2020版高考数学一轮复习不等式选讲教学案理新人教版选修_5.docx

选修45不等式选讲考纲传真1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)，|ab|ac|cb|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法1绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a的解法：不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解；利用零点分段法求解；构造函数，利用函数的图象求解2绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立3基本不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a，b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立4柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2(当且仅当adbc时，等号成立)(2)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当或是零向量，或存在实数k，使k(，为非零向量)时，等号成立(3)柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.(4)柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立5不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)对|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立()(2)|ab|ab|2a|.()(3)|xa|xb|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和()(4)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”()答案(1)(2)(3)(4)2不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4) D(1,5)A当x1时，原不等式等价于1x(5x)2，即42，恒成立，x1.当1x5时，原不等式等价于x1(5x)2，即x5时，原不等式等价于x1(x5)2，即42，无解综合知x0，b0，a3b32.证明：(1)(ab)(a5b5)4；(2)ab2.证明(1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24.(2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2，所以(ab)38，因此ab2.规律方法不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时，主要是运用基本不等式证明，与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件，另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形. 已知x0，y0，且xy1，求证：9.证明因为x0，y0，所以1xy2.所以xy.所以111189.当且仅当xy时，等号成立应用不等式解决最值问题考法1利用基本不等式求最值【例3】(2014全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解(1)由，得ab2，且当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.考法2与绝对值三角不等式有关的最值【例4】(2019武汉模拟)已知f(x)|xa|x3|.(1)当a1时，求f(x)的最小值；(2)若不等式f(x)3的解集非空，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x3|x1x3|2，f(x)的最小值为2，当且仅当1x3时取得最小值(2)xR时，恒有|xa|x3|(xa)(x3)|3a|，又不等式f(x)3的解集非空，|3a|3，0a6.a的取值范围为0,6规律方法绝对值三角不等式、基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用，无论运用绝对值三角不等式还是运用基本不等式时应注意等号成立的条件. 已知a0，b0，函数f(x)|xa|2xb|的最小值为1.(1)求证：2ab2；(2)若a2btab恒成立，求实数t的最大值解(1)证明：f(x)|xa|2xb|xa|，|xa|x(xa)a且x0，f(x)a，当x时取等号，即f(x)的最小值为a，a1，即2ab2.(2)a2btab恒成立，t恒成立，(2ab)，当ab时，取得最小值，t，即实数t的最大值为.柯西不等式的应用【例5】(2017江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.规律方法(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa)(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件已知大于1的正数x，y，z满足xyz3.求证：.证明由柯西不等式及题意得，(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)(xyz)227.又(x2y3z)(y2z3x)(z2x3y)6(xyz)18，当且仅当xyz时，等号成立1(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.2(2016全国卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解(