高等数学函数的连续性.ppt

1.3、 函数的连续性。,1、掌握函数连续性的判断方法。,2、零点定理的应用。,2.1 导数的概念,3、掌握导数的概念、几何意义及其与连续性的关系。,1、变量的增量,设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0)内有定义,称Dy=f(x0+Dx)-f(x0)函数y的增量。,在邻域U(x0)内 若自变量x从初值x0变到终值x1 则称Dx=x1-x0为自变量x的增量,1.3.1、函数连续性,2、函数的连续性定义,提示:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),左连续和右连续,解题思路：根据函数连续的充要条件,函数在区间内连续,1.3.2、函数的间断点,如果函数f(x)在点x0有以下三种情况之一：,则称函数在点x0为不连续， x0称为函数的不连续点或间断点。,可去间断点只要改变或补充间断 点的函数值定义后，间断点可以变 成连续点。,1.3.3、初等函数的连续性,一、一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。,二、设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数,在点x0也连续,三、设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 若函数 ug(x) 在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfj(x)在点x0也连续,四、初等函数在其定义区间内是连续的。,总结：由于函数在其连续点x0满足,初等函数在其有定义的点处求极限,求这一点的函数值。,例1,（因式分解， 去掉零因子）,（有理化， 去掉零因子）,一般地,例7,（有理化，去掉零因子）,1.3.4、闭区间上连续函数的性质,定理8（最值定理） 闭区间a,b上的连续函数f(x) 在该区间上至少取得它的最大值M和最小值m各一次。,推论6 闭区间a,b上的连续函数f(x)一定有界。,定理9（介值定理） 若y= f(x)在闭区间a b上连续 且f(a)f(b) 则对于f(a)与f(b)之间的任意一个常数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C (a x b),定理的几何意义：,连续曲线f(x)与水平直线y=c至少相交于一点。,推论（零点定理） 设函数f(x)在闭区间a b上连续 且f(a) f(b)0 则在开区间(a b)内至少一点x 使f(x)=0,应用：求一个方程在某区间内至少有一个实根。,例9 证明方程 x3-4x2+1=0 在区间(0 1)内至少有一个实根 证明 设 f(x)=x3-4x2+1 则f(x)在闭区间0 1上连续 并且 f(0)=10 f(1)=-20 根据推论, 在(0 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 (0 x1) 这说明方程x3-4x2+1=0在区间(0 1)内至少有一个根是x ,第二章 一元函数微分学,一、导数的概念 二、导数的运算 三、微分 四、导数的应用,本章简介 导数与微分是微分学中的两个基本概念。其中导数是研究函数相对于自变量的变化的快慢程度，即函数的变化率；而微分则是指当自变量有微小变化时，函数改变量的近似值。,本章重点 导数与微分的概念；基本初等函数的求导公式；求导法则。,本章难点 导数与微分的概念；复合函数的求导法则。,实例1.变速直线运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,瞬时速度,2.1 导数的概念,设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t),求t0时刻瞬时速度.,2.1.2 导数的定义,定义1 ,设函数 f(x) 在 x0及其 某个邻域内有定义,当自变,量x在 x0处取得增 量x 时,相应地函数 y取得增量,如果,存在,则称函数 y= f(x)在 x0 处可导, 或称y= f(x)在 x0 处有 导数。,该极限值就是 f(x) 在点 x0 处的导数，,记为,很明显,由导数定义可知：,由定义求导数步骤:,例1 设 ，求,解一,所以,解二,例2,解,单侧导数,导数与单侧导数的关系,函数f(x)在开区间(a b)内可导是指函数在区间内每一点可导 函数f(x)在闭区间a b上可导是指函数f(x)在开区间(a b)内可导 且在a点有右导数、在b点有左导数,函数在区间上的可导性,例5 已知,解 因为,所以,，从而,M,T,的切线方程,法线方程,N,2.1.3 导数的几何意义,例3,解,根据导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,2.1.4 可导与连续的关系,结论： 可导