(好资料)《复变函数》考试试题库

复变函数试题库 复变函数考试试题（一） 复变函数试题库 复变函数考试试题（一） 一、判断题（20 分） ： 1.若 f(z)在 z0的某个邻域内可导，则函数 f(z)在 z0解析.() 2.有界整函数必在整个复平面为常数.() 3.若 n z 收敛，则 Re n z 与 Im n z 都收敛.() 4.若 f(z)在区域 D 内解析，且 0)( zf ，则 Czf)( （常数）.() 5.若函数 f(z)在 z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.() 6.若 z0是 )(zf 的 m 阶零点，则 z0是 1/ )(zf 的 m 阶极点.() 7.若 )(lim 0 zf zz 存在且有限，则 z0是函数 f(z)的可去奇点.() 8.若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则 )(0)(Dzzf .() 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D内任一简单闭曲线C0)(= C dzzf. () 10.若函数 f(z)在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数.（） 二.填空题（20 分） 1、 = =1| 0 0)( zz n zz dz _.（n为自然数） 2. =+zz 22 cossin _. 3.函数 zsin 的周期为_. 4.设 1 1 )( 2 + = z zf ，则 )(zf 的孤立奇点有_. 5.幂级数 0 n n nz = 的收敛半径为_. 6.若函数 f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_. 7.若 = n n zlim ，则 = + n zzz n n . lim 21 _. 8. =) 0 , (Re n z z e s _，其中 n 为自然数. 9. z zsin 的孤立奇点为_. 10.若 0 z 是 )(zf 的极点，则 _)(lim 0 = zf zz . 三.计算题（40 分） ： 1. 设 )2)(1( 1 )( = zz zf ，求 )(zf 在 1|0:0，则z0是)(zf的_零点. 6.函数ez的周期为_. 7.方程0832 35 =+zzz在单位圆内的零点个数为_. 8.设 2 1 1 )( z zf + =，则)(zf的孤立奇点有_. 9.函数|)(zzf=的不解析点之集为_. 10._) 1 , 1 (Res 4 = z z . 三. 计算题. (40 分) 1.求函数 )2sin( 3 z 的幂级数展开式. 2.在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支， 并求它在上半虚轴左沿的点及右 沿的点iz=处的值. 3.计算积分： = i i zzId|，积分路径为（1）单位圆（1|=z） 的右半圆. 4. 求 dz z z z = 2 2 ) 2 ( sin . 四. 证明题. (20 分) 1.设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是)(zf在 D内解析. 2.试用儒歇定理证明代数基本定理. 复变函数考试试题复变函数考试试题（三）（三） 一. 判断题. (20 分). 1.cosz与 sinz的周期均为k2.() 2.若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析.() 3.若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续.() 4.若数列 n z收敛，则Re n z与Im n z都收敛.() 5.若函数f(z)是区域D内解析且在D内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区 域D内为常数.() 6.若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.() 7.如果函数f(z)在1|:|=zzD上解析,且)1|(|1| )(|=zzf,则 ) 1|(|1|)(|zzf.（） 8.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. () 9.若z0是)(zf的m阶零点, 则z0是 1/)(zf的m阶极点.() 10. 若 0 z是)(zf的可去奇点，则0),(Res 0 =zzf.() 二. 填空题. (20 分) 1.设 1 1 )( 2 + = z zf，则f(z)的定义域为_. 2.函数e z的周期为_. 3.若 n n n i n n z) 1 1( 1 2 + + =，则= n z n lim_. 4.=+zz 22 cossin_. 