高中数学第一章立体几何初步1.2.4.2两平面垂直课件苏教版.pptx

1.二面角的有关概念 (1)半平面 平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面,当其中一个半平面绕着这条直线旋转时,两个半平面就形成了一定的“角度”. (2)二面角 定义:一般地,一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.如图,棱为AB,面为,的二面角,记作二面角-AB- .,度量:一般地,以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.如图,OAl,OBl,A,B,Ol,=l,则AOB就是二面角-l-的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度. 范围:二面角的大小范围是0180.平面角是直角的二面角叫做直二面角.,交流1 一个二面角的平面角惟一吗?若不惟一,这些平面角的大小有什么关系? 答案：根据在棱上选的平面角的顶点位置不同,二面角的平面角不同,但根据等角定理,这些平面角的大小都是相等的.,2.平面与平面垂直 (1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直. (2)画法: 记作:. (3)平面与平面垂直的判定定理 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.,交流2 与一个平面垂直的平面有多少个? 答案：凡经过平面垂线的平面都与已知平面垂直,而经过平面垂线的平面有无数个,故与一个平面垂直的平面有无数个.,3.平面与平面垂直的性质定理,交流3 (1)两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗? (2)已知,=l,al,那么一定有a或a成立吗? 答案：(1)不一定,只有垂直于两平面的交线的直线才垂直于另一个平面. (2)不一定.如图所示,=l,al,但a,a,则a与a都不成立.,典例导学,一,二,三,即时检测,一、面面垂直判定定理的应用 如图,ABC为正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证: (导学号51800041) (1)DE=DA; (2)平面BDM平面ECA; (3)平面DEA平面ECA.,典例导学,一,二,三,即时检测,思路分析：(1)要证DE=DA,取EC的中点F,只需证明RtEFDRtDBA;(2)注意M为EA的中点,可取CA的中点N,先证明点N在平面BDM内,再证明平面MNBD经过平面ECA的一条垂线即可;(3)仍需证平面DEA经过平面ECA的一条垂线. 证明：(1)取EC的中点F,连结DF. 易知DFBC, ECBC,DFEC. 在RtEFD和RtDBA中, EF= EC=BD,FD=BC=AB, RtEFDRtDBA.ED=DA.,典例导学,一,二,三,即时检测,(2)取CA的中点N,连结MN,BN,则MN EC, MNBD.点N在平面BDM内. EC平面ABC,ECBN. 又CABN,ECCA=C, BN平面ECA. BN在平面MNBD内, 平面MNBD平面ECA,即平面BDM平面ECA. (3)BD EC,MN EC, 四边形MNBD为平行四边形. DMBN.由(2)知BN平面ECA, DM平面ECA. 又DM平面DEA, 平面DEA平面ECA.,典例导学,一,二,三,即时检测,1.如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,侧棱PA=a,PB=PD= a,则它的五个面中,互相垂直的面有 对. 解析：平面PAB平面PAD,平面PAB平面ABCD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面PCD,平面PBC平面PAB,共5对. 答案：5,典例导学,一,二,三,即时检测,2.如图,AB=BC,CD=DA,E,F,G分别为CD,DA和AC的中点.求证:平面BEF平面BGD. 证明：AB=BC,CD=AD,G是AC的中点,BGAC,DGAC. 又BGDG=G, AC平面BGD. 又E,F分别为CD,DA的中点, EFAC. EF平面BGD. EF平面BEF, 平面BEF平面BGD.,典例导学,一,二,三,即时检测,平面与平面垂直的判定方法 (1)定义法.证明这两个平面所成的二面角的平面角是直角.应用此法证明面面垂直的关键是正确地作出(或找出)二面角的平面角. (2)判定定理法. 本质:证面面垂直 证线面垂直. 关键:在其中一个平面内寻找另一个平面的垂线.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、面面垂直的性质定理的应用 如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是边长为a的菱形且DAB=60,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD. (导学号51800042) (1)若G为AD的中点,求证:BG平面PAD; (2)求证:ADPB.,典例导学,即时检测,一,二,三,思路分析：(1) (2)要证ADPB,只需证AD平面PBG即可.,典例导学,即时检测,一,二,三,证明：(1)如图,在菱形ABCD中,连结BD,由已知DAB=60, ABD为正三角形. G是AD的中点,BGAD. 平面PAD平面ABCD, 且平面PAD平面ABCD=AD, BG平面PAD. (2)连结PG. PAD是正三角形,G是AD的中点, PGAD. 由(1)知BGAD.又PGBG=G, AD平面PBG. PB平面PBG, ADPB.,典例导学,即时检测,一,二,三,如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形,平面PCD平面ABCD,PC=a,PD= a,E为PA的中点.求证:平面EDB平面ABCD.,典例导学,即时检测,一,二,三,证明：连结AC,设ACBD=O,连结EO, AO=CO,E为PA的中点, EOPC. PC=CD=a,PD= a, PC2+CD2=PD2. PCCD. 平面PCD平面ABCD,CD为交线, PC平面ABCD. EO平面ABCD. 