全国通用2017届高考数学第十章圆锥曲线10.6圆锥曲线的综合问题课件理新人教B版.pptx

10.6 圆锥曲线的综合问题,高考理数,1.定点问题 定点问题通常情况下要建立含参数的曲线方程,选取合适的坐标(可通过取参数的不同特殊值, 及对应的方程组的根的求解完成),即可说明此坐标适合该曲线方程且与参数无关. 2.定值问题 (1)定值问题的求解:可先考虑能否用特殊点或特殊值求出定值,再推广到一般结论. (2)定值问题的证明:可运用函数的思想方法来解决.一般步骤如下:选择适当的变量;把要证 明的定值的量表示成上述变量的函数;把定值的量化成与变量无关的形式,从而证明是定值. 3.最值问题 求最值问题常见的方法有两种: (1)几何法:题中给出的条件有明显的几何特征,则考虑用图象性质来解决,特别要关注是用圆锥 曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值. (2)代数法:题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则考虑先建立目标函数(通常为二次函,知识清单,数),再求这个函数的最值.求函数的最值常见的方法有配方法、判别式法、基本不等式法、单 调性法、三角换元法等. 4.存在性问题 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元 素(点、直线、曲线或参数)存在,用待定系数法设出,列出关于待定系数的方程组,若方程组有实 数解,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则,元素(点、直线、曲线或参数)不存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. 5.求定值、最值、范围等圆锥曲线综合问题的四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用.,“定点”“定值”问题是圆锥曲线中常考题型,难度较大,注重知识点之间的联系与综合, 更加注重对数学思想方法,尤其是函数思想,数形结合思想及分类讨论思想的考查. 1.圆锥曲线中的定点、定值问题常用的解题方法 (1)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值; (2)从特殊情况入手,求出定点或定值,再证明定点或定值与变量无关. 2.求解定点问题的基本思路 (1)把直线或者曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把常量当作未知数,将方程一端化为0,即化为 kf(x,y)+g(x,y)=0的形式(这里把常量k当作未知数). (2)既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于0,这样就 得到一个关于x,y的方程组,即 (3)这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点,即满足 的点(x0,y0)为直线,突破方法,方法1 圆锥曲线中的定点、定值问题,或曲线所过的定点. 3.求解定值问题的基本思路 (1)首先求出这个几何量或代数表达式; (2)对表达式进行化简,整理成y=f(m,n,k)的最简形式; (3)根据已知条件列出必要的方程(或不等式),消去参数,最后求出定值,一般是根据已知条件列 出方程k=g(m,n),代入y=f(m,n,k),得到y=h(m,n)+c(c为常数)的形式. 例1 (2013陕西,20,13分)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是PBQ的平分线, 证明直线l过定点. 解析 (1)如图,设动圆圆心为O1(x,y),由题意,知|O1A|=|O1M|,当O1不在y轴上时,过O1作O1HMN交 MN于H,则H是MN的中点,|O1M|= ,又|O1A|= , = , 化简得y2=8x(x0). 又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,动圆圆心的轨迹C的方程为y2 =8x. (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx+b代入y2=8x,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0. 其中=-32kb+640. 由根与系数的关系得,x1+x2= , x1x2= . 因为x轴是PBQ的平分线,所以 =- , 即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0, (kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0, 整理得2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0, 将代入并化简得8(b+k)=0, k=-b,此时0,直线l的方程为y=k(x-1), 即直线l过定点(1,0). 1-1 (2015甘肃二模,20,12分)椭圆C: + =1(ab0)的离心率e= ,过椭圆右焦点F且斜率为1,的直线l截椭圆所得弦长为 . (1)求椭圆C的方程; (2)已知A、B为椭圆长轴的两个端点,作不平行于坐标轴且不经过右焦点F的直线PQ,与椭圆交 于P、Q两点,若满足AFP=BFQ,求证:直线PQ恒经过一定点. 解析 依题意知l:y=x-c, 又e= ,所以椭圆C: + =1, 联立得7x2-8cx-8c2=0, 所以 = ,解得c=1,所以a=2, b= , 于是椭圆C的方程为 + =1. (5分) (2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),且直线PQ的方程为y=kx+m(k0), 由 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.,所以x1+x2=- ,x1x2= , (*) 由AFP=BFQ,得kPF=-kQF + =0y1(x2-1)+y2(x1-1)=0, 即2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0, 将(*)式代入上式得2k +(m-k) -2m=0, 化简得m=-4k. (10分) 所以直线PQ的方程为y=k(x-4),所以直线PQ恒经过一定点(4,0). (12分),1.最值问题的求解方法 (1)建立函数模型,利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值. (2)建立不等式模型,利用基本不等式求最值. (3)数形结合,利用相切、相交的几何性质求最值. 