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文档简介
二次函数在给定区间上求值域,建平县高级中学数学组 林宝文,课程 导航,二次函数在R上的值域和图像,求下列函数的值域、最值.,画板演示,定轴定区间上的值域,画板演示,动轴定区间上的值域,已知函数 当 时,求函数的最大值.,解:,(画板演示),综上可知:,已知函数 当 时,求函数的最小值.,会吗?,(画板演示),定轴动区间上的值域,已知函数 当 时,求函数 的最大值与最小值?,(画板演示),例题讲解:,例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间t,t+1上的最小值为g(t),求g(t)的解析式。,分析,解:f(x)=(x-1)2-4.3,对称轴为x=1,(2)当0t 1时,则g(t)=f(1)=-4.3;,(1)当t1时,则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;,(3)当t+11,即t0时,则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;,22.若 1x3, a 为何值时, x2-5x+3+a=0 有两解, 一解, 无解?,解: 原方程即为 a=-x2+5x-3 (1),作出函数 y=-x2+5x-3(1x3)的图象,显然该图象与直线 x=a 的交点的横坐标是方程 (1) 的解.,由图象知:,探索与反思,探索解法,反思数学思想的应用,解此类题用了 哪些数学思想,二次函数与方程、不等式,1.一般式: y=ax2+bx+c(a0);,一、二次函数的解析式,2.顶点式: y=a(x -m)2+n(其中(m, n)为抛物线的顶点坐标);,3.两根式: y=a(x -x1)(x -x2)(其中x1, x2为抛物线与 x 轴两交点 的横坐标);,注: 求二次函数的解析式, 一般都采用待定系数法. 做题时, 要根据题设条件, 合理地设出解析式.,二、二次函数的图象,有关知识: 图象形状; 对称轴; 顶点坐标; 与 x 轴交点坐标; 截 x 轴线段长.,三、二次函数的性质,四、二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在m, n上的最值,2.若 x0m, n, 则,(1)当 x0m 时, f(x)min=f(m), f(x)max=f(n);,(2)当 x0n 时, f(x)min=f(n), f(x)max=f(m).,五、不等式 ax2+bx+c0 恒成立问题,1. ax2+bx+c0在R上恒成立. ,ax2+bx+c0在R上恒成立. ,2. f(x)=ax2+bx+c0(a0) 在 m, n 上恒成立. , f(x)min0(xm, n),3一元二次方程实根的分布 一般地,方程f(x)=ax2+bx+c(a0)的根x1,x2的分布所满足的充要条件如下表:,f(x)=ax2+bx+c0) 在 m, n 上恒成立. ,1.方程 f(x)=0 有两正根 ,六、二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的实根分布问题,记 f(x)=ax2+bx+c(a0),2.方程 f(x)=0 有两负根 ,4.方程 f(x)=0 的两实根都小于 k ,3.方程 f(x)=0 有一正根一负根 ,c0.,5.方程 f(x)=0 的两实根一个大于 k, 另一个小于 k ,f(k)0.,6.方程 f(x)=0 的两实根都大于 k,7.方程 f(x)=0 的两实根都在区间(m, n)内,8.方程 f(x)=0 的两实根中, 有且只有一个在区间(m, n)内., f(m)f(n)0, 或,思考 方程的两根有且只有一个在区间m, n上时等价于?,9.方程 f(x)=0 的两根分别在区间(m, n)和(p, q)(np)内.,注 涉及方程 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)的实根分布问题, 一般情况下要从四个方面考虑:, f(x) 图象的开口方向;,方程 f(x)=0的判别式;,区间端点处函数值的符号., f(x) 图象的对称轴与区间的关系;,七、二次函数与方程、不等式的关系,八、典型例题,1.已知二次函数 f(x) 满足 f(2)=-1, f(-1)=-1, 且 f(x) 的最大值是 8, 试确定此二次函数的解析式.,解法一: 利用二次函数的一般式.,故所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7.,设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则,解法二: 利用二次函数的顶点式.,设f(x)=a(x-m)2+n,f(2)=f(-1)=-1,抛物线的对称轴为直线 x= ,又 f(x) 的最大值是 8,n=8.,f(2)=-1,a=-4.,解法三: 利用二次函数的两根式.,由已知 f(x)+1=0 的两根为 2 和 -1,故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 从而 f(x)=a(x-2)(x+1)-1.,即 f(x)=ax2-ax-2a-1.,又 f(x) 的最大值是 8,解得 a=-4 或 a=0(舍去).,故所求函数的解析式为f(x)=-4(x-2)(x+1)=-4x2+4x+7.,f(x) 在区间0, 2上的最小值为 3, 可分情况讨论如下:,2.已知函数 f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2 在区间0, 2上有最小值 3, 求实数 a 的值., f(x)min=f(0)=a2-2a+2.,(0, 4), 舍去., f(x)min=f(2)=a2-10a+18.,3.