《几何与代数》科学出版社第五章特征值与特征向量2.ppt

,几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,教学内容和学时分配,第五章 特征值与特征向量,1. 定义,5.1 方阵的特征值和特征向量,特征值和特征向量：0, s.t. A = ,(EA) = 0, ,对每个, 求(EA)x = 0的基础解系 1,2,t,对应于的所有特征向量为 k11+k22+ktt , k1, kt 不全为0.,2. 计算,求出所有特征值,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: |EA| = (+1)( 2)2. 所以A的特征值为1= 1, 2= 3= 2. (EA)x = 的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于1= 1的特征向量为k1p1 (k10). (2EA)x = 的基础解系: p2=(0, 1, 1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于2=3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).,例1. 求,的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: |EA| = (2)(1)2. 所以A的特征值为1=2, 2= 3= 1. 对于1=2, 求得(2EA)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于1=2的特征向量为k1p1 (k10). 对于2=3=1, 求得(EA)x = 0 的基础解系: p2=(1, 2,1)T. 对应于2=3 =1的特征向量为k2p2 (k20).,例2. 求,的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解1:,所以A的全部特征值为 0(n1重根),例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,设a10,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解: 当=0时, (EA)x = 0, 即Ax = 0.,不妨设,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,对应=0的 特征向量为,不全 为0,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,此时，线性无关的特征向量只有一个.,解: 当= T时, (T EA) x = 0.,因为Ax = x.,即 x = x.,注意到,所以即为A的对应特征值 = T的特征向量.,所以只要找一个非零向量满足上述方程即可.,例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,r(TEA) + r(x) n.,r(TEA) n1.,r(TEA)+r(A) r(TEA+A) = r(TE) = n.,r(TEA) = n1.,则对应 = T的特征向量为,r(A)=1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,例4. 证明f() 是的n次多项式, 并求n, n1的系数及常数项.,f() =,d1 = (a11)(a22)(ann),f(0),= (1)n|A|,= (1)n,= |A|,f() = |EA| =,A的迹, 记为trA,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,二. 特征值的性质,性质1. 设1, , n(实数或复数, 可重复)是n阶方 阵A=(aij)的n个特征值, 即 |EA| = (1) (2)(n)，则,证明：,|EA| = (1) (2)(n),第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,性质1. 设1, , n(实数或复数, 可以重复),是n阶方阵A=(aij)的n个特征值,则,推论1：方阵A可逆,证明：,A的特征值均不为0, 则,所以A可逆.,必要性:,设 = 0是A的一个特征值,则0, s.t.,A = = 0,因为A可逆,A1A = = 0,产生矛盾.,A的特征值均不为0.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,性质1. 设1, , n(实数或复数)是n阶方阵A=(aij),的n个特征值, 则,推论1：方阵A可逆 A的特征值均不为0.,证明：,设0, s.t.,A = , A1A = A1,性质2：方阵A可逆, 是A的特征值, 则1/是A1 的特征值, |A|/是A*的特征值.,因为A可逆, A1 =(1/) ,则1/是A1的特征值.,AA* = |A|E, A可逆, A* = |A|A1, A* = |A|A1 = (|A|/) ,则|A|/是A*的特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,性质1. 设1, , n(实数或复数)是n阶方阵A=(aij),的n个特征值, 则,推论1：方阵A可逆 A的特征值均不为0.,证明：,性质2：方阵A可逆, 是A的特征值, 则1/是A1 的特征值, |A|/是A*的特征值.,性质3: 若是方阵A的特征值, 则也是AT 的特征值.,|EA|,= | (EA)T |,=| EAT |,性质4. 设是A的特征值,则k是Ak的一个特征值.,证明：因为为A的特征值, 即0使A=, 于是(A2) = A(A) = A() = (A) = 2, 0 使(Ak) = k, 即k也是Ak的特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,性质5. 设是方阵A的一个特征值, f是一个,多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特征值.,对于f() = ass+a1+a0, f(A) = asAs +a1A+a0 = ass+a1+a0 0 使 f(A) = f().,则f()是方阵f(A)的一个特征值.,证明：因为为A的特征值, 即0 使A =, (Ak) = k, 即k也是Ak的特征值.,性质4. 设是A的特征值,则k是Ak的一个特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,= f(),性质5. 设是方阵A的一个特征值, f是一个,多项式, 则f()是方阵f(A)的一个特征值.,推论2. 若f 是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = 0,(称f为A的一个零化多项式),则A的任一特征值必满足f() = 0., f() = 0 = 0, f()=0,证明：,对A的任一特征值 ,f()是f(A)的一个特征值.,则0 使 f(A) = f() .,因为f(A) = 0, 0,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,推论2. 若f是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = O,则A 的任一特征值 必满足f() = 0.,注1: A的零化多项式的根是A的所有可能的特征值.,例5. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,A 的任一特征值都是零化多项式的根.,1=2 =1,1=2 = 1,1=1, 2 = 1,解：由A2 E= 0知, f(x) = x21为A一个零化多项式.,f(x) = x21=0 的根1,1为A的所有可能的特征值.,注2: A的零化多项式的根未必都是A的特征值.,例6. f(x) = x21, 根为1, 1,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,推论3. 若f是多项式, A是一个方阵, 使f(A) = O,则A 的任一特征值 必满足f() = 0.,注1: A的零化多项式的根是A的所有可能的特征值.,例5. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,A 的任一特征值都是零化多项式的根.,解：由A2 E = 0知, f(x) = x21为A一个零化多项式.,f(x) = x21=0 的根1,1为A的所有可能的特征值.,错误做法：,A2 = E,A2 E =0,(A+E)(A E ) =0,|A+E| |A E | =0,|A+E| =0, |A E | =0,=1,1,错误在于只能说明1,1 是A的可能的特征值，但不能保证是所有可能的特征值。,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,解法2:,所以A的所有可能的特征值满足,所以A的所有可能的特征值,所以A的全部特征值为 0(n1重根),例3. 设0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,一. 特征值、特征向量的定义和计算,二. 特征值的性质,0,s.t. A = .,先解|EA|=0, 求; 将代入 (EA)=0, 求非零通解.,设是A的特征值, 则f()是f(A)的特征值.,注:A的零化多项式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值都是零化多项式的根.,A可逆A的特征值均不为0, 1/是A1的特征值.,是可逆阵A的特征值, 则|A|/是A*的特征值.,若是方阵A的特征值, 则也是AT 的特征值.,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,例7.设3阶矩阵A的特征值为2,1,1,则,解：, A可逆,是可逆阵A的特征值, 则 1/ 是A1的特征值.,( + 1/ ) 是 (A+A1) 的特征值.,(A+A1) 的特征值为：,例8.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3, 则,的特征值为,即11,5,3,第五章 特征值与特征向量,5.1 方阵的特征值和特征向量,设A是n阶方阵, 对于数, 存在n维非零向量, 使得A = , 则称为A的一个特征值。,由A = 得齐次线性方程组(EA) =, 它有非零解 |EA|=0 EA不可逆,若A