； Z变换是傅里叶变换的推广形式，为许多信号提供了频域表示。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,49,2019/7/29,Z变换的意义,很多序列的离散时间傅里叶变换不存在，但其 Z变换存在； Z 变换是数字滤波器设计与分析的重要工具； 线性时不变离散时间系统的分析工具，如稳定性、性能指标等。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,50,2019/7/29,2.3.1 Z变换的定义及其与傅里叶变换的关系,Z变换的定义 z复变量 双边Z变换： 单边Z变换：,1. Z变换的定义,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,51,2019/7/29,Z变换的定义（续）,Z变换存在的充分条件：前面的幂级数收敛， 使上式满足的|z|的取值域，称为X(z)的收敛域。 收敛域的最小收敛半径 收敛域的最大收敛半径,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,52,2019/7/29,得到：,Z变换的定义（续）,收敛域是Z变换不可缺少的一部分 例2.3.1 ，求其Z变换，并确定收敛域,收敛的条件：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,53,2019/7/29,2. Z变换与离散时间傅里叶变换之间的关系,令,如 则 这样，Z变换变为离散时间傅里叶变换（DTFT），,DTFT是单位圆上的Z变换，单位圆必须包含在收敛域中,例 x(n)u(n) 的Z变换,收敛域不包含单位圆，单位圆上的Z变换不存在，DTFT不存在,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,54,2019/7/29,Table 3.8: Some commonly used z-transform pairs.,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,55,2019/7/29,2.3.2 Z变换的收敛域与序列特性之间的关系,一般而言，z变换是有理函数，分子分母用z的多项式描述： Z变换的零点：分子多项式的根 Z变换的极点：分母多项式的根 收敛域总以极点为界 有限长序列、右序列、左序列、双边序列的收敛域 ？,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,56,2019/7/29,1. 有限长序列Z变换的收敛域,有限长序列： 收敛域：,取任意值,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,57,2019/7/29,2. 右边序列Z变换的收敛域,右序列： 右序列的Z变换,收敛域：,有限长序列：,因果序列：,收敛域：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,58,2019/7/29,3. 左边序列Z变换的收敛域,左序列： 有序列的Z变换,收敛域：,第一项,第二项,收敛域：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,59,2019/7/29,4. 双边序列Z变换的收敛域,双边序列： 有序列的Z变换,收敛域：,第一项,第二项,收敛域：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,60,2019/7/29,例：2.3.2 求 的Z变换及其收敛域,解：有限长序列，n0N-1，,收敛域：,Z变换：,注：z1 既是极点也是零点，抵消后单位圆仍在收敛域内。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,61,2019/7/29,例：2.3.3 求 的Z变换及其收敛域,解： 序列值非零,收敛域：,Z变换：,Z变换的表达式与例2.3.1相同，但收敛域不同。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,62,2019/7/29,例：2.3.4 求 的Z变换及其收敛域,解： 双边序列,收敛域：,Z变换：,两部分的收敛域分别为：,该序列Z变换的收敛域分别为：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,63,2019/7/29,收敛域包含单位圆，其傅里叶变换存在，可直接求出,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,64,2019/7/29,2.3.3 逆Z变换,已知序列的Z变换及其收敛域，求原序列 方法： 部分分式展开 围线积分法 幂级数法,常见序列的Z变换及其收敛域： P/39 表2.3.2,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,65,2019/7/29,1. 幂级数法（长除法）,从定义出发,原序列是z的幂级数的系数,Z变换的两个多项式之比，通过长除，可以得到z的负幂级数,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,66,2019/7/29,例：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,67,2019/7/29,2. 部分分式法,将Z变换的有理分式分解为简单的部分分式之和， 查表得到各部分分式所对应的序列， 求和，获得原序列。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,68,2019/7/29,部分分式法的一种计算方法： 对X(z)仅有单阶极点的情况，可用留数方法求得部分分式。,设X(z)有N个一阶极点,通过留数，求取,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,69,2019/7/29,例2.3.5 用部分分式法求逆Z变换,解：,于是，得：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,70,2019/7/29,双边序列,根据极点确定每个分式的收敛域,第一个分式的收敛域 第二个分式的收敛域,查表，获得每个分式的原序列,X(z)的原序列,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,71,2019/7/29,3.围线积分法, 基于围线积分的原序列求取公式：,c是X(z)收敛域中任意一条包含原点的逆时针旋转的封闭曲线,用柯西留数定理计算围线积分,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,72,2019/7/29,若 为单阶极点（单重极点），则,为 F(z) 在围线c内的极点，设有M个极点,围线积分的计算,令,若 为N阶极点（多重极点），则,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,73,2019/7/29,多阶极点留数的计算比较麻烦，可以改求围线以外的极点的留数之和。 如F(z)在z平面上有N个极点，围线c内有 个，围线c外有 个,围线积分的计算,上式成立的条件：F(z)分母的阶次分子的阶次2,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,74,2019/7/29,围线积分的计算,设,设P(z)、Q(z)的阶次分别为N、M，则,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,75,2019/7/29,例子：,1. 已知 ，求其逆z变换 。 2. 