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文档简介

1,二. 线性相关性,三. 向量组的秩,一. n维向量空间,四. 矩阵的秩,第三章 向量空间,五. 内积与正交化,2,一. n维向量空间,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,1. n 维向量,这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 个数 称为第 个分量。,以后我们用小写希腊字母 来代表向量。,3,例如：,4,向量通常写成一行：,有时也写成一列：,称为行向量。,称为列向量。,它们的区别 只是写法上 的不同。,分量全为零的向量 称为零向量。,2. 向量的运算和性质,就称这两个向量相等，记为,5,向量加法：向量,称为向量,的和，记为,向量减法：,6,满足运算律：,注：,（3）,7,3. n 维向量空间,说明:,定义： 设 为 维向量的集合，如果集合 非空， 且集合 对于加法及数乘两种运算封闭， 那么就称集合 为向量空间,集合 对于加法及数乘两种运算封闭指,例1：3维向量的全体 是一个向量空间。,n维向量的全体 ，也是一个向量空间。,8,例2: 判别下列集合是否为向量空间.,解：,所以， 是向量空间。,(2) 不是向量空间。,9,是否为向量空间.,（这个向量空间成为由向量a，b生成的向量空间）,一般地，由向量组 所生成的向量空间为,例3：设 a，b为两个已知的n维向量，判断集合,解：,所以V是一个向量空间。,10,1. 线性组合与线性表示,二. 线性相关性,1.线性组合与线性表示 2.向量组等价 3.线性相关、无关 4.判断线性相关性的定理 5.线性相关及表示的定理,11,例如：,有,所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。,12,定理1:,判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。,线性方程组的矩阵表示和向量表示：,13,令,方程组可表示为,则方程组的向量表示为,14,2. 向量组等价,即,15,3. 线性相关, 线性无关及其几何说明,几何意义：,(1)两向量线性相关：两向量共线.,(2)三向量线性相关：三向量共面.,定义4：,例1：用定义判断线性相关性。,相,相,16,4. 判断线性相关性的定理,任一个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示,(1),(2),17,即,未知量为,系数行列式,18,例3:,n维向量,讨论它们的线性相关性.,结论: 线性无关,解:,上述向量组又称 基本向量组或单位坐标向量组.,19,(3),部分相关则整体相关,整体无关则部分无关,(4),定理6：n维向量组 线性无关，,把每个向量的维数增加后，得到的新向量组 仍线性无关。,定理7：n维向量组 线性相关，,把每个向量的维数减少后，得到的新向量组 仍线性相关。,20,5. 线性相关及表示的定理,6. 一些结论,(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；,(2) 包含零向量的任何向量组线性相关；,(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；,(3) 基本向量组 线性无关;,21,(5) mn时， m 个n维向量必线性相关. 特别：m=n+1,(6)
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