江苏省南京市六校联合体2019届高三数学上学期12月联考试题.docx

南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数 学 注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：样本数据x1，x2，xn的方差，其中；锥体的体积公式：VSh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合，集合，则=_【答案】【解析】【分析】由M与N，求出两集合的交集即可【详解】集合，集合，=故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.双曲线的渐近线方程是_【答案】【解析】【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程【详解】令=0得y=x，双曲线=1的渐近线方程为y=x，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题3.复数满足，其中是虚数单位，则复数的模是_【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出【详解】|z|=，故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题4.若一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，则该组数据的方差s2_【答案】【解析】【分析】本题可运用平均数的公式：=（x1+x2+xn）解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可【详解】数据3，4，8，9，的平均数为6，3+4+8+9+a=30，解得a=6，方差s2=（36）2+（46）2+（86）2+（96）2+（66）2=故答案为：【点睛】本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题5.从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，则所取2个数的乘积为奇数的概率是_【答案】【解析】【分析】列举可得共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有1种情形，由概率公式可得【详解】从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有（1，3）共1种情形，所求概率，故答案为：【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用6.如图所示的流程图的运行结果是_【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出考点：循环结构流程图7.若圆锥底面半径为1，侧面积为,则该圆锥的体积是_【答案】【解析】【分析】由圆锥底面半径为1，侧面积为得到圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，从而得到该圆锥的体积.【详解】设圆锥的母线长为，圆锥底面半径为1，侧面积为,，即，圆锥的高该圆锥的体积是故答案为：【点睛】本题考查圆锥的体积与侧面积公式，属于基础题.8.设直线是曲线的切线，则直线的斜率的最小值是_【答案】4【解析】【分析】求出函数的导函数，利用均值不等式求最小值即直线的斜率的最小值【详解】的定义域为（0，+）y=4x+，当且仅当x=时取等号即直线的斜率的最小值是4故答案为：4【点睛】考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用均值不等式求最值，掌握不等式成立时的条件，属于基础题9.已知 ，则的值是_【答案】【解析】【分析】由得到，进而得到，再结合两角和的正弦公式得到结果.【详解】 ，故答案为：【点睛】本题考查了两角和与差的正弦、正切公式，同角基本关系式，考查了计算能力，属于基础题.10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，若f (a)4f (a)，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用函数为奇函数，不等式可转化为f (a)2，结合函数图象可得结果.【详解】f (x)为奇函数，f (a)4f (a)可转化为f (a)2作出的图象，如图：由图易知：a2故答案为：【点睛】本题考查函数的图象与性质，解题关键利用奇偶性简化不等式，结合函数图象即可得到结果.11.中，为边的中点，则的值为_【答案】-4【解析】【分析】利用基底表示，结合向量的运算法则即可得到结果.【详解】为边的中点，,，2-6=-4故答案为：-4【点睛】求向量的数量积，应该先利用向量的运算法则将各个向量用已知的向量表示，再利用向量的运算法则展开即可12.已知圆，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，若，则实数的取值范围是_【答案】或【解析】【分析】设P（x，y），由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线l与圆有公共点的问题，列不等式求解即可【详解】圆C：直线l：与与轴交于点A（0，2），设P（x，y），由PA=PT，可得=2（2），即x2+y212y=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆所以问题可转化为直线l与圆有公共点，所以dr，6，解得或，实数k的取值范围是或故答案为：或【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力，明确动点P的轨迹是解题的关键13.