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第四章习题,4.1一维周期场中电子的波函数 满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：,(a),(b),(c),试求电子在这些态的波失。,解：根据Bloch定理,可得：,(a),所以电子的波失为,(b),所以电子的波失为,(c),所以电子的波失为,若只取第一布里渊区,则,若只取第一布里渊区,则,则,若只取第一布里渊区,且 是常数用近自由电子近似求势能的平均值，并求第一第二禁带的宽度,4.4电子在周期场中的势能,o,b,a,2a,势能据有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得,禁带宽度为,而,所以第一禁带宽度为：,第二禁带宽度为;,4.8平面正六角形晶格，六角形两个对边的间距是a,基矢为,试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。,解：,构成的体积为,所以倒格子原胞的基失为,取单位矢量 垂直于 和 则,在直角坐标系下画出倒格子基矢,可见倒格子原胞基矢的夹角是,x,y,b1,b2,b1+b2,-b1-b2,-b2,-b1,1,2,3,4.10用紧束缚方法导出面心立方体s态电子能带：,并求能带底部的有效质量。,解：对面心立方晶格，取参考点的坐标为 则12个最近邻的格点的坐标为,当只计及最近邻格点的相互作用时，其能带的表示为,将上述12组坐标代入能带的表示式得：,能带底即 的最小值对应的k为 可得在能带低的有效质量为,其它交叉项的倒数全部为0。,4.11设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量为,其中,若已知孤立原子的势和波函数为,试用紧束缚近似法求s态电子的能带公式，能带宽度，带底的有效质量。,解：值计及最近邻格点的相互作用时，其能带表示为：,其中积分,根据,函数的性质，上式的值为0。而积分,假设x轴是水平方向，在上式积分中只取参考格点右边的最近邻，取左边的最近邻也 有同样的结果。因此,所以s态电子的能带为,能带宽度为,能带底的有效质量为,4.13某晶体中电子的等能面是椭球面,求能量 之间的状态数,解：
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