已知 , 求其逆z变换 。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,76,2019/7/29,F(z)的极点为 ，被围线c包围，于是,例2.3.6 已知 ，求其逆z变换 。,解：收敛域包含，是一个因果序列。,求F(z)的极点,F(z)的极点为 和 n 阶极点 z=0 ，被围线c包围,X(z)的分子、分母的阶次相等 N = M = 1，满足留数辅助定理的条件,围线外无极点，用围线外的留数代替围线内的留数,原序列为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,77,2019/7/29,例2.3.7,解：收敛域为环状域，原序列是双边序列。求 F(z),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,78,2019/7/29,所以,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,79,2019/7/29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,80,2019/7/29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,81,2019/7/29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,82,2019/7/29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,83,2019/7/29,2.3.4 Z变换的性质,Z变换的性质与DTFT的性质相似， 掌握Z变换的性质，便于Z域的计算与信号分析 注意收敛域（ROC）的变化。借以揭示信号在时域与在 Z 域的特性之间的关系。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,84,2019/7/29,线性,2.3.4 Z变换的性质(1),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,85,2019/7/29,2.3.4 Z变换的性质(1),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,86,2019/7/29,解：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,87,2019/7/29,序列移位,2.3.4 Z变换的性质(2),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,88,2019/7/29,解：,序列移位,因Y(z)有极点z=1,且y(n)为因果序列，Y(z)的收敛域为：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,89,2019/7/29,时间反转,2.3.4 Z变换的性质(3),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,90,2019/7/29,2.3.4 Z变换的性质(4),乘以指数序列,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,91,2019/7/29,微分,2.3.4 Z变换的性质(5),解：,因此,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,92,2019/7/29,解：利用微分性质，将非有理函数转换成有理函数表达式,序列移位性质,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,93,2019/7/29,2.3.4 Z变换的性质(6),共轭,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,94,2019/7/29,2.3.4 Z变换的性质(7),时域卷积定理,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,95,2019/7/29,解：,利用围线积分，求输出序列 y(n),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,96,2019/7/29,因为输入输出序列都为因果序列，n0，围线包围2个极点z=a，1，所以,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,97,2019/7/29,复卷积定理,2.3.4 Z变换的性质(8),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,98,2019/7/29,解（1）：直接简单求解方法是分别求出x(n)和y(n)，相乘后再作Z变换。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,99,2019/7/29,V平面上的收敛域,解（2）：,X(z)的收敛域,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,100,2019/7/29,因此，V平面上的收敛域,Y(z)的收敛域,求围线积分：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,101,2019/7/29,V平面上的极点,求围线积分：,V平面围线c以内的极点,求W(z),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,102,2019/7/29,W(z)的收敛域,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,103,2019/7/29,初值定理,2.3.4 Z变换的性质(9),SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,104,2019/7/29,x(n)为因果序列，X(z)在单位圆上只能有一个一阶极点，其它极点均在单位圆内。,终值定理,2.3.4 Z变换的性质(10),证明：,因为x(n)是因果序列，,因为(z-1)X(z)在单位圆上无极点，上式两端对z=1取极限,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,105,2019/7/29,2.3.4 Z变换的性质(10),因为,因此终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示， 即： 如果单位圆上X(z)无极点，则x()=0。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,106,2019/7/29,补充: 序列的Z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系,序列的Z变换：,连续时间信号的Laplace变换：,连续时间信号的Fourier变换：,理想采样信号的Laplace变换：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,107,2019/7/29,理想抽样信号的Laplace变换,理想抽样信号：,其Laplace变换：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,108,2019/7/29,其Z变换：,比较理想抽样信号的Laplace变换：,得：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,109,2019/7/29,Z平面： （极坐标）,即：,这是复平面S平面到Z平面的映射,抽样序列的Z变换 = 理想抽样信号的Laplace变换,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,110,2019/7/29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,111,2019/7/29,S平面到Z平面的 映射是多值映射。