《ch气动力论》PPT课件.ppt

Chapter 7,Kinetic Theory of Gas molecular,Introduction,研究内容、方法及特点 ：,描写热力学性质的宏观量,描写分子运动的微观量,关 系,统计理论,分子运动论的基本观点,1. 分子之间有空隙,例： 水和酒精的混合,2. 分子永不停息的热运动,例：扩散、布朗运动,1.揭示了宏观量的微观本质.,2.说理深刻,与热力学相辅相成.,3. 分子间存在相互作用力,分子力表现为斥力,分子力表现为引力,(分子力与分子间距离的关系),4. 理想气体的微观模型,(1) 分子可看作质点.,(2) 除碰撞的瞬间外，分子间相互作用力可忽略不计。,(3) 分子间的碰撞为完全弹性碰撞.,7.1 热力学系统的统计规律,热力学系统计规律的基础,系统内单个分子运动行为具有偶然性、随机性。,热运动分子的数目十分巨大。,大量的偶然性导致必然性,1. 统计概率与统计平均值,统计概率：,设某一物理量取值具有随机性，对该量进行了N次测定,测到取某值A的次数为NA 次，于是，得到统计意义上的一个比值：,(2)当N足够大时，该比值接近一个固定值.,(1)当实验次数较小时，各次实验测定的比值不稳定（例）.,理论上，,定义：统计概率：,12秒以下0次; 14秒以上2次;12秒13秒4800次;13秒14秒5198次.问刘翔跑进12秒内与14秒外的统计概率是多少?,(实际上足够大)该比值趋近一确定值,例:,对刘翔110米跨栏成绩进行了N=10000次的实验测定,得 到的统计结果为:,（2）N的双重意义,说明,（1）各种可能取值的概率之和等于1(归一化条件条件),对某一对象中的一个随机性物理量的N次测量等价于对N个同样对象一次性同时测量（例）.,于是:,例：,对容器中的N个氮气分子中一给定A分子热运动速率在标准状态下进行了N次测量，测得出现速率为i的次数是Ni次，容器中出现热运动速率为i的分子数目的概率是多少？,由统计概率定义可得:,解：平衡状态下，由于分子间的频繁碰撞，每个分子 将出现一系列各种可能的热运动速率：,等价的.平衡状态下，由于分子间的频繁碰撞，个分子将具有一系列不同热运动速率：,由：, 统计平均值,3.98 3.96 3.99 3.97 3.92 3.93 3.94 3.91 4.00 3.90(m),例1：对篮球运动员易建联的原地跳起摸高进行了10次测量，测量数据如下：,求其10次摸高的统计平均值？,解：,例2：对易建联摸高又进行了10次测量，测量数据如下：,3.98 3.96 3.98 3.96 3.95 3.93 3.95 3.96 3.98 3.96 (m),求这10次摸高的统计平均值？,解：,定义：物理量M 的统计平均值 ：,用Ni 表示测量值 Mi 的重复出现次数,M1， M2 M n,一般的， 设对一随机性物理量M 进行N 次测量，得：,显然：,由：,M的统计平均值等于其各种测量值与其出现的概率乘积之和.,（1）由N双重意义，统计平均值也可如下定义：,说明：,（2）统计平均值与算术平均值,统计平均值:,随机性事件,足够大的数目N,算术平均值:,必然性事件,适量数目n。,设对由N 个元素组成的系统中某中随机性物理量，测得同时出现一系列值：,M1， M2 M n,用Ni 表示取值为 Mi 的元素数目,定义：,例1：求平衡态下容器中气体分子速率平方的统计平均值与速 度直角坐标投影值的平方的统计平均值的关系。,解：设系统总粒子数为N，具有速率为i的粒子数为Ni。,由i对应粒子数Ni,(i)2对应的粒子数为Ni,由统计平均值定义可得：,因：,显然：,故：,例2：写出平衡态下气体分子速度投影值的统计平均值式,气体处于平衡状态时，气体分子沿坐标正方向和负方向运动的概率相等，故有 ：,设具有速度为 分子数目为,解：, ,2. 统计规律的特征,例：伽耳顿板实验,若无小钉：必然事件,若有小钉：偶然事件,实验现象：,少量小球的分布每次不同，大量小球分布近似相同,(1) 大量偶然事件的总体所遵从的规律,(2) 统计规律和涨落现象是分不开的。