2.求参数范围的常用方法 (1)函数法:用其他变量表示该参数,建立函数关系,利用求函数值域的方法求解. (2)不等式法:根据题意建立含参数的不等式,通过解不等式求参数范围. (3)判别式法:建立关于某变量的一元二次方程,利用判别式求参数的范围. (4)数形结合法:研究该参数所表示的几何意义,利用数形结合思想求解. 例2 (2012浙江,21,15分)如图,椭圆C: + =1(ab0)的离心率为 ,其左焦点到点P(2,1)的距 离为 ,不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分. (1)求椭圆C的方程; (2)求ABP面积取最大值时直线l的方程.,方法2 圆锥曲线中的最值、参数范围问题,解题导引 (1)设F(-c,0),则 = 结合 = , 得c=1,a=2 椭圆方程 (2)设lAB:y=kx+m(m0), 与椭圆方程联立 求AB中点M 的坐标,由O,P,M共线求k及m 将SABP表示成 关于m的函数 利用导数法求最值, 得直线l的方程 解析 (1)设椭圆左焦点为F(-c,0),则由题意得 得 所以椭圆方程为 + =1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M. 当直线AB与x轴垂直时,直线AB的方程为x=0,与不过原点的条件不符,舍去.故可设直线AB的方 程为y=kx+m(m0), 由 消去y,整理得 (3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0, (*) 则=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)0,所以线段AB的中点M . 因为M在直线OP上,所以 = , 得m=0(舍去)或k=- . 此时方程(*)为3x2-3mx+m2-3=0,则 =3(12-m2)0, 所以|AB|= |x1-x2|= . 设点P到直线AB的距离为d,则d= = . 设ABP的面积为S,则S= |AB|d= . 其中m(-2 ,0)(0,2 ), 令u(m)=(12-m2)(m-4)2,m-2 ,2 . u(m)=-4(m-4)(m2-2m-6)=-4(m-4)(m-1- )(m-1+ ). 所以当且仅当m=1- 时,u(m)取到最大值. 故当且仅当m=1- 时,S取到最大值. 综上,所求直线l的方程为3x+2y+2 -2=0. 2-1 (2015辽宁抚顺二中测试)设点P在以F1、F2为左、右焦点的双曲线C: - =1(a0,b0)上, PF2x轴,|PF2|=3,点D为右顶点,且|F1D|=3|DF2|. (1)求双曲线C的方程; (2)设过点F2的直线l与双曲线C交于不同的两点A、B,且满足|OA|2+|OB|2|AB|2(其中O为原点),求 直线l的斜率的取值范围. 解析 (1)由题意,得 =3,a+c=3(c-a)且c2=a2+b2,解得a=1,b= ,c=2, 故双曲线C的方程为x2- =1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由|OA|2+|OB|2|AB|2,得 00 0x1x2+y1y20, 显然,kAB=0不合题意; 当ABx轴时,不妨令A在B的上方,则A(2,3),B(2,-3), =-5,也不合题意.故直线l的斜率存在 且不为零,设直线l的斜率为k, 由 消去y,整理得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0, =(4k2)2-4(3-k2)(-4k2-3)0k20, x1+x2= ,x1x2= . 由x1x2+y1y20x1x2+k(x1-2)k(x2-2)0 (1+k2)x1x2-2k2(x1+x2)+4k20 (1+k2) -2k2 +4k20 k23,故l的斜率的取值范围是 .,“存在性”问题是一类探索性问题,存在性问题的求解方法具有以下特点: (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”,将不确定性问题明朗化. 一般步骤为:假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在,用待定系数法设出;列出关于待定系 数的方程(组);若方程(组)有实数解,则曲线(或直线、点等)存在,否则不存在. (2)反证法和验证法也是求解存在性问题常用的方法. 例3 (2012江西,20,13分)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足| + |= ( + )+2. (1)求曲线C的方程; (2)动点Q(x0,y0)(-2x02)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l.问:是否存在定点P(0,t)(t0),使得l 与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且QAB与PDE的面积之比是常数?若存在,求出t的值;若不 存在,请说明理由. 解题导引 (1) , 坐标化由| + |= ,方法3 圆锥曲线中的存在性问题,( + )+2得关系式曲线C的方程 (2)写出PA,PB,l的方程, 并设l与y轴交于点F-1t0时,l与直线 PA平行,不合题意t-1时,l与PA, PB的方程分别联立由D、E的横坐标之差及|FP|=- -t 得SPDE,SQAB的表达式由 为常数求t 解析 (1) =(-2-x,1-y), =(2-x,1-y), 则| + |= , ( + )=(x,y)(0,2)=2y, 由已知得 =2y+2, 化简得曲线C的方程:x2=4y. (2)假设存在点P(0,t)(t0)满足条件, 则直线PA的方程是y= x+t, PB的方程是y= x+t.,曲线C在Q处的切线l的方程是y= x- ,设它与y轴的交点为F . 因为-2 ,所以l与直线PA,PB一定相交. 分别联立得方程组 解得D,E的横坐标分别是 xD= ,xE= , 则xE-xD=(1-t) , 又|FP|=- -t,则SPDE= |FP|xE-xD|= , SQAB= 4 = , 于是 = = . 对于任意x0(-2,2),要使 为常数,即只需t满足 解得t=-1,此时 =2, 故存在t=-1,使得QAB与PDE的面积之比是常数2. 3-1 (2015内蒙古呼伦贝尔一模,20)已知抛物线E:y2=2px(p0)的准线与x轴交于点M,过点M作圆 C:(x-2)2+y2=1的两条切线,切点为A,B,|AB|= . (1)求抛物线E的方程; (2)过M点斜率为k的直线l与抛物线E交于H、G两点.是否存在这样的k,使得抛物线E上总存在点 Q(x0,y0)满足QHQG?若存在,求k的取值范围;若不存在,说明理由.,解析