charpt14静电场的高斯定理.ppt

第三节：静电场的高斯定理及其应用,高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855),电场线（电力线） (electric line of force),电场线（假想曲线）在电场中描绘一曲线，使曲线上每一点的切线方向与该点的场强方向一致； 某点的曲线疏密程度表示电场强度的大小。,电力线的性质：,(1)它起始于正电荷（无穷远）终止于负电荷（无穷远）。力线不会在没有电荷的地方中断。 (2)在无电荷处电力线不会相交。（单值） (3) 若带电体中正负电荷一样多,则由正电荷发出的力线全部终止于负电荷。 (4)静电场的电力线不会形成闭合曲线。,有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之,流速场,问题：在上述两种情况中，单位时间内流过面元的流体 量相同否？,通量：单位时间内通过某个面的流体体积。,通量：,通量定义：,电通量,通过任一面元的电场线的条数称为通过这一面元的电通量。,面元在垂直于场强方向的投影是 ，,面元电通量：,所以通过它的电通量等于面元 的电通量, 又因,【约定】： 一般的面元，面法向量指向凸的一侧； 封闭面外法线为正，则,e 为正(出)；,A点, 90 0,B点, 90 0,e 为负(入)。,【例如】：,线穿出闭面通量为正；,线穿入闭面通量为负。,平面角与立体角,平面角定义：,即：固定的两个半径之间的张角不变，与半径长度无关。,立体角,锥体张角,一般封闭曲面的 立体角为4p,任意曲面同样可以定义立体角,三. 高斯定理,穿过以点电荷 q 为中心 的球面的电通量,如图, 设球面 S 的半径 为 r，S 面上各处,首先讨论穿过闭合曲面 的通量。,穿过闭面S 的 通量等于闭面包围的电荷除以0,处处沿 S 面法向，,即,穿过包围点电荷 q 任意闭面的电通量,在闭面S 内作一以 q为中心的任意半径的球面S”。,由1. 的结论可知，穿过S” 的电通量为 q/0 ，,元立体角d 内的电通量为,将d 锥面延长，在闭面S 上截出一面元dS,设dS与q距离r， 与 的夹角，则穿过dS 的电通量,而,故,则,同样，,同S”处,穿过闭面S 的 通量等于闭面包围的电荷除以0,穿过不包围点电荷任意闭面的电通量,由,得,则,穿过闭面S 的 通量等于闭面包围的电荷除以0,仍然，,同上方法，,电力线重复多次穿过曲面， 在曲面内净通量仍为零。,综上,穿过包围多个点电荷闭面的电通量,设闭面包围m 个点电荷,闭面上处处有,法向分量,或,即,则,或,穿过闭面S 的 通量等于闭面包围的电荷的代数和除以0,高斯定理：,其中，V是闭面S 所包围的空间。,或,由格林公式, 的散度，有源,可得,静电场中穿过任一闭面的 通量等于闭面内电荷的代数和除以真空的介电常数0,微分关系式,【讨论】：,静电场是有源场； （保守力场，有势场，无旋场） 高斯定理建立了场和场源的联系，即场强对封闭面的通量与场源的联系，电荷是源。 电力线的单值性，可以证明静电场为保守力场 电力线不闭合，说明静电场无旋度,2.高斯定理中的场强是由全部电荷产生的。 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷， 闭合曲面外的电荷对电通量贡献为零。 高斯定理将电荷分为高斯面外、面内，没有正好 处于高斯面上的点电荷，点电荷是个相对概念， 若高斯面恰好跨过一个带电体，由于高斯面没有 厚度，则该带电体将被分成高斯面外的部分以及 高斯面内的部分。,高斯定理与库仑定律的关系： 高斯定理由库仑定律推出： （反之，不行） 若,则,即,这样，高斯定理不成立。,高斯定理比库仑定律更普适 高斯定理虽然有库仑定律推导出，但适用范围 不只局限于静电场。 库仑定律是因为静电场中点电荷具有径向性、 球对称性，以及作用满足平方反比律。 运动电荷由于在运动方向上的特殊性，电场的 球对称性被破坏，匀速运动的点电荷场为：,仍满足高斯定理,高斯定律的用途：,(1)当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定律求 出该电荷系统的电场的分布。比用电场叠加法简便。,(2)当已知场强分布时，可用高斯定律求出任一区域 的电荷、电位分布。,(3)开文迪许就是用高斯定律来证明库仑定律的平方 反比关系的。这说明它们不是相互独立的定律，而 是用不同形式表示的电场与场源电荷关系的同一客 观规律。,【例 】：求点电荷q 的场强。,【解】：设任一点P 至电荷距离为r ，以电荷为中心、 r 为半径 作球面S，则P点在S上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过 高斯面S 的电通量,四. 高斯定理的应用,【例 】：均匀薄球壳面电荷的场强分布。,设球面外任一点P 至球心r ，以 r 为半径作同心球面S1，则P点 在S1上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面S1 的 电通量,根据高斯定理,比较两式得,或,【解】：设球面电荷半径为R ，电量q沿球面均布。,与位于球心的点电荷q 的场相同。,设球面内任一点Q至球心r,根据高斯定理,比较两式得,以 r 为半径作同心球面S2，则Q点在S2上。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面S2 的电通量,综上,【例 】：均匀球体电荷的场强分布。,设球体外任一点P 至球心r ，以 r 为半径作同心球面S1，则P点在S1上。,由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面S1 的电通量,根据高斯定理,比较两式得,或,【解】：设球体电荷半径为R ，电量q沿球体均布。,同位于中心的点电荷q 的场。,设球体内任一点Q至球心r ，,由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面S2 的电通量,根据高斯定理,以 r 为半径作同心 球面S2，则Q点在S2上。