,实际观值测与统计平均值的偏离,说明,涨落值随N增加而减小，热力学系统的宏观测量值稳定在统计平均值上，无明显涨落现象。,单个分子运动的动力学规律与群体分子运动的统计规律,统计规律是对大量偶然事件的整体起作用的规律，它表现了这些事物整体的本质和必然联系，在这里个别事物的特征和偶然联系退居于次要地位。需要指出的是，这里所说的个别事物的偶然性是相对于大量事物整体的统计规律而言的，这并不意味着偶然性是无原因的。一切偶然性都有自己的原因。例如，在平衡态下，在某一时刻，某个分子朝那个方向运动，速率是多大，何时发生碰撞，这一切都是由动力学规律所决定的。事实上，统计规律正是以动力学规律为基础的，统计规律不能脱粒由动力学规律所决定的个别事物而存在。没有个别分子的运动，就谈不上热力学系统的统计规律。正如恩格斯所说：“被断定为必然的东西，是由纯粹的偶然性构成的，而所谓偶然的东西，是一种必然性隐藏在里面的形式”。,有人试图把统计规律归结为动力学规律，试图把热现象看成为机械运动的总和。他们认为，人们所以有必要研究统计规律，是由于无法得到过程细节的全部知识。例如，他们无法得到描述各个微观粒子的数量极大的运动方程。由于这种观点，他们把统计规律看成消极的，是对客观事物不能“精确”研究而感到无能为力的情况下所采取的“近似”方法 。显然，这种观点是极不正确的。 每一个别粒子的运动固然是由动力学规律所制约的，但是当体系中包含的粒子数目极多时，就导致了在性质上全新的运动形态出现，在这里运动形态发生了从量到质的飞跃。在“大数量”现象中出现的这种新现象，其重要的特点就是在宏观条件下的稳定性，这是由统计规律所制约的。 应当指出，动力学规律并不能说明因果力学的一切形式，而统计规律所控制的范围绝不是动力学规律所能包括的。即使由可能从动力学规律得知大量粒子中的每个的运动情况，仍不能看到在“大数量”条件下出现的事物最重要的联系，由此可见，,在“大数量”现象中研究统计规律的必要性，决不是由于我们对细节知识的缺乏，而是因为在这种情况下统计规律反映了事物的本质的、主要的联系。,7.2 理想气体的压强与温度公式,1. 平衡态气体分子的统计性假设,(1) 分子热运动速度可取一系列值，且通过碰撞不断发生变化.,(2) 在忽略重力情况下，分子按位置的均匀分布。于是:,(3) 分子向各方向运动的概率相同，所以：,2. 气体压强的形成微观机理,气体的压强是由大量分子在和器壁不断碰撞的结果，分子对器壁的作用力宏观上表现持续作用力。,压强,一、 压强公式：,3. 理想气体的压强公式,设容器体积为V ，分子总数为 N，,（2）在dt时间内，速度为i的分子与面元S碰撞的分子数为,设速度为 的分子数为,S,则分子数密度：,则 的分子数密度为：,考察分子和面元S的碰撞,（1） 速度为i的一个分子与面元S 碰撞一次给面元的冲量,由压强定义得：,(4) 在d t 时间内，与面元S 碰撞的所有分子给予的冲量为,(3) d t 时间内，能够与面元S 碰撞的速度为 所有分子给,该面元冲量为：,反映了宏观量压强与微观量分子的热运动动能的关系.,物理意义,揭示了宏观量来源于微观量的统计平均值.,二、温度公式,分子热运动是产生温度的本质，温度是分子平均平动能的标志,说明,(2) 在相同的温度和压强下，各种气体的分子数密度相等。,玻耳兹曼常量,理想气体公式,温度,(4) 温度是统计概念，是大量分子热运动的集体表现。,(1) 分子热运动的平均平动能只与温度有关，与气体的种类无关.,例：试证明道尔顿分压定律,设几种气体贮于一密闭容器中，并处于平衡态，且分子数密度分别为 n1 、n2 、 n3 ， 则,混合气体的分子数密度为,混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。,温度相同,于是,有一容积为10cm3 的电子管，当温度为300K时用真空泵抽成高真空，使管内压强为510-6 mmHg。,(1) 此时管内气体分子的数目； (2) 这些分子的总平动动能。