2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何（选修_1）第5节抛物线应用能力提升理.docx

第5节抛物线【选题明细表】知识点、方法题号抛物线的标准方程与几何性质1,2抛物线的定义及其应用3,5,8,10抛物线定义、标准方程及几何性质的综合应用4,6,7,9,11,12,13基础巩固(建议用时:25分钟)1.抛物线y=ax2(a0)的准线方程是(B)(A)y=-(B)y=-(C)y=(D)y=解析:抛物线y=ax2(a0),则=,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x.故选D.3.(2018重庆九校一模)已知抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于(B)(A)(B)(C)(D)1解析:根据题意,抛物线C:y=2px2经过点M(1,2),则有2=2p12,解可得p=1,则抛物线的方程为y=2x2,其标准方程为x2=y,其焦点坐标为(0,),准线方程为y=-,故该抛物线的焦点到准线的距离等于.故选B.4.(2018汕头市一模)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则AFK的面积为(B)(A)4 (B)8 (C)16 (D)32解析:因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0).设A(x0,y0),过A点向准线作垂线AB,则B(-2,y0).因为|AK|=|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,所以由|BK|2=|AK|2-|AB|2得=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,则A(2,4),所以AFK的面积为|KF|y0|=44=8.故选B.5.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,且点P在y轴上的射影是M,点A(,4),则|PA|+|PM|的最小值是(C)(A)(B)4(C)(D)5解析:抛物线焦点为F(,0),准线x=-,如图,延长PM交准线于N,由抛物线定义得|PF|=|PN|.因为|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|AF|=5,而|MN|=,所以|PA|+|PM|5-=,当且仅当A,P,F三点共线时,取“=”号,此时,P位于抛物线上,所以|PA|+|PM|的最小值为.故选C.6.(2018大庆中学模拟)已知点A(4,0),抛物线C:y2=2px(0p0)的焦点为F,点M(x0,2)(x0)是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|.若=2,则|AF|等于(B)(A)(B)1(C)2(D)3解析:由题意M(x0,2)在抛物线上,则8=2px0,则px0=4由抛物线的性质可知,|DM|=x0-,=2,则|MA|=2|AF|=|MF|=(x0+),因为被直线x=截得的弦长为|MA|,则|DE|=|MA|=(x0+),由|MA|=|ME|=r,在RtMDE中,|DE|2+|DM|2=|ME|2,即(x0+)2+(x0-)2=(x0+)2,代入整理得4+p2=20由,解得x0=2,p=2,所以|AF|=(x0+)=1,故选B.10.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(A)(A)2(B)3(C)(D)解析:如图所示,过点P作PMl1,PNl2,过抛物线焦点F(1,0)作FQl1于Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点F,P,Q三点共线时,动点P到直线l1和直线l2的距离之和最小,最小值为=2,故选A.11.(2018临川二中模拟)如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A,B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则FAB的周长的取值范围为.解析:抛物线的准线l:x=-2,焦点F(2,0),由抛物线定义可得|AF|=xA+2,圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,所以FAB的周长为|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,由抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16可得交点的横坐标为2,所以xB(2,6),所以6+xB(8,12).答案:(8,12)12.已知抛物线x2=2py(p0),F为其焦点,过点F的直线l交抛物线于A,B两个不同的点,过点B作x轴的垂线,交直线OA于点C,如图所示.(1)求点C的轨迹方程;(2)直线n是抛物线的不与x轴重合的切线,切点为P,准线与直线n交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F.(1)解:由题意可得,直线l的斜率存在,设方程为y=kx+.设A(x1,y1),B(x2,y2),动点C(x,y),由可得x2-2pkx-p2=0,可得x1x2=-p2.OA:y=x=x,BC:x=x2.由可得y=x2=-,即点C的轨迹方程为y=-(x0).(2)证明:设直线n的方程为y=kx+m,由可得x2-2pkx-2pm=0,则=4p2k2+8pm,因为直线n与抛物线相切,所以=0,可得pk2+2m=0,可得P(pk,-m),又由可得Q(-,-),=(pk,-m-)(-,-p)=-(p+2m)+pm+=0,可得FPFQ,所以以线段PQ为直径的圆过点F.13.(2017全国卷)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AMBM,求直线AB的方程.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,y1=,y2=,x1+x2=4,故直线AB的斜率为=1.(2)由y=,得y=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m)