5. = =1| 0 0)( zz n zz dz _.（n为自然数） 6.幂级数 =0n n nx的收敛半径为_. 7.设 1 1 )( 2 + = z zf ，则f(z)的孤立奇点有_. 8.设1= z e，则_=z. 9.若 0 z是)(zf的极点，则_)(lim 0 = zf zz . 10._) 0 , (Res= n z z e . 三. 计算题. (40 分) 1.将函数 1 2 ( ) z f zz e=在圆环域0z，则 0 z是( )fz的_零点. 7.若函数( )f z在整个复平面处处解析，则称它是_. 8.函数( )f zz=的不解析点之集为_. 9.方程 53 2380zzz+=在单位圆内的零点个数为_. 10. 公式cossin ix exix=+称为_. 三、计算题（30 分） 1、 2 lim 6 n n i . 2、设 2 371 ( ) C f zd z + = ，其中 :3Czz=，试求(1)fi+. 3、设 2 ( ) 1 z e f z z = + ，求Re ( ( ), )s f z i. 4、求函数 3 6 sinz z 在0z，则 0 z是( )fz的_零点. 7.若函数( )f z在整个复平面处处解析，则称它是_. 8.函数( )f zz=的不解析点之集为_. 9.方程 83 3380zzz+=在单位圆内的零点个数为_. 10.Re (,0) z n e s z =_. 三、计算题（30 分） 1、 求 22 11 22 ii+ + . 2、 设 2 371 ( ) C f zd z + = ，其中 :3Czz=，试求(1)fi+. 3、设 2 ( ) z e f z z =，求Re ( ( ),0)s f z. 4、求函数 (1)(1) z zz+ 在12z. 四、证明题（20 分） 1、方程 7633 249610zzzz+ =在单位圆内的根的个数为 7. 2、若函数( )( , )( , )f zu x yiv x y=+在区域D内解析，( )f z等于常数，则( )f z在D恒等 于常数. 3、 若 0 z是( )f z的m阶零点，则 0 z是 1 ( )f z 的m阶极点. 五、计算题（10 分） 求一个单叶函数， 去将z平面上的上半单位圆盘 :1,Im0zzz的不同的根为_. 5(1)ii+_. 6级数 2 0 2( 1) n n z = + 的收敛半径为_. 7cosnz在zn，使得对任意的zD，有( )f zM时 ， argarctan y x =+_。 3 若已知 2222 11 ( )(1)(1)f zxiy xyxy =+ + ， 则其关于变量z的表达式为_。 4 n z以z=_为支点。 5若ln 2 zi =，则z=_。 6 1z dz z = = _。 7级数 246 1zzz+的收敛半径为_。 8cosnz在zn + （7 分） 。 4叙述儒歇定理并讨论方程 6 6100zz+=在1z , 当z 在:CzR=上时, 有 11 1110 ( )() nnn nnn za RaRaaaRa R +, 则对一切正整数kn时, ( ) 1 !( )! (0) 2 n k kk zr kf zk Mr fdz zr + = . 于是由r的任意性知对一切kn均有 ( )(0) 0 k f=. 故 0 ( ) n nn k f zc z = =, 即( )f z是一个至多n次多项式或常数. 复变函数考试试题（四）参考答案复变函数考试试题（四）参考答案 一. 判断题. 1 6 10 . 二. 填空题. 1. 1 2 , 1 2 ;2.;3.2()k ikz;4. 2 0 ( 1)(1) nn n zz = =, 故在1z, 则对一切正整数kn时, ( ) 1 !( )! (0) 2 n k kk zr kf zk Mr fdz zr + = . 于是由r的任意性知对一切kn均有 ( )(0) 0 k f=. 故 0 ( ) n nn k f zc z = =, 即( )f z是一个至多n次多项式或常数. 复变函数考试试题（六）参考答案复变函数考试试题（六）参考答案 一、判断题：1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. 二、填空题：1.1ei +2.1z 3.24.15.1 6.1m阶7. 整函数8.9.010.欧拉公式 三、计算题： 1.解：因为 2115 1, 69366 i =+=. 根据儒歇定理，( )f z与( )( )f zz+在单位圆内有相同个数的零点，而( )f z的零点个 数为 6，故 763 9610zzz+ =在单位圆内的根的个数为 6. 2.证明：设( , )v x ya bi=+，则0 xy vv=, 由于( )f zuiv=+在内D解析，因此 ( , )x yD有0 xy uv=,0 yx uv= =. 于是( , )u x ycdi +故( )() ()f za cb d i=+，即( )f z在内D恒为常数. 3.