课件：概率论第四章第五章第一次课.ppt

第四章 随机变量的数字特征,数学期望(均值) (Mathematical expectation) 方差 (Variance) 协方差及相关系数 (Covariance, correlation coefficient) 矩 、协方差矩阵 (moment, Covariance matrix ),能描述随机变量某些方面特征的数字。其中，最常用的是:,期望和方差,1 数学期望,(Mathematical expectation),求平均每天乘客数.,引例:为调整车辆,对某公共汽车站的乘客数进行了20天的观察, 其结果为:,=(3902+4004+4107+4205+4301+4401)/20,解: 20天中,平均每天乘客数为,这里2/20，4/20是“乘客数为390人”“乘客数为400人”的频率，若将其视为相应的概率, 则可建立如下模型(X表示日乘客数)：,=3902/20+4004/20+4107/20+4205/20+4301/20+4401/20=411,一、离散型随机变量的数学期望,定义1 设离散型r.vX的分布律为：,若级数 绝对收敛，则称级数的和为r.vX的数学期望，,简称期望或均值，记为E(X)，即,(1),（3）,注（1）,（2）,（4） E(X)反映了随机变量取值的平均水平.,设两人的日产量相等,问谁的技术更好?,故乙的技术好。,例1： 甲、乙两工人在一天生产中出现废品的概率分别是：,解：E(X1)=00.4+10.3+20.2+30.1=1,E(X2)=00.3+10.5+20.2+30=0.9,例2：,解：,令m=k-1,例3： 设X服从几何分布，即,解,求和与求导 交换次序,等比级数求和,注：, E(X)不存在的例子：,若E(X)存在，则是一个确定的实数.,发散,P91例5,在一个人数很多的团体中普查某种疾病, 为此要抽验N个人的血, 可以用两种方法进行:,如果混合血液呈阴性反应, 就说明k个人的血都呈阴性反应,若呈阳性, 则对这k个人的血液再分别进行化验, 这样k个人,解:,由此可知,这时就能得到最好的分组方法.,例如,则按第二种方法平均只需化验,这样平均来说,二、连续型随机变量的数学期望,设连续型r.vX的概率密度为f(x),若广义积分,绝对收敛,则称此积分的值为r.vX的数学期望,记为 E(X), 即,E(X)=,(2),1、定义2,2、重要分布的期望值:,二项分布 泊松分布 均匀分布 正态分布 指数分布,要求: 能熟练验证; 熟记结果.,P89例2,有两个相互独立工作的电子装置,它们的寿命Xk(k=1,2)服从同一指数分布, 其概率密度为,若将这两个电子装置串联联接成整机, 求整机寿命(小时) N的数学期望,解,三、随机变量的函数的数学期望,离散型r.v X的分布律为：PX=xk=pk k=1,2,连续型r.vX的概率密度为f(x),1 、 已知一维r.vX的分布,求其函数Y=g(X)的期望:,(4),(3),说明：该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给计算r.v函数的期望带来很大方便.,简单函数 可列表运算,例4：某车间生产的圆盘直径在(a, b)上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。,解：设X为某车间生产的圆盘直径，依题意，XU（a，b）,X的概率密度为,设圆盘面积为Y，则,上述基本公式，可推广到两个或两个以上r.v的情况。,说明：,2019/8/5,14,可编辑,（2）连续型r.v(X,Y)的概率密度为 f(x,y)，则有,(6),2 、已知二维 r.v（X,Y）的分布，求Z=g(X,Y)的数学期望,（1）离散型r.v（X，Y）的分布律为：,(5),绝对收敛,P94例9,解：,P94 例10,某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量.他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致元的损失.再者,他们预测销售量Y(件)服从指数分布, 其概率密度为,问若要获得利润的数学期望最大,应生产多少件产品(m,n,已知),解,又,且可知这也是最大值.,令,得,1. 设C是常数，则E(C)=C;,4. 设X、Y独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若C是常数，则E(CX)=CE(X);,3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);,（诸Xi独立时）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y独立,推论：E(E(X)=E(X),四、数学期望的性质,证：（3）E(X+Y) = E(X)+E(Y),特别地，,设二维r.v(X,Y)概率密度函数为f(x,y),例5 把数字1,2,n任意地排成一列，如果数字k 恰好出现在 第k个位置上，则称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解: 设巧合个数为X,则,故,引入,五、数学期望性质的应用,解： 记Xi= “在第i站客车的停车次数”，,则有,i =1，210。,由期望的性质有,方法思想：把复杂r.vX分解为数个简单随机变量Xi之和，再利用性质求期望.,i =1,2,10.,20人都不在此站下,P97例12：客车载有20位乘客, 开出后有10个车站可下车, 每位旅客在各站下车是等可能的, 且各乘客是否下车是相互独立的. 若在一个站没人下车, 则不停, 记X为总停车次数, 求E(X).,练习：已知随机变量X的概率密度为,求 的期望,解：,游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光，电梯于每个整点的第5分钟，25分钟，和55分钟从底层起行。假设一游客在早8点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0，60上均匀分布，求该游客等候时间的数学期望 （97考研题）,解：,因X在0，60上服从均匀分布,其概密为,设Y是游客等候电梯的时间，则Y是其到达时刻X的函数，有,随机变量的数学期望，反映了随机变量