已知nN*,，其中表示这个数中最大的数数列的前n项和为，若 对任意的nN*恒成立，则实数的最大值是_【答案】【解析】【分析】设，明确的单调性，得到，进而得到，对任意的nN*恒成立即，转求的最小值即可.【详解】设，即即，由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，即，即实数的最大值是故答案为：【点睛】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题14.已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】围【详解】的对称轴为x=a，且，函数f（x）=在0，上是减函数，在，2上是增函数；函数f（x）=在的最小值为f（a）=，当2a3时，函数f（x）=（x）在x=0时取得最大值，且最大值为2a1，由于此时2a3，则32a15；2a10a2时，函数f（x）=（x）在x=4时取得最大值，且最大值为428a+2a1=156a，由于此时0a2，则3156a15；，综上， ；即t的取值范围是：【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角B；（2）若，求，【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后求解B的大小（2）利用正弦定理余弦定理，转化求解即可【详解】（1）在中，由正弦定理，得 又因为在中所以 法一：因为，所以，因而所以，所以 法二：即， 所以，因为，所以 （2）由正弦定理得，而，所以，由余弦定理，得，即， 把代入得.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC底面ABCD， 点E为侧棱PB的中点求证：(1) PD平面ACE；(2) 平面PAC平面PBD【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析。【解析】【分析】（1）连接OE易证PDOE，根据线面平行判定定理得证；（2）要证平面PAC平面PBD，即证BD平面PAC【详解】(1) 连接OE 因为O为正方形ABCD的对角线的交点， 所以O为BD中点 因为E为PB的中点，所以PDOE 又因为OE面ACE，PD平面ACE， 所以PD平面ACE (2) 在四棱锥PABCD中， 因为PC底面ABCD，BD面ABCD， 所以BDPC 因为O为正方形ABCD的对角线的交点， 所以BDAC 又PC、AC平面PAC，PCACC， 所以BD平面PAC 因为BD平面PBD， 所以平面PAC平面PBD【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17.已知椭圆：上一点与两焦点构成的三角形的周长为,离心率为 .（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为的直线l与椭圆C交于P、Q两点（点P在第一象限）.若四边形APBQ面积为，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）。【解析】【分析】（ 1）设椭圆的半焦距为c，由已知得，又，a2=b2+c2，联立解出即可得出；（2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，利用韦达定理表示，分别计算，到直线PQ的距离，即可表示四边形APBQ面积，从而得到直线l的方程.【详解】（1）由题设得，又，解得,. 故椭圆的方程为. （2）设直线方程为：代入椭圆并整理得：，设，则. ， 到直线PQ的距离为，到直线PQ的距离为， 又因为在第一象限, 所以，所以，所以， 解得，所以直线方程为【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.如图，某公园内有一个以O为圆心，半径为5百米，圆心角为的扇形人工湖OAB，OM、ON是分别由OA、OB延伸而成的两条观光道为便于游客观光，公园的主管部门准备在公园内增建三条观光道，其中一条与相切点F，且与OM、ON分别相交于C、D，另两条是分别和湖岸OA、OB垂直的FG、FH (垂足均不与O重合) (1) 求新增观光道FG、FH长度之和的最大值； (2) 在观光道ON段上距离O为15百米的E处的道路两侧各有一个大型娱乐场，为了不影响娱乐场平时的正常开放，要求新增观光道CD的延长线不能进入以E为圆心，2.5百米为半径的圆形E的区域内则点D应选择在O与E之间的什么位置？请说明理由【答案】 (1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处【解析】【分析】（1）连结OF，OFCD于点F，则OF5设FOD，则FGFH5sin()5sin，利用两角和与差的正弦公式化简，即可得到新增观光道FG、FH长度之和的最大值；（2）以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy可得圆O的方程，圆E的方程，根据直线和圆的位置关系得到答案即可.【详解】(1) 连结OF，OFCD于点F，则OF5设FOD，则FOC ()，故FH5sin，FG5sin()， 则FGFH5sin()5sin5(cossinsin)5(sincos)5sin()， 因为，所以，所以当，即时，(FGFH)max (2) 以O为坐标原点，以ON所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy由题意，可知直线CD是以O为圆心，5为半径的圆O的切线，直线CD与圆E相离，且点O在直线CD下方，点E在直线CD上方由OF5，圆E的半径为2.5，因为圆O的方程为x2y225，圆E的方程为(x15)2y26.25， 设直线CD的方程为ykxt (k0，t0)，即kxyt0，设点D(xD，0)则 由得t5， 代入得，解得k2 又由k0，得0k23，故k23，即3 在ykxt中，令y0，解得xD，所以xD10答：(1) 新增观光道FG、FH长度之和的最大值是百米；(2) 点D应选择在O与E之间，且到点O的距离在区间 (单位：百米)内的任何一点处【点睛】本题考查了三角函数的应用问题，考查了直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理能力及运算能力，属于中档题.19.