证明：由于 0 z是( )f z的m阶零点，从而可设 0 ( )()( ) m f zzzg z=， 其中( )g z在 0 z的某邻域内解析且 0 ()0g z， 于是 0 111 ( )()( ) m f zzzg z = 由 0 ()0g z可知存在 0 z的某邻域 1 D，在 1 D内恒有( )0g z，因此 1 ( )g z 在内 1 D解析， 故 0 z为 1 ( )f z 的m阶极点. 复变函数考试试题（七）参考答案复变函数考试试题（七）参考答案 一、判断题：1.2. 3. 4.5.6.7. 8. 二、填空题：1.ei2.1z 3.2i4.15.1 6.1m阶 7. 整函数8.9.010. 1 (1)!n 三、计算题： 1. 解： 22 11 ()()0. 22 ii ii + += = 2. 解：123,i+=，故奇点为 2 0 1zaa= 0 2 220 12 4( )4 cos 211 Re z z d f z a aa s = = + . 四、证明题： 1.证明：设 7632 ( )24,( )961,f zzg zzzz=+ 则在1z=上，( )24,( )961 117,f zg z=+ + =即有( )( )f zg z. 根据儒歇定理知在1z. 根据儒歇定理知在1z 当 00 ,xxyy内有两个一级极点 12 3 ,zi zi=， 371 Re ( ( ),3 ), Re ( ( ), ), 4816 ii s f zis f z i + = 因此，根据留数定理有 2 42 2371 2(). 10948166 zzii dzi zz + + = + 四、证明题（四、证明题（20202020 分）分） 1、证明：设 673 ( )9,( )61,f zzzzz=+ 则在1z=上，( )9,( )16 18,f zz= + =即有( )( )f zz. 根据儒歇定理，( )f z与( )( )f zz+在单位圆内有相同个数的零点，而( )f z的零点个 数为 6，故 763 9610zzz+ =在单位圆内的根的个数为 6. 2、证明：设( , )u x yabi=+，则0 xy uu=, 由于( )f zuiv=+在内D解析，因此 ( , )x yD有0 xy uv=,0 yx uv= =. 于是( , )v x ycdi+故( )()()f zacbd i=+，即( )f z在内D恒为常数. 3、证明：由于 0 z是( )f z的m阶零点，从而可设 0 ( )()( ) m f zzzg z=， 其中( )g z在 0 z的某邻域内解析且 0 ()0g z， 于是 0 111 ( )()( ) m f zzzg z = 由 0 ()0g z可知存在 0 z的某邻域 1 D，在 1 D内恒有( )0g z，因此 1 ( )g z 在内 1 D解析， 故 0 z为 1 ( )f z 的m阶极点. 五、计算题（五、计算题（10101010 分）分） 解：1、设, 2 zi =则将区域 :Im 2 zz + += 由Rouche定理知 4 510zz+ =根的个数与50z=根的个数相同. 故 4 510zz+ =在1z+=, 由儒歇定理 742 520zzz+=的根个数与 4 50z=根个数相同 故 742 520zzz+=在1z = 2 222 ()2 x dx xaa + = + 4.儒歇定理：设c是一条围线，( )f z及( )z满足条件： （1）它们在c的内部均解析，且连续到c； （2）在c上，( )( )f zz 则f与f+在c的内部有同样多零点， 即( )10f z= 6 ( )6g zzz=+有( )( )f zg z 由儒歇定理知 6 6100zz+=在1z没有根。 四、证明题 1 证明：.设zxiy=+有( )(cossin ) zx f zeeyiy= ( , )cos ,( , )sin xx u x yeyv x yey= cos ,sin ,sin ,cos xxxx uuvv eyeyeyey xyxy = = = 易知( , )u x y，( , )v x y在任意点都不满足CR条件，故f在复平面上处处不解析。 2.证明：于高阶导数公式得 ( ) 01 ! () 21 z zn ne ed in = = + 即 1 ! 21 z n ne zd in = = + 故 1 1 !21 nz ze d nin = = + 从而 2 :1 1 !2!1 nnz C zze d ninn = = + 复变函数考试试题（十三）参考答案复变函数考试试题（十三）参考答案 一、填空题 （每题分） 1. 1 i e r 2. 0 lim ( , ) xxo yyo u x yu =及 0 lim ( , ) xxo yyo v x yv =3.04. 5.26. 2462 1( 1)n n zzzz+ +7.椭圆 8. 1 (12 ) 2 i+9. 2 (1) 1 24 +10.1 二、计算题 计算下列各题 （分） 解:(1) 1 1 cos() 2 iee=+ (2)ln( 23 )ln23arg( 23 )iiii += + + 13 ln13(arctan) 22 i =+ (3) 3(3)ln3(3)(ln32)3ln3 2(6ln3) 3 iiiikkik eee + + = 2 27cos(ln3)sin(ln3) k ei = 2. 