高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质课件新人教A版.pptx

第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不 等 式 1.不等式的基本性质,【自主预习】 1.两个实数a,b的大小关系,a-b0,a-b=0,a-b0,2.不等式的基本性质 (1)对称性:ab_. (2)传递性:ab,bc_. (3)可加性:_a+cb+c.,ba,ac,ab,(4)可乘性:如果ab,c0,那么_; 如果ab,cb0,那么an_bn(nN,n2). (6)开方:如果ab0,那么 _ (nN,n2).,acbc,acbc,【即时小测】 1.若ab0,则下列结论不正确的是 ( ) A.a2b2 B.aba2 【解析】选A.因为ab0,所以0-b-a, 故B,C,D都正确,A错误.,2.下列不等式: (1)x2+32x(xR). (2)a5+b5a3b2+a2b3(a,bR). (3)a2+b22(a-b-1).其中正确的个数 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3,【解析】选C.因为x2+3-2x=(x-1)2+20, 所以(1)正确;a5+b5-(a3b2+a2b3)=(a2-b2)(a3-b3) =(a-b)2(a+b)(a2-ab+b2)正负不确定, 所以(2)不正确;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20. 所以(3)正确.,【知识探究】 探究点 不等式的基本性质 1.若ab,cd,那么a-cb-d吗? 提示:不一定成立,同向不等式具有可加性,但不具有可减性. 如21,51,但2-51-1不成立.,2.若ab,cd,一定有acbd吗? 提示:不一定,如a=-1,b=-2,c=-2,d=-3时就不成立.,【归纳总结】 1.符号“”和“”的含义 “”与“”,即推出关系和等价关系,或者说“不可逆关系”与“可逆关系”,这要求必须熟记和区别不同性质的条件.,2.性质(3)的作用 它是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+bcac-b.性质(3)是可逆的,即aba+cb+c.,3.不等式的单向性和双向性 性质(1)和(3)是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的.,4.注意不等式成立的前提条件 不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定式.如传递性是有条件的;可乘性中c的正负,乘方、开方性质中的“正数”及“nN,且n2”都需要注意.,类型一 作差法比较大小 【典例】设mn,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比较x与y的大小. 【解题探究】比较两个多项式的大小常用的方法是什么? 提示:常用作差比较法.,【解析】因为x-y=(m4-m3n)-(mn3-n4) =(m-n)m3-n3(m-n) =(m-n)(m3-n3) =(m-n)2(m2+mn+n2),又mn,所以(m-n)20, 因为 所以x-y0,故xy.,【方法技巧】作差比较法的四个步骤,【变式训练】 1.若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是_.,【解析】f(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1) =x2-2x+2=(x-1)2+110, 所以f(x)g(x). 答案:f(x)g(x),2.若x,y均为正实数,判断x3+y3与x2y+xy2的大小关系. 【解析】x3+y3-x2y-xy2 =x2(x-y)-y2(x-y) =(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),因为x0,y0, 所以(x-y)2(x+y)0, 所以x3+y3x2y+xy2.,类型二 不等式性质的简单应用 【典例】判断下列命题是否正确,并说明理由. (1)ab0,则 (2)cab0,则 (3)若 ,则adbc. (4)设a,b为正实数,若a- b- ,则ab.,【解题探究】判断上述每个命题真假的关键是什么? 提示:关键是利用不等式的性质或者举反例进行判断.,【解析】(1)因为ab0,所以ab两边同乘以 得 得 ,故正确. (2)因为c-a0,c-b0,且c-a0, 又ab0,所以 ,正确.,(3)由 ,所以 0, 即adbc且cd0或adbc且cd0, 故不正确.,(4)因为a- 0,b0, 所以a2b-bab2-aa2b-ab2-b+a0, ab(a-b)+(a-b)0(a-b)(ab+1)0, 所以a-b0,即ab,正确.,【方法技巧】 1.利用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)要判断一个命题为真命题,必须严格证明. (2)要判断一个命题为假命题,或者举反例,或者由题中条件推出与结论相反的结果.其中,举反例在解选择题时用处很大.,2.运用不等式的性质判断命题真假的三点注意事项 (1)倒数法则要求两数同号. (2)两边同乘以一个数,不等号方向是否改变要视此数的正负而定. (3)同向不等式可以相加,异向不等式可以相减.,【变式训练】1.下列命题中正确的是_ . 若ab0,cd0,那么 若a,bR,则a2+b2+52(2a-b).,【解析】因为ab0,cd0, 所以 0,故 错误. a2+b2+5-2(2a-b) =a2+b2+5-4a+2b=(a-2)2+(b+1)20, 所以正确. 答案:,2.若ab0,分别判断下列式子是否成立,并简述理由.,【解析】(1)成立.由ab0得aa-b0,所以 则 (2)成立.因为ab0,所以a+bb0,则 所以,类型三 利用不等式的性质证明简单不等式 【典例】已知ab0,cd0,求证: 【解题探究】证明该不等式成立的关键是什么? 提示:证明的关键是由不等式的性质得到a-c与b-d的大小关系.,【证明】因为c-d0, 又ab0,所以a-cb-d0, 所以0 ,再由0ba, 所以,【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,证明:,【证明】因为c-d0, 所以 又ab0, 所以 所以 同乘以-1得,2.(变换条件、改变问法)本题中加上条件“e-d0, 又ab0,所以a-cb-d0, 所以(a-c)2(b-d)20, 所以 又e0,所以,【方法技巧】利用不等式性质证明简单不等式的实质与技巧 (1)实质:就是根据性质把不等式进行变形,要注意不等式性质成立的条件.,(2)技巧:若不能直接由不等式性质得到,可先分析需要证明的不等式的结构.利用不等式的性质进行逆推,寻找使其成立的充分条件.,【变式训练】 1.已知ab0,cd0.求证: 【证明】因为ab0,所以0d0,所以0 所以,所以 所以 即 又a,c,b,d均大于0, 所以 所以,2.已知a0,b0,c0,d0,且 ,求证: 【证明】因为a0,b0,c0,d0且 ,所以adbc, 所以ad+cdbc+cd,即d(a+c)c(b+d), 所以,自我纠错 作差法比较大小 【典例】设a+b0,n为偶数, 的大小关系为_.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:n为偶数时,an-bn和an-1-bn-1不一定同号,这里忽略了在题设条件a+b0且没有明确字母的具体值的情况下,要考虑分类讨论,即对a0,b0和a,b有一