,解,例,求,(1) 由理想气体状态方程得,(2) 每个分子平均平动动能,N 个分子总平动动能为,一容积为 V=1.0m3 的容器内装有 N1=1.01024 个 氧分子N2=3.01024 个氮分子的混合气体， 混合气体的压强 p =2.58104 Pa。,(1) 由压强公式有:,例,求,(1) 分子的平均平动动能；,解,(2) 由理想气体的状态方程得,(2) 混合气体的温度,7.4 能均分定理,确定一个物体在空间位置所需要独立坐标的数目。, 单原子分子的运动自由度：,i = 3,（空间运动）,i = 2,i = 1,（平面运动）,（直线运动）, 双原子分子的运动自由度：,刚性双原子分子模型: 两个原子质点刚性连接。,实质：两原子间无相对运动。,1 自由度,主题:内能和自由度的关系,抽象为一有质量的几何直线。,非刚性双原子分子模型：,绕轴转动,自由运动,两原子之间弹性连接。,实质：由于原子的振动产生了原子间的相对距离变化。,刚性双原子的自由运动：,质心平动,绕质心转动,+,=,（例：滚动）,质心平动：（x c , y c , z c ),转动：确定两原子连线方向的方向角。,因:,自由运动,非刚性双原子的自由运动：,质心平动,绕质心转动,+,=,质心平动：（x c , y c , z c ),原子相对运动,+,饶质心转动：,相对运动动：, 刚性多原子分子的运动自由度：,质心平动,绕质心转动,+,=,质心平动：（x c , y c , z c ),自由度,确定瞬时转轴的方向( , ),结论,常温下的分子自由度为（不考虑振动）：,绕质心转动：,确定相对于瞬时转轴的转动(),自由度,平动动能,转动动能,振动动能和振动势能,2. 自由度上的能量：,3. 能均分定理,理想气体分子的平均平动动能为,玻耳兹曼假设：,每个自由度上的能量具有相同的值，其大小为：,既：,1mol 理想气体的内能为,mol 理想气体的内能为,结论,理想气体内能只与温度有关，与实验观测结果是一致的。,3. 理想气体的内能,理想气体：,不考虑分子间相互作用的势能,常温下可忽略原子的振动,内能：,系统中所有分子（热运动）能量之和,一容器内某理想气体的温度为273K，密度为= 1.25 g/m3， 压强为 p = 1.010-3 atm,(1) 气体的摩尔质量，是何种气体？ (2) 单位体积内气体分子的总平动动能？ (3) 设该气体有0.3 mol，气体的内能？,解,例,求,由结果可知，这是N2 或CO 气体。,(1) 由 ，有,(2) 单位体积内气体分子的总平动动能为,(3) 由气体的内能公式，有,定压摩尔热容,比热容比,定体摩尔热容,4. 理想气体的摩尔热容,由,据,说明,能均分定理的局限性,几种双原子分子在0时的等体摩尔热容,氢气在不同温度下的等体摩尔热容,1. 分布的概念,在平衡态下，分子处于某个热运动速率的概率确定。因此，,例：,7.5 麦克斯韦速率分布定律,分布在某种速率(速率区间)的分子数目是确定的,且有一个稳定的分布规律。,Ni表示了分子数按速率的分布情况。,2.速率分布函数 f(v),平衡态下，考虑vv+ dv 速率区间有：,(速率分布函数),宏观小，微观大,Ni/N表示了分子分布于速率vivi+ v区间的几率。,说明：,物理意义：,麦斯速率分布函数,表示了分子处于速率v 附近的单位速率区间的概率。,3. 速率分布曲线：,麦克斯韦速率分布律,T,( 由分布函数绘制的速率分布曲线 ), 反映了分子数按速率的分布的规律：,速率很小、速率很大的分子 数占很少。,(1) 曲线特征:,T,f(v) 出现极大值时对应的速率称为最概然速率（正态分布函数）,最概然速率v p,v,在dv 间隔内,曲线下的面积表示速 率分布在vv+ dv 中的分子数与 总分子数的比率. （概率）,vdv,在v1v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间的 分子数与总分子数的比率. （概率）,v1,v2,T,(2) 曲线的物理意义:,曲线下面的总面积为1,(归一化条件),4. 气体速率分布的实验测定,（1）. 实验装置,（2）. 