高等数学集合与函数.ppt

, 一元微积分学,大 学 数 学（1）,第一讲 集合与映射,授课教师：易学军,欢迎观看,1 教学要求.答疑安排 2相关竞赛 3书籍选购 4学科介绍.本学期内容,第一章 集合与函数,本章学习要求： 正确理解函数概念，能熟练求出函数的定义域。 掌握函数的单调性、有界性、奇偶性、周期性的 分析表示和图形特征。 正确理解初等函数、复合函数概念，能正确将复 合函数进行分解。 会求函数（包括分段函数）的反函数。 了解“取整函数”和“符号函数”。 能对常见的实际问题进行分析，建立函数关系。,第一节 集合与映射,一、集合的基本概念 二、集合的基本运算 三、映射的基本概念 四、实数、区间、邻域,康托尔将集合定义为： 所谓集合是把我们直观和思维中确定的、相互间 有明确区别的那些对象（这些对象称为元素）作为一 个整体来考虑的结果。,1. 集合,一、集合的基本概念,2. 集合的表示法,列举法：将集合A的所有元素一一列举出来，并用 花括号括上。,表示集合的方法有两种:,注意：不论用那一种方法表示集合，集合中的元素不得 重复出现。（唯一，互异，无序）,二、集合的基本运算,在wen图中，用矩形表示全集。,1. 集合运算的概念,一般说来,A,B,AB=,A,B,迪卡尔集,1. 实数集与数轴,实数集为有理数集与无理数集的并.,实数具有稠密性和连续性.,aR，必 n Z，使 n a n+1.,实数与数轴上的点一一对应.,三、实数、区间、邻域,2. 绝对值、距离,任一实数 a 的绝对值 | a | 定义为：,数轴上任意两点 a，b 之间的距离为,d = | a b | 。,3. 区间,(1) 闭区间 a, b = x | a x b ,a,b,(2) 开区间 (a, b) = x | a x b ,a,b,。,。,(,),(a, b = x | a x b (称为左开右闭区间),a, b) = x | a x b (称为右开左闭区间),(3) 半开闭区间,a,b,。,),(4) 无穷区间,a, +) = x | x a ,(a, +) = x | x a ,( , b = x | x b ,( , b) = x | x b ,( , + ) = x | x + = x | xR ,a,(+),a, +),(5) 区间长度,不论是闭区间、开区间、半开闭区间， 其长度计算均按此式进行。,x0+,(,),x0 ,x0,4. 邻 域,x0 + ,(,),x0 ,x0,点 x0 = 3 的 = 0.1 邻域为,点 x0 = 3 的去心 = 0.1 邻域为,四、映射的基本概念,1. 映射,注意：,1) 映射是集合间的一种对应关系. 集合 X 、Y,中所含的元素不一定是数，可以是其它的一,些对象 ( 或事物 )。,2) 对每一个x X，只有唯一的一个y Y 值与之,对应关系不一定就是映射。,对应，这一点很重要，它说明集合间元素的,3) 映射的定义不排除几个不同的 x 值与同一个y 值对应。,Rf,X,Y,f,y2,x1,x2,x3,y1,.,.,.,.,.,设 f 为集 X 到集 Y 的一个映射。,如果 x X，存在唯一的 y = f ( x ) Y 与之对应；,反过来, 若 y Y, 存在唯一的 x X 使得 y = f ( x ),则称 f 是 X 到 Y 的一一对应。,2. 一一对应,第二、三节 函 数,一、函数的基本概念 二、函数的基本性质 三、基本初等函数 四、初等函数,一、函数的基本概念,1. 函数的定义,2. 函数的表示法,解 析 法,表 格 法,图 示 法,自己看书！,3. 求函数定义域举例,数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。 通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开 偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几 何意义等来确定函数的定义域。,将 x 表示为:,函数,称为取整函数，它是一个分段函数。,想想取整函数的图形是什么样子？,定义域与对应规则均相同的两个函数相同。,如何判断两个函数是否相同?,4. 判断函数相同,5.函数的图形,称为函数 f ( x ) 的图形。,在平面上建立直角坐标系O x y，则 x y 平面上的点集,是否所有的函数均可绘出几何图形？,单调性,有界性,奇偶性,周期性,二、函数的基本性质,1.单调性,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调增加, 记为 。,在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数在区间 I 上单调减少, 记为 。,画画图就一目了然.,我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。,2. 有界性,有界性,设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。,若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有,A f ( x ) B,则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。,否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。,函数有界性的定义,y = f ( x ),x,x,y,y,A,A,B,B,O,O,y = f ( x ),函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界,你能理解吗?,成立，则称函数 y = f ( x ),在区间 I 上是上方有界的,简称有上界。,设函数 y = f ( x ) 在区间,I 上有定义。,若存在实数 M (可正，,可负)，对一切 x I 恒有,y = f ( x ),f ( x ) M,f ( x )m,在区间 I 上是下方有界的,简称有下界。,设函数 y = f ( x )在区间,I 上有定义。,若存在实数 m (可正，,可负), 对一切 x I 恒有,成立，则称函数 y = f ( x ),y = f ( x ),函数 y = f ( x ) 有界,f ( x ) 既有上界又有下界.,在区间 I 上:,无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区,间 I 上的下确界，记为,无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区,间 I 上的上确界，记为,有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？,如何证明或判断函数无界？,提一个问题：,3. 奇偶性,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，则称 f ( x ),为偶函数。,偶函数的图形 关于 y 轴对称。,若 x Df , 有,f ( x ) = f ( x ),成立，则称 f ( x ),为奇函数。,奇函数的图形 关于坐标原点对称。,设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df 关于坐标原点对称。,4. 周期性,三、基本初等函数,大家在中学就已熟悉它们了！,以下六种简单函数 称为基本初等函数,1. 常值函数 y = C ( C 为常数 ),2. 幂函数 y = x ( R 为常数 ),3. 指数函数 y = a x ( a 0, a 1 ),4. 对数函数 y = loga x ( a 0, a 1 ),5. 三角函数 y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x,6. 反三角函数 y = arcsin x y = arccosx y = arctan x y = arccot x y = arcsec x y = arccsc x,详 情 见 书,四、复合函数、反函数,？,如何,描述,1.复合函数,的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f (u) 的定义域 Df ，,其中，u 称为中间变量。,由函数,可构成复合函数,函数复合而成 ?,它是由以下几个函数复合而成:,以上过程称为 对复合函数的分解,是一一对应 (即映射 f 是一一对应), 称 f 的,f 的反函数.,2。 反函数的定义,反函数的图形,将函数 y = f (x) 的反函数写成 x = f 1(y) 时， 函数与其反函数的图形相同.,将函数 y = f (x) 的反函数记为 y = f 1(x) 时， 函数 y = f (x) 与其反函数 y = f 1(x) 的图形关于 第、 象限的角平分线 y = x 对称。,反函数的图形,综上所述，所求反函数为,故所求反函数为,增加的.,减少,减少,五、初等函数,由基本初等函数经过有限次四则运算,和复合运算而成的函数, 称为初等函数。,例如,都是初等函数.,一般说来,