,综上,比较两式得,【讨论】：,高斯面的选取；(对称，过P 点） 对称分析；（E 为常量，cos 为常量） 同类问题：多重球面、球壳、球体电荷，电荷非均匀分布等； 不同心球形电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解； 特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。,【例 】：均匀长直细棒电荷线密度为 , 求其场强分布。,【解】：设任一点P 至电荷的距离为r ，以电荷为轴、半径为r 作圆柱面S，柱高 l，,由于静电场的分布是轴对称的，,所以穿过高斯面S 的电通量,根据高斯定理,此法对有限长直导线无效。,【例 】：均匀长圆柱面电荷的电场分布。,设圆柱面电荷面密度 为常量，柱面半径为R。,【解】：,设圆柱面电荷外任一点P 至圆柱面轴线的距离为r ，,据高斯定理,比较得,，方向沿径向。,作半径为 r 的同轴圆柱面S1，侧面过P点，柱高 l。,设S1 侧面场强大小为E1，方向沿径向，类似例 1 分析可得,设圆柱面内任一点Q至圆柱面轴线的距离为r ，,作半径为 r 的同轴圆柱面S2，侧面过Q点，柱高 l。,设S2 侧面场强大小为E2，方向沿径向，类似例 1 分析可得,据高斯定理,所以,综上,【例 】：均匀长圆柱体电荷的电场分布。,设圆柱电荷体密度 为常量，柱面半径为R。,【解】：,设圆柱体电荷外任一点P 至圆柱体轴线的距离为r ，,作半径为 r 的同轴圆柱面S1，侧面过P点，柱高 l。,设S1 侧面场强大小为E1，方向沿径向，可得,据高斯定理,比较得,，方向沿径向。,设圆柱体内任一点Q至圆柱体轴线的距离为r ，,作半径为 r 的同轴圆柱面S2，侧面过Q点，柱高 l。,设S2 侧面场强大小为E2，方向沿径向，类似上例 分析可得,据高斯定理,所以,综上,【讨论】：,高斯面的选取；(P 点在端面行吗？） 对称分析；（有限长直电荷行吗？） 同类问题：多重圆柱面、体电荷，电荷非均匀分布等； 不同轴长直电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解； 特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。,k 是常量,多重圆柱形,非均匀圆柱体,补偿法,由高斯定理,【例 】：均匀无限大平面电荷场强的分布。,【解】：设电荷面密度 为常量，任一点P 至电荷的距离为r ， 取高斯面为垂直并对称于电荷平面，横截面积 S，则端面S1 过P 点。,由对称分析可得,比较得,，方向垂直向外。,无限大平面电荷的电场与到电荷平面的距离无关，是匀强电场。,【讨论】：,高斯面的选取；(P 点在侧面上行吗？非圆柱面行吗？） 对称分析；（平面两侧柱高相等必要吗？） 同类问题：多重平面、平板电荷，电荷非均匀分布等；,【例】实验测得，在靠近地面处电场强度 E1=100 N/C,垂直地面向下，在离地面1.5km处，电场强度 E2=25 N/C,也垂直地面向下。求： （1）计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度r， （2）若地球上的电荷全部分布在地球表面，求地球上的 电荷面密度s。,（2）取跨过地面的柱体高斯面。 电荷全部分布于地表面，则球壳 内电场为=0。 由高斯定理：,【解2】分别作地表附近和在1.5km 处的两个球形高斯面，得到,作业： 第一章：9， 12， 13题,高斯是德国数学家 ，也是科学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。 高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大， 可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列， 有“数学王子”之称。 他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格丁根大学学习。第二年他就发现正十七 边形的尺规作图法。并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未 决的问题。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等 方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明 了最小二乘法原理。高理的数论研究总结在算术研究（1801）中，这本书奠定了近代 数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。 高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理， 他的存在性证明开创了数学研究的新途 径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本 概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，但这些工作在他生前都 没发表出来。1828年高斯出版了关于曲面的一般研究，全面系统地阐述了空间曲面的 微分几何 学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表 155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著 作还有地磁概念和论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律等。,1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧。那年的元旦，有一个后来被证认 为小行星并被命名为谷神星的天体被发现当时它好像在向太阳靠近，天文 学家虽然有40 天的时间可以观察它，但还不能计算出它的轨道。高斯只作了3次观测就提出了一种计算 轨道参数的方法，而且达到的精确度使得天文学家在 1801年末和1802年初