又EO平面EDB, 平面EDB平面ABCD.,典例导学,即时检测,一,二,三,本题已知面面垂直,可考虑利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理时,要注意以下三点: (1)两个平面垂直是前提条件; (2)直线必须在其中一个平面内; (3)直线必须垂直于它们的交线.,典例导学,即时检测,一,二,三,三、二面角的求法 如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2 . (导学号51800043) (1)求直线AM与平面BCD所成角的大小; (2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.,典例导学,即时检测,一,二,三,思路分析：利用已知的垂直关系可推出线面垂直,从而将所求的空间角、线面角与二面角转化为平面角,再用平面几何知识求解即可. 解：(1)取CD的中点O,连结OB,OM,则OBCD,OMCD. 又平面MCD平面BCD,则MO平面BCD,所以MOAB,点A,B,O,M共面.延长AM,BO相交于点E,则AEB就是AM与平面BCD所成的角.,典例导学,即时检测,一,二,三,(2)CE是平面ACM与平面BCD的交线. 由(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形. 作BFEC于点F,连结AF,则AFEC,AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为. 因为BCE=120, 所以BCF=60.,典例导学,即时检测,一,二,三,1.如图所示,平面内有一以AB为直径的圆,PA平面,点C在圆周上移动(不与A,B重合),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,下列结论: AED是二面角A-PB-C的平面角; ACD是二面角P-BC-A的平面角; EDA是二面角A-PC-B的平面角; BAC是二面角B-PA-C的平面角; PAC是二面角P-AB-C的平面角. 其中正确结论的序号是 .,典例导学,即时检测,一,二,三,解析：AB为圆的直径,BCAC. PA平面,BCPA. BC平面PAC. BCPC,BCAD. ADPC,AD平面PBC. ADDE,ADPB. AEPB,PB平面ADE. 成立;成立;不成立;成立;不成立. 答案：,典例导学,即时检测,一,二,三,2.如图,二面角-l-的大小是60,线段AB,Bl,AB与l所成角为30,则AB与平面所成角的正弦值是 . (导学号51800044),典例导学,即时检测,一,二,三,解析：如图所示,设AO,O为垂足,连结BO,则ABO即为AB与平面所成的角,在内过A作ACl于C点,连结OC,则ACO为二面角-l-的平面角,ACO=60.,典例导学,即时检测,一,二,三,找二面角的平面角的方法 1.垂面法:由二面角的平面角的定义,只需作与棱垂直的平面,则该平面与两半平面所成交线构成的角就是二面角的平面角. 2.平移法:先分别在两半平面内找一条垂直于棱的射线,然后平移到一起,找到二面角的平面角.,典例导学,1,2,3,4,5,即时检测,1.如图,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列说法中正确的是( ) 平面ABC平面ABD 平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDE 平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE A. B. C. D.都不正确,典例导学,1,2,3,4,5,即时检测,解析：由题意知:ACDE,ACBE, AC平面BDE, 又AC平面ABC,AC平面ADC, 平面ABC平面BDE,平面ADC平面BDE. 答案：B,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,2.下列说法中正确的个数是( ) 两平面平行,夹在两平面间的平行线段相等 两平面平行,夹在两平面间的相等的线段平行 如果一条直线和两个平行平面中的一个平行,那么它和另一个平面也平行 两平行直线被两平行平面截得的线段相等 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：和正确;夹在两平行平面间的平行线段一定相等,但相等的线段不一定平行,故不正确;若,a,则a或a,故不正确. 答案：B,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,3.下列命题中错误的是( ) A.若一条直线垂直于一个平面,则此直线必垂直于这个平面内所有的直线 B.若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 C.若一条直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线必平行于这个平面 D.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它也和这条斜线垂直 解析：A中,由线面垂直的定义可知此命题正确;B中,由面面垂直的判定定理知此命题正确;C中,由于一条直线垂直于一个平面的一条垂线时,此直线可能平行于这个平面,也可能在这个平面内,故此命题是错误的;D中,由线面垂直关系可得出线线垂直,故D正确. 答案：C,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,4.在空间,下列命题正确的序号是 . 平行直线的平行投影重合 平行于同一直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两个平面平行 垂直于同一平面的两条直线平行 解析：对于,平行直线的平行投影也可能平行,故不正确;对于,平行于同一直线的两个平面也可能相交,故不正确;垂直于同一平面的两个平面也可能相交,故不正确.由线面垂直的性质定理知正确. 答案：,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,BC=4,点D是AB的中点, (导学号51800045) (1)求证:ACBC1; (2)