高中数学第一章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系课件苏教版.pptx

1.空间两条直线的位置关系是相交、平行、异面. 2.平行直线 (1)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行,即 ac. (2)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. 交流1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角一定相等吗? 答案：不一定.当方向相同时,这两个角相等;当有一组对应边方向相同,另一组对应边方向相反时,两个角互补.,3.异面直线 (1)定义:把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. (2)判定定理:过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线,用符号表示为(如图)若l,A,B,Bl,则直线AB与l是异面直线. (3)异面直线所成的角:如果a,b是两条异面直线,则经过空间任意一点O,作直线aa,bb,则直线a和b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a,b所成的角,若异面直线a,b所成的角是直角,则称异面直线a,b互相垂直,记作ab.异面直线所成的角的范围是(0,90.,交流2 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗? 答案：不一定.如图,a,b,但a与b可能相交,也可能平行.,交流3 (1)给出如下四个判断: 平行于同一条直线的两条直线平行; 垂直于同一条直线的两条直线平行; 在空间中,不相交的两条直线是异面直线; 如果直线a,b异面且直线b,c异面,那么直线a,c异面. 其中正确的是 .(填序号) (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AA1垂直且异面的棱有 . 答案：(1) (2)DC,BC,D1C1,B1C1,典例导学,一,二,三,即时检测,一、平行公理与等角定理的应用 如图,E,F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点,G,H分别是CD与AD上靠近D点的三等分点.求证:四边形EFGH是梯形. 思路分析：要证四边形是梯形,需证一组对边平行且不相等.可利用三角形中位线的性质和公理来证明.,典例导学,一,二,三,即时检测,证明：连结AC, 在ABC中,EF为ABC的中位线, EF AC.在DAC中, H,G分别为DA,DC的三等分点, HG AC, EFHG且EFHG, 四边形EFGH是梯形.,典例导学,一,二,三,即时检测,1.在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,若AC=BD且ACBD,则四边形EFGH为 . (导学号51800022) 解析：如图, E,F,G,H分别为所在边的中点,由中位线性质得 四边形EFGH为平行四边形. 又AC=BD且ACBD, EF=FG,且EFFG. 四边形EFGH为正方形.,典例导学,一,二,三,即时检测,2.已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:BEC=B1E1C1. (导学号51800023) 证明：如图,连结EE1, E,E1分别为AD,A1D1的中点, A1E1AE, 四边形A1E1EA为平行四边形. A1AE1E. 又A1AB1B,E1EB1B, 四边形E1EBB1是平行四边形, E1B1EB.同理E1C1EC. 又E1B1与EB方向相同,E1C1与EC方向相同, BEC=B1E1C1.,典例导学,一,二,三,即时检测,1.证明角的相等问题,“等角定理”是较常用的方法.另外,通过证明三角形的相似或全等也可以完成角相等的证明. 2.“等角定理”为两条异面直线所成的角的定义提供了可能性与惟一性,即过空间任一点,引分别平行于两条异面直线的直线,它们所成的锐角(或直角)都是相等的,而与所取点的位置无关.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、异面直线的判定及证明 已知空间四边形ABCD,求证:它的对角线AC与BD是异面直线. 思路分析：解答本题可利用反证法证明,也可以利用两异面直线的判定定理证明. 证明：如题干图所示,假设AC和BD不是异面直线,则AC与BD在同一平面内,A,B,C,D四点在同一平面内,即四边形ABCD是平面四边形,这与已知条件矛盾, 假设不成立,因此AC和BD是异面直线.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.(2016四川德阳高二期中)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( ) 解析：易知选项A,B中PQRS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线. 答案：C,典例导学,即时检测,一,二,三,2.下图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段AB,CD,EF和GH在原正方体中相互异面的有 对. 解析：将展开图恢复成正方体后,有AB与CD,EF与GH,AB与GH共3对异面直线. 答案：3,典例导学,即时检测,一,二,三,证明两直线为异面直线的方法 (1)证明两条直线异面,首先可用定义证明,若一个平面一个平面地寻找是不可能实现的,因此必须找到一个间接证法来证明,反证法即为一种行之有效的好方法. (2)应用反证法证题的一般步骤是:假设结论的反面成立,据理推出矛盾,从而判定原结论正确.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、求异面直线所成的角 如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是AB和AB的中点,则异面直线AF与CE所成角的正切值等于 . (导学号51800024) 思路分析：解题的关键是根据异面直线所成角的定义,用平移的方法作出所求的角,然后求出它的正切值.解题时,要充分利用正方体的性质.,典例导学,即时检测,一,二,三,解析：连结EB,则由FBAE,得四边形AEBF为平行四边形, EBAF, CEB即为AF与EC所成的角.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.(2016浙江杭州高二联考)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于 . (导学号51800025),典例导学,即时检测,一,二,三,解析：取A1B1的中点M,连结MG,MH,则MGEF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知MGH为正三角形,MGH=60,故EF与GH所成的角等于60. 答案：60,典例导学,即时检测,一,二,三,2.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等,M是侧棱CC1的中点,则异面直线AB1和BM所成的角为 .(正三棱柱是指底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱),典例导学,即时检测,一,二,三,解析：如图,取BB1的中点N,AB的中点D,连结C1N,C1D,ND.因为NDAB1,BMC1N,所以C1ND即为所求的角.设棱长为2,则可求得ND= ,在C1ND中,C1N2+ND2=C1D2,故C1ND=90.即异面直线AB1和BM所成的角为90. 答案：90,典例导学,即时检测,一,二,三,求两异面直线所成角的技巧 (1)求两异面直线所成角的关键在于作角,总结起来有如下“口诀”: 中点、端点定顶点,平移常用中位线; 平行四边形柱中见,指出成角很关键; 求角构造三角形,锐角、钝角要明辨; 平行线若在外,补上原体在外边. (2)如果求得的角的余弦值为负值的话,这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角,所以在指明所求角的时候,应该说“这个角或其补角”即为所求的角.,典例导学,1,2,3,4,5,即时检测,1.下列说法中正确的是( ) A.若两条直线分别在两个相交平面内,则两直线不可能平行 B.若两条直线与第三条直线所成角相等,则这两条直线平行 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.若ab,b与c异面,则a与c不可能平行 解析：当两条直线都平行于两个平面的交线时,这两直线平行,故A不正确;等腰三角形的两腰所在直线与底边所在直线成等角,这两直线相交,故B不正确;若把菱形沿对角线折起,则得到四条边都相等的空间四边形,故C不正确;若ac,又ab,bc.这与已知b与c异面矛盾,故D正确. 答案：D,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,2.空间两条互相平行的直线指的是( ) A.在空间没有公共点的两条直线 B.分别在两个平面内的两条直线 C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D.在同一平面内且没有公共点的两条直线 解析：选项A,B,C所述的两条直线均有可能是异面直线,由平行直线的定义知D是正确的. 答案：D,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,3.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成角为90的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有 条. 解析：与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,BD,BA1,C1D.其中与AD1所成角为90的只有B1C一条. 答案：1,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,4.如图所示是正方体的平面展开图,在这个正方体中,BM与ED平行;CN与BM是异面直线;CN与BE是异面直线;DN与BM是异面直线.以上说法中,正确的序号是 . 解析：把平面图形还原为正方体,如图所示,正确说法的序号是,观察图形,根据两直线平行的定义可知,BM与ED是异面直线