已知 y2=4a(x -a)中a0, 且当 xa 时, S=(x -3)2+y2 的最小值为 4, 求参数 a 的值.,解: 由已知 S=(x -3)2+y2=(x -3)2+4a(x -a)=x-(3-2a)2+12a-8a2.,当 xa 时, S(x)=x-(3-2a)2+12a-8a2 的最小值为 4,对正数 a, 可分情况讨论如下:,(1)当 3-2a1 时, 函数 S(x) 在a, +上是增函数., S(x)min=S(a)=(a-3)2.,由 (a-3)2=4 得: a=1 或 5.,a1, a=5.,(2)当 3-2aa, 即 0a1 时,S(x)min=S(3-2a)=12a-8a2.,由 12a-8a2=4 得:,均满足 0a1.,解: 由已知, 二次方程 ax2+bx+c -250 有实根., =b2-4a(c -25)0., b=-c,c2+24c(c -25)0.,解得: c24., b-24, a-144.,故 a, b, c 的取值范围分别是 a-144, b-24, c24.,代入 b2-4a(c -25)0 得:,则由f(x)=ax2+bx+c的图象过点(-1, 0), 得 a-b+c=0. , 1f(1)1, 即 f(1)=1, 得 a+b+c=1. ,解: 假设存在常数 a, b, c, 使题中不等式对一切实数 x 都成立.,即2ax2-x+1-2a0与(1-2a)x2-x+2a0对一切实数 x 都成立.,则必有: 1-8a(1-2a)0,即 (4a-1)20.,从而得解.,6.已知二次函数 f(x)=2x2-4(a-1)x-a2+2a+9. (1) 若在 -1, 1 上至少存在一个实数 m, 使得 f(m)0, 求实数 a 的取值范围; (2)若对 -1, 1 上的一切实数 m, 都有 f(m)0, 求实数 a 的取值范围.,解: f(x) 的图象是开口向上的抛物线, 其对称轴为直线 x=a-1.,(1)问题等价于“对于 x-1, 1, 有 f(x)max0.”,讨论如下:,当 a-10 即 a1 时, f(x)max=f(1)=-a2-2a+15.,由 -a2-2a+150 得: -5a3., a1, -5a1.,当 a-10 即 a1 时, f(x)max=f(-1)=-a2+6a+7.,由 -a2+6a+70 得: -1a7., a1, 1a7.,综上所述, -5a7.,即实数 a 的取值范围是 (-5, 7).,(2)问题等价于“对于 x-1, 1, 有 f(x)min0.”,讨论如下:,当 a-1-1 即 a0 时, f(x)min=f(-1)=-a2+6a+7.,由 -a2+6a+70 得: -1a7., a0, -1a0.,当 -1a-11 即 0a2 时, f(x)min=f(a-1)=-3a2+6a+7.,而当 0a2 时, -3a2+6a+70 恒成立., 0a2.,注: 亦可用补集法求解.,综上所述, -1a3.,即实数 a 的取值范围是 (-1, 3).,当 a-11 即 a2 时, f(x)min=f(1)=-a2-2a+15.,由 -a2-2a+150 得: -5a3., a2, 2a3.,证: (1)令 F(x)=f(x) -x, 由于 x1, x2 是方程 f(x) -x=0 的两根,所以可设 F(x)=a(x-x1)(x-x2).,当 x(0, x1) 时, 由 x10 有:,F(x)=a(x-x1)(x-x2)0.,即 f(x) -x0, 从而 f(x)x.,又 x1-f(x)=x1-x+F(x)=x1-x-a(x-x1)(x-x2)=(x1-x)1+a(x-x2)., x1-f(x)0, 从而 x1f(x).,故当 x(0, x1) 时, 有 xf(x)x1;,由于 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 即 ax2+(b-1)x+c=0 的两根,ax21, 即ax2-10,8.(1)设方程2sin2x-4asinx+1-a=0 在0, 上有两个不同的解, 求实数a 的取值范围; (2)若不等式2sin2x-4asinx+1-a0 在0, 上恒成立, 求实数 a 的取值范围.,解: (1)令 t=sinx, 则方程 2sin2x-4asinx+1-a=0 在0, 上有两个 不同的解等价于:,方程 2t2-4at+1-a=0 有一根为 0, 另一根不在 (0, 1) 内;,或方程 2t2-4at+1-a=0 在 (0, 1) 内有两等根;,或方程 2t2-4at+1-a=0 有一解在 (0, 1) 内, 另一解在0, 1外.,当 t=0 时, a=1, 方程 2t2-4at+1-a=0 的另一根为 2 且 2(0, 1),a=1 适合题意;,方程 2t2-4at+1-a=0 有两等根时, 由 =16a2-8(1-a)=0 得:,a=-1时, 方程 2t2-4at+1-a=0 的两等根为-1 但 - 1(0, 1),a=-1 不合题意, 舍去;,设 f(t)=2t2-4at+1-a, 则方程 2t2-4at+1-a=0有一解在(0, 1)内, 另一解在0, 1外等价于: f(0)f(1)0, 即 (1-a)(3-5a)0.,(2)令 t=sinx, 则不等式 2sin2x-4asinx+1-a0 在0, 上恒成立等价于不等式 2t2-4at+1-a0 在0, 1上恒成立.,此即为所求实数 a 的取值范围.,解法二: 分离参数: a=(0sinx1) 来求.,要注意不适合题意的情况.,9.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab, 当 x(-3, 2)时, f(x)0, 当x(-, -3)(2, +) 时, f(x)0. (1)求 f(x) 在0, 1上的值域; (2) c 为何值
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