已知数列an各项均不相同，a11，定义，其中n，kN*（1）若，求；（2）若bn1(k)2bn(k)对均成立，数列an的前n项和为Sn（i）求数列an的通项公式；（ii）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值【答案】（1）；（2）（i）；（ii）k2，t3【解析】【分析】（1）当时，由新定义可得，利用累加法可得结果；（2）（i）若bn1(k)2bn(k)对均成立，由新定义可得，从而得到数列an的通项公式；（ii）由（i）可知Sn2n1因为S1，SkS1，StSk成等比数列，可得2t2(2k1)232k21对k分类讨论可知k和t的值【详解】（1）因为，所以，所以. （2）（i）因为bn1(k)2bn(k)，得 ， 令k1, ，k2， 由得，+得， +得，又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 （ii）由（i）可知Sn2n1因为S1，SkS1，StSk成等比数列，所以(SkS1)2S1(StSk)，即(2k2)22t2k，所以2t(2k)232k4，即2t2(2k1)232k21(*)由于SkS10，所以k1，即k2当k2时，2t8，得t3 当k3时，由(*)，得(2k1)232k21为奇数，所以t20，即t2，代入(*)得22k232k20，即2k3，此时k无正整数解综上，k2，t3【点睛】本题以新定义为背景，考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.已知函数.(1)求的极大值；(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）-1；（3）存在，且当符合题意。【解析】【分析】(1)求导,明确函数的单调性，从而得到的极大值；(2) 不等式恒成立，即恒成立，记，求其最大值，即可得到的最小值；(3) 记，由，存在，使在上有零点，再证明唯一性即可.【详解】（1），令，得. 当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，故当时，的极大值为（2）不等式恒成立，即恒成立，记，则， 当时，令，得，当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，则，即，8分则， 记，则，令，得当时，此时单调递减，当时，此时 单调递增，故的最小值为. （3）记，由， 故存在，使在上有零点，下面证明唯一性： 当时，故，在上无解当时，而，此时，单调递减，所以当符合题意【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用南京市六校联合体高三年级12月份联考试卷数学(附加题)注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡【选做题】本题A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修42：矩阵与变换21.已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到的点（1）求实数的值；（2）求矩阵的逆矩阵.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点，写出题目的关系式，列出关于a,b的等式，解方程即可,（2）计算，从而得到矩阵的逆矩阵.【详解】（1）因为 ， 所以,所以 （2）， 【点睛】本题考查二阶矩阵与逆矩阵，属于基础题.选修44：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，已知直线的参数方程是（t是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求直线l被曲线C截得的弦长【答案】【解析】【分析】消去参数即可求直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化求解曲线C的直角坐标方程,利用直线与圆的位置关系，通过点到直线的距离以及圆的半径以及半弦长的关系求解|AB|【详解】消去参数，得直线的普通方程为， 即，两边同乘以得， 所以， 圆心到直线的距离， 所以弦长为【点睛】本题考查直线的参数方程以及圆的极坐标方程的应用，考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力选修45：不等式选讲23.若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值【答案】4.【解析】分析：根据柯西不等式可得结果.详解：证明：由柯西不等式，得因为，所以，当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为4点睛：本题考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0或存在一个数k，使aikbi(i1，2，n)时，等号成立【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤24.将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习 （1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X表示