测量原理,能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件:,（Miller-Kusch experiment.1956),经过细槽时间,细槽右端转斜角的时间,=,细槽的宽度，决定速率区间大小。,沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数,通过改变角速度的大小，选择速率v,（3）. 测量结果,T,v,O,dv,实验结果与理论值相符合。,以处单位速率区间沉积厚度和总沉积厚度的比值作条形图,5. 三种统计速率及其意义,（1）. 平均速率, 令：,利用已有的积分公式,说明,平均速率可反映平衡态下分子碰撞的剧烈程度,思考：,是否表示在 区间内的平均速率 ？,例：,为速率分布函数，则 在区间内平均速率为：,（3）. 最概然速率,（2）. 方均根速率,利用已有的积分公式,说明,方均根速率可反映宏观参量P、T的大小,由:,（与麦斯函数的结果相同),反映了单个分子最可能出现的一种速率，或具有相对最多分子数的一种速率,T,讨论,(1) 三种速率的大小关系:,(2) 不同气体, 不同温度下的 速率分布曲线的关系,T1,T2( T1), 给定时：,f (p) 值减小,T,v p,曲线右移,曲线变化平坦, T 给定时：,1,2( 1),f (p) 值增大,v p,曲线左移,曲线变化急剧,6.气体分子按平动动能的分布规律,由麦克斯韦速率分布定律：,上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在 + 区间内的分子数与总分子数的比率。,意义：,代入上式得：,说明,最概然速率对应的动能不等于最概然平动能。,两边微分,由:,最概然速率对应的动能:,最概然平动能:,得:,有N 个粒子，其速率分布函数为,(1) 作速率分布曲线并求常数 a (2) 速率大于v0 和速率小于v0 的粒子数,解,例,求,(1) 由归一化条件得,(2) 因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以,因此，vv0 的分子数为 ( 2N/3 )；vv0 的分子数为 ( N/3 ),的分子数与总分子数的比率为,课堂练习：,试说明下列各试的物理意义：,金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率在vv+dv 之间的几率为 式中A 为常数,解,例,求,该电子气的平均速率（同学作）,因为仅在（0 ，vm）区间分布有电子，所以,根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率 vpvp+v 区间内的分子数与温度 成反比( 设v 很小),例,证,由,根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。,根据平均值的定义，速率倒数的平均值为,解,例,（同学试作）,7.6 玻耳兹曼分布律,1. 重力场中粒子按高度的分布,在重力场中，分子密度按高度如何分布呢？,问题：,(非均匀的稳定分布),平衡态下温度处处 相同，压强为：,h,h+dh,在重力场中，分子密度按能量如何分布呢？,（1）在重力场中，粒子数密度随高度增加而指数式减小。,结论,（3） 越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。,（2）重力场中，等温条件下压强随高度增大指数式减小。,重力场中等温压强公式,2. 玻耳兹曼分布律,平衡态下，位于体元 xx+dx ，yy+dy ， zz+dz 中的分子数为：,说明重力场中粒子按势能的分布方式,式中p 是位于（x、y、z）处分子的势能,玻耳兹曼分布律,3. 麦克斯韦玻耳兹曼分布律,说明分子数按能量的分布规律,按势能分布,按动能分布,麦氏玻耳兹曼分布律,其中:,物理意义:,系统在重力场中处于热平衡时，位置介于：,且同时速度介于：,的分子数目。