解: 2 333 3 80882 k i i zzee + += =(0,1,2)k= 故 3 80z+=共有三个根: 0 13z= +, 1 2z= , 2 13z= 3. 解: 22 2,2 xy uxyxyuxy uyx=+=+= + 22 22 220 uu u xy += 是调和函数. ( , )( , ) (0,0)(0,0) ( , )()(2)(2) x yx y yx v x yudxu dycyx dxxy dyc=+=+ 00 ()(2) xy x dxxy dyc=+ 22 2 22 xy xyc= + 22 22 1 ( )()(2) 222 xy f zuivxyxyixy=+=+ 2 11 (2) 22 i zi=+ 4. 解 (1) 1 2222 0 15 ()() () 66 c xiy dzxixd xixi+=+= + (2) 111 22 000 ()()(1) i xyix dziy dyxix dx + +=+ 11 (3) 2326 ii i= += + 5. 解:01z时 0 1111 ( )( ) (1)(2)2122 n n n on z f zz zzzz = = + 1 0 1 (1) n n n z z + = = 12z时 11111 ( ) 1 (1)(2)21 2(1)(1) 2 f z z zzzz z z = 0 1 21 n n n on z nz + = = + 6. 解:(1) 2 2 52 2 Re ( ,)4 (1) cz z dzis fi z z = = (2) 2 2 4 sin 2 Re ( ,)0 (1) z z dzis f zz = = 7.解:设 2 4 ( ) 1 z f z z = + 1 2 (1) 2 zi=+和 2 2 ( 1) 2 zi= +为上半平面内的两个一级极点, 且 1 2 1 2 1 Re ( ),lim 24 2 ( 1)() 2 zz zi s f z z i zizi + = + 2 2 2 2 1 Re ( ),lim 24 2 ( 1)() 2 zz zi s f z z i zizi = + 2 4 11 2() 124 24 2 xii dxi xii + + =+= + 8.(1)1R=(2)R= 9. 解:设zxiy=+,则 2 22 ( )f zzxy=+2 ,2 ,0 xyxy ux uy vv= 当且仅当0xy=时,满足CR条件,故( )f z仅在0z=可导,在z平面内处处不解析. 三、 1. 证明:设fu iv=+,因为( )f z为常数,不妨设 22 uvC+=(C为常数) 则0 xy u uv v+ =0 yy u uv v+ = 由于( )f z在D内解析,从而有 xy uv=, yx uv= 将此代入上述两式可得0 xyxy uuvv= 于是 12 ,uC vC因此( )f z在D内为常数. 2. 解:设zxiy=+,aABi=+（A，B为实常数） 则()()()()azABi xiyAxByi AyBx=+=+ 0azazbazazb+=+= 2()0AxByb+= 故0azazb+=的轨迹是直线22)0AxByb+= 复变函数考试试题（十四）参考答案复变函数考试试题（十四）参考答案 一、 1、 ()cossin n rnin+2、() 0 0 0 , lim xx yy u x yu =且 () 0 0 0 , lim xx yy v x yv = 3、04、有限值5、46、 242 1 n zzz+ 7、椭圆8、cossin 22 i + 9、 1i ie + 10、 1 6 二、计算题。 1、解（1）()ln34i + ()() 4 ln5argtan2 3 4 ln5argtan210, 1, 2, 3 in inn =+ =+= （2） 1 6 113 cossin 6622 i i iei ee + =+=+ （3）( ) ()() ()1ln22 1 1ln 1 4 1 iik i ii iee + + + = ln222n2 44 kikl e + = = 2 4 2cosln2sinln2 44 k ei =+ 2、解： 3 22 i ze = = () 2 3 3 20,1,2 n i zen + = 故：方程 3 20z+=共有三个根，分别为： () 3 3 2 13 ,2 2 i 3、解：()2 ,21 xy uy ux= 22 22 0 uu xy = 故u是调和函数。 () () (), 0,0 , x y yx v x yu dxu dyc=+ 4. 解:(1) () 11 22 00 ()() i xyixdzix d xix + +=+ () 3 11 (1)1 033 x iii=+= (2) () 1 2 0 1 ()1 3 i xyixdzi + += 5. 解: ( ) ()