,=0 正实轴 零频 =0T 辐射线 角度 : :, =0 实轴 零频 =0 平行直线 频率 :,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,112,2019/7/29,2.4 利用Z变换对信号和 系统进行分析,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,114,2019/7/29,Z 变换域分析的意义,便于考察信号、系统的特征 便于系统的分析与设计 比傅里叶变换的应用范围广,2.4 利用Z变换对信号和系统进行分析,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,115,2019/7/29,2.4.1 系统的传输函数和系统函数,系统的时域描述 单位脉冲相应 h(n),系统的传输函数 （或：频率响应函数）,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,116,2019/7/29,系统的传输函数的意义（1）,输出同频 序列 幅度受频率响应幅度 加权 相位为输入相位与系统相位响应之和,设系统的输入 是单一频率的复指数序列,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,117,2019/7/29,输出信号的频谱取决于输入信号的频谱特性和系统的传输函数 这里 仍然起着改变输入信号频谱结构的作用，因此又将 称为系统的“频率响应函数” 设计不同的频率响应函数，可以实现对信号的放大、滤波、相位均衡等功能。,系统的传输函数的意义（2）,如果系统的输入 是一般序列，根据傅里叶变换的时域卷积定理，有：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,118,2019/7/29,系统函数,定义,它表征系统的复频域特性,如果 H(z)的收敛域包含单位圆 ，则序列的傅里叶变换存在。则 和 之间的关系为,系统的传输函数是系统单位脉冲响应在单位圆上的Z变换，有时亦将系统函数称为传输函数,由卷积定理： 可得：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,119,2019/7/29,2.4.2 根据系统函数极点的分布分析系统的 因果性和稳定性,系统函数的极点 Z变换，得系统函数（a0=1） 因式分解,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,120,2019/7/29,A 影响输出信号的幅度 是 的零点， 是 的极点； 极点分布影响系统的因果性和稳定性 零点、极点分布将影响系统的频率特性,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,121,2019/7/29,因果性,系统因果性指的是系统的可实现性 可实现系统的单位脉冲响应是因果序列 即h(n)=0, n0 ，其Z变换的收敛域为 即，因果序列Z变换的极点在以 为半径的圆内 结论： 因果系统的极点均集中在某个圆内。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,122,2019/7/29,稳定性,对于稳定系统，系统的h(n)绝对可和，即,系统稳定：系统函数的收敛域包含单位圆； 或 系统函数的极点不在单位圆上。,根据h(n)的Z变换的定义，有,Z变换的收敛域：,因果稳定系统：,系统函数的极点在单位圆内！,即，Z变换的收敛域包含单位圆（z1）,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,123,2019/7/29,解：因果系统：,稳定系统：,因为收敛域包含 点；,因为这时收敛域包含单位圆。,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,124,2019/7/29,解：系统的极点为 （1）收敛域取 收敛域包含 ，是因果系统；收敛域不包含单位圆，系统不稳定。 单位脉冲响应为 （2）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统； 收敛域包含单位圆，系统稳定。 单位脉冲响应为 （3）收敛域取 收敛域不包含 ，不是因果系统； 收敛域不包含单位圆，系统不稳定。 单位脉冲响应为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,125,2019/7/29,2.4.3 用Z变换求解系统的输出响应,求解系统输出响应的方法： 递推法：已知差分方程、初始条件，递推求解差分方程 （见第一章） 卷积： Z变换 Matlab,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,126,2019/7/29,1. 零状态响应与零输入响应,移位因果序列的Z变换（用 单边Z变换）：,如：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,127,2019/7/29,系统的差分方程为 输入信号 x(n) 为因果序列,差分方程的Z变换：,因为,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,128,2019/7/29,第一项与系统和输入信号有关，与初始状态无关， 系统的零状态响应 第二项与系统和初始状态有关，与输入信号无关， 系统的零输入响应 系统的响应： 全响应系统的零输入响应系统的零状态响应,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,129,2019/7/29,例2.4.2 已知系统的差分方程为,输入信号为 ，初始条件为 求系统的输出。,解：对输入信号和差分方程进行Z变换,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,130,2019/7/29,收敛域取：,代入初始条件及输入,系统输出：,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,131,2019/7/29,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,132,2019/7/29,2.4.5 根据系统的零极点分布，分析系统 的频率特性,系统差分方程： 系统函数 时域输出与系统函数的零极点有关， 频率特性与系统函数的零极点有关，希望根据零极点的分布进行定性的分析,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,133,2019/7/29,M个零点，N个极点 系统函数 频率特性与系统函数的零极点有关，根据零极点的分布进行定性的分析 系统的频率响应的几何确定,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,134,2019/7/29,设系统稳定，令,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,135,2019/7/29,极点 矢量 矢量 零点 矢量 矢量,SCHOOL OF PHYSICS AND TECHNOLOGY N. N. U.,136,2019/7/29,幅频特性 相频