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第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量,一 变换的不变量矩阵的特征向量,1.掌握矩阵的特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义. 2.会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形).,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,2.特征向量的性质 设是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,则对任意的非零常数k,k也是矩阵A的属于特征值的特征向量. 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线. 名师点拨1.如果k是非零常数,则k0,由于A(k)=kA=k()=(k)=(k),所以k是矩阵A的属于特征值的特征向量. 2.从几何直观上看,如果是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,那么与共线的所有非零向量都是A的属于这个特征值的特征向量. 3.不是每个二阶矩阵都有特征向量和特征值.,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,1.矩阵的特征值与特征向量的含义是什么? 剖析:是矩阵A的属于特征值的一个特征向量,则A=,其中 使得向量变为,即变为与向量共线的向量,当0时,所得向量与同向;当0时,所得向量与反向;当=0时,所得向量为零向量.也就是存在特征值和特征向量,在线性变换A的作用下,只让向量发生了伸缩变换.既然是伸缩变换,则k也发生了伸缩变换,所以k也是属于特征值的特征向量.,2.求二阶矩阵特征值和特征向量的简要步骤是什么? 剖析:(1)设矩阵A的特征值为,特征向量为,则A=; (2)将上述矩阵形式的方程改写为普通方程组,并合并同类项; (3)把得到的方程组改写为齐次线性方程组的矩阵形式; (4)令齐次线性方程组的系数矩阵的行列式为0,解出的值; (5)将的值分别代入齐次线性方程组解出特征向量.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思特征值与特征向量是相伴出现的,特征向量只属于一个特征值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思根据特征值与特征向量的意义列出所求量的函数关系式是解决此类题的基本途径.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,
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