随机过程及其应用.ppt

第二章 分枝过程,一、母函数 假设 X是取非负整数值的随机变量，且P(X=k)= k=0,1,，则称级数p(s)= 为随机变量 的母函数，(|s| ) 例1：设X 是参数为 的普阿松数分布，则其母函数p(s)= (|s| ) 例2：设xB(n,p),即x是二项式分布，则其母函数p(s)=(ps+q),母函数有如下一些性质： 定理2.1：设随机变量x的母函数为p(s)则有 （1）E(x)= （1） （2）若E(x ) ,则 Var(x)=P (1)+P (1)-(p (1),例如对普阿松随机变量x,因为E(x ) 所以,E(x)=P (1)= ,var(x)=P (1)+P (1)- (P(1) = 定理2.2：设x与y相互独立，且f(s),g(s)分别为其母函数，则x+y的母函数h(s)=f(s)g(s).,推论2.1：设x(1),x(n)是相互独立的取非负整数的随机变量，x(i)的母函数为f (s),则x(1)+x(n)的母函数为f (s)f (s)f (s) 例3：x,y,z相互独立，分别是B(3,p),B(5,p), B(6,p)的二项式分布，则x+y+zB(14,p). 定理2.3：设N,x(1),x(n)都是取非负整数的随机变量且相互独立，x(1),x(n)具有共同的分布，其母函数为f(s),N的母函数为g(s),令当N0时,x=x(1)+x(N),当N=0时，x=0 则x的母函数为h(s)=g(f(s) 注:x的母函数与其分布函数1-1对应,所以对于一个取非负整数值的随机变量x,只要知道了它的母函数其分布也就完全知道了。 二、分枝过程 设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一单位时间，一个质点可分离成k个质点（k=0,1,2)并设 （1）这些质点的分离情况是相互独立的，具有共同分布 （2）质点的分离情况与其年龄无关,Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻(n+1)时刻分离出的质点数。 X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有 X(0)=n(0) X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)+Z(1,n(0) X(2)=Z(2,1)+Z(2,2)+Z(2,x(1)） . X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n+1,2)+Z(n+1),x(n) 上面的假设（1）、（2）说明z(n+1,i),i 1,n 0是一族相互独立具有共同分布的取非负整数的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k),(k 0,i 1,n 0),其母函数f(s)= 则称x(n),n 0是一个初始状态为n(0)的以f(s)为本原母函数的分枝过程。 定理2.4:设x(n),n 0 如上所设，令f(n,s)为x(n)母函数， (n)=E(x(n), =var(x(n),则 (1)f(1,s)=f(s) (2)f(n+1,s)=f(n,f(s) (n 0) (3) (1)= n(0) ,其中 =f (1)=E(Z(n,i) (4),(5) (6) 当 1时, 当 = 1时， 从定理2.4可知，只要f(s)已知，则X(n),n 0 的一切信息都知道了。 对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。下面来讨论过程灭绝的概率 因为X(n)=0 x(n+1) =0 所以0 P(x(n)=0) P(x(n+1)=0) 1,即P(x(n)=0),n=1,2,是一个单调有界序列，故其极限一定存在。,我们称这个极限limP(x(n)=0) 为x(n),n 0的绝灭概率，显然 定理2.5设x(n),n 0是一个初始状态为1的以f(s)=p(0)+p(1)s+为本原母函数的分枝过程。 为其绝灭概率，则 (1) =f( ) (2)当 1,p(1)1时有 =1 (3)当1 时, 是s=f(s)在0,1)内的唯一解,例4：设x(n),n 0是以初始状态为1的以f(s)=p/(1-qs)为本原母函数的分枝过程，其中01.此时 是方程s=f(s)在0,1)内的唯一解.解这一方程s=p/(1-qs)得 =p/q,定理2.7:设x(n),n 0是一个初始状态为n(0)的以f(s)为本原母函数的分枝过程, 是x(n),n 0的绝灭概率，则 证明：设y(n,i)表示初始时刻的第i个质点，在时刻n时所产生的反应堆中的质点数(i=1,2,n(0). 显然，对任意的n,x(n)=y(n,1)+y(n,2)+y(n,n(0)且y(n,1),y(n,2),y(n,n(0)独立同分布 所以p(x(n)=0)=P(y(n,1)+y(