,根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于xx+dx ， yy+dy ， zz+dz 区间内，具有各种速度的分子数为,取z 轴垂直向上，地面处 z=0， 可得,在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体 中分子数为N 。设大气的温度为T ，空气分子的质量 。 就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0,解,例,解得,拉萨海拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变 化。当海平面上的气压为1.013105 Pa 时，,设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次,(1) 拉萨的大气压强； (2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少 次才能吸入同样的质量的空气。M=2910-3 kg/mol,解,例,求,则有,7.7 平均碰撞频率与平均自由程,一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为分子的 平均碰撞频率。,1. 分子的平均碰撞频率,从统计的角度看，碰撞频繁程度取决于什么因素?,？,分子碰撞,设：,分子的有效直径为d,现考察一个特定分子A 以和其它分子的碰撞,设A分子平均相对速率为,其它分子视为静止,单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为,平均碰撞频率为,考虑到所有分子实际上都在运动，则有,横向距离,估算氢气分子在标准状态下的平均碰撞频率,常温常压下，一个分子在一秒内平均要碰撞几十亿次，可见气体分子之间的碰撞是多么的频繁！,解,例,在标准状态下，有:,对氢气分子取 ，则,作业: P105 12.1 12.2 12.6 12.7,分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程 。,2. 分子的平均自由程,用宏观量 p 、T 表示的分子平均自由程为,自由程,自由程,估算氢气分子在标准状态下的平均自由程,常温常压下，分子平均自由行走的路程仅有万分之一毫米。,解,例,在标准状态下，有：,对氢气分子取 ，则 ：,玻耳兹曼,玻耳兹曼1844年2月20日生于奥地利首都维也纳。从小勤奋好学，在维也纳大学毕业后，曾获得牛津大学理学博士学位。 1867年，玻耳兹曼到维也纳物理研究所当斯忒藩的助手。1869年起先后在格拉茨大学、维也纳大学、慕尼黑大学和莱比锡大学任教并被伦敦、巴黎、柏林、彼得堡等科学院吸收为会员。,玻耳兹曼是分子运动论的主要奠基人，他提出了能均分定理，建立了关于H函数的积分方程，第一次用统计物理的微观理论证明了宏观过程的不可逆性或方向性。1877年，玻耳兹曼提出了把熵和热力学概率联系起来，引进了玻耳兹曼熵公式。,在众多的非难和攻击面前，玻耳兹曼清醒的认识到自己是正确地，他一方面坚持自己的理论，一方面批驳人们对他的理论的错误理解。他说：“我坚持认为攻击是对它的错误理解以及它的意义目前还没有完全显现出来”。,定原子分子德存在，对玻耳兹曼建立的H理论大肆攻击。甚至连支持分子运动论的洛喜密特对H理论也提出了批驳。,玻耳兹曼于1906年9月5日在意大利的一所海滨旅馆自杀身亡。有人认为，长期受到攻击的境遇是他自杀的原因之一。真理是不会被人遗忘的，人们为了纪念这位杰出的科学家，为他竖立起了一座宏大的墓碑。他的一系列理论现在被不断的学习与应用。,玻耳兹曼在热学领域的一些理论，在当时受到了一些著名学 者的攻击。著名学者马赫和唯能论者奥斯特瓦德根本否,统计规律的基本特征是现象。涨落现象指的是 值与统计平均值之间的偏。,两种不同分子质量的理想气体，若在平衡态它们具有相同的温度与压强，则两者分子的平均平动能 同；分子数密度 同。,平衡态下，