2020版高考数学第8章平面解析几何第5节椭圆（第1课时）椭圆的定义、标准方程及其性质教学案.docx

第五节椭圆考纲传真1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c为常数：(1)若ac，则集合P为椭圆；(2)若ac，则集合P为线段；(3)若ac，则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)离心率e，且e(0,1)a，b，c的关系c2a2b21点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上1.(3)点P(x0，y0)在椭圆外1.2焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形r1|PF1|，r2|PF2|，F1PF2，PF1F2的面积为S，则在椭圆1(ab0)中：(1)当r1r2时，即点P的位置为短轴端点时，最大；(2)Sb2tan c|y0|，当|y0|b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.(3)ac|PF1|ac.3椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2b2c2.4已知过焦点F1的弦AB，则ABF2的周长为4a.5椭圆中点弦的斜率公式若M(x0，y0)是椭圆1(ab0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kABkOM，即kAB.6弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长|AB|x1x2|y1y2|(k为直线斜率)基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆()(4)关于x，y的方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆()答案(1)(2)(3)(4)2椭圆1的焦点坐标为()A(3,0)B(0，3)C(9,0) D(0，9)B由题意可知a225，b216，c225169，c3，又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，3)3已知动点M到两个定点A(2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.y21 B1C.x21 D1D由题意有6224，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a6，c2，故a29，所以b2a2c25，故椭圆的方程为1，故选D4若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是()A. BC. DC由题意有b2ac.又b2a2c2，则a2c2ac，即12，则e2e10，解得e.因为0e1，所以e.故选C.5(教材改编)椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则F1AB的周长为_20由椭圆的定义可知，F1AB的周长为4a4520.第1课时椭圆的定义、标准方程及其性质椭圆的定义及其应用【例1】(1)已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B1C.1 D1(2)F1，F2是椭圆1的两个焦点，A为椭圆上一点，且AF1F245，则AF1F2的面积为()A7 BC. D(1)D(2)C(1)设圆M的半径为r，则|MC1|MC2|(13r)(3r)16，又|C1C2|816，动圆圆心M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a16,2c8，则a8，c4，b248，故所求的轨迹方程为1.(2)由题意得a3，b，c，|F1F2|2，|AF1|AF2|6.|AF2|2|AF1|2|F1F2|22|AF1|F1F2|cos 45|AF1|24|AF1|8，(6|AF1|)2|AF1|24|AF1|8.|AF1|，SAF1F22.规律方法(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等(2)椭圆的定义式必须满足2a|F1F2|. (1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆(2)(2019徐州模拟)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1PF2，若PF1F2的面积为9，则b_.(1)A(2)3(1)由题意可知，CD是线段MF的垂直平分线，|MP|PF|，|PF|PO|PM|PO|MO|(定值)又|MO|FO|，点P的轨迹是以F，O为焦点的椭圆，故选A.(2)设|PF1|r1，|PF2|r2，则所以2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，所以SPF1F2r1r2b29，所以b3.椭圆的标准方程【例2】(1)在ABC中，A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是()A.1(y0) B1(y0)C.1(y0) D1(y0)(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为_(3)过点(，)，且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程为_(1)A(2)1(3)1(1)由|AC|BC|188108知，顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)设其方程为1(ab0)，则a5，c4，从而b3.由A，B，C不共线知y0.故顶点C的轨迹方程是1(y0)(2)设椭圆方程为mx2ny21(m，n0，mn)由解得m，n.椭圆方程为1.(3)法一：椭圆1的焦点为(0，4)，(0,4)，即c4.由椭圆的定义知，2a，解得a2.由c2a2b2可得b24，所求椭圆的标准方程为1.法二：所求椭圆与椭圆1的焦点相同，其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在所求椭圆上，1，则1.由得b24，a220，所求椭圆的标准方程为1.规律方法(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式 (1)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为()A.1 By21C.1 D1(2)椭圆E的焦点在x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E的标准方程为()A.1 By21C.1 D1(3)设F1，F2分别是椭圆E：x21(0b1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点若|AF1|3|F1B|，AF2x轴，则椭圆E的方程为_(1)A(2)C(3)x2y21(1)AF1B的周长是4a4，所以a，e，所以c1，那么b2a2c22，所以方程是1.故选A. (2)由条件可知bc，a2，所以椭圆方程为1，故选C.(3)不妨设点A在第一象限，如图所示AF2x轴，A(c，b2)(其中c21b2,0b1，c0)又|AF1|3|F1B|，由3得B，代入x21得1.又c21b2，b2.故椭圆E的方程为x2y21.椭圆的几何性质考法1求离心率或范围【例3】(1)(2019深圳模拟)设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()A. BC. D(2)(2017全国卷)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点，若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是()A(0,19，) B(0，9，)C(0,14，) D(0，4，)(1)D(2)A(1)法一：如图，在RtPF2F1中，PF1F230，|F1F2|2c，|PF1|，|PF2|2ctan 30.|PF1|PF2|2a，即2a，可得ca.e.法二：(特殊值法)在RtPF2F1中 ，令|PF2|1，PF1F230，|PF1|2，|F1F2|.e.故选D(2)由题意知，当M在短轴顶点时，AMB最大如图1，当焦点在x轴，即m3时，a，b，tan tan 60，0m1. 图1图2如图2，当焦点在y轴，即m3时，a，b，tan tan 60，m9.综上，m(0,19，)，故选A.考法2与椭圆的几何性质有关的最值问题【例4】(2019合肥质检)如图，焦点在x轴上的椭圆1的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值为_4由题意知a2，因为e，所以c1，b2a2c23.故椭圆方程为1.设P点坐标为(x0，y0)所以2x02，y0.因为F(1,0)，A(2,0)，(1x0，y0)，(2x0，y0)，所以xx02yxx01(x02)2.则当x02时，取得最大值4.规律方法(1)求椭圆离心率的方法直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2a2c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系建立关于a、b、c的方程或不等式 (1)(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点若PF1PF2，且PF2F160，则C的离心率为()A1 B2C. D1(2)若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A2 B3C6 D8(1)D(2)C(1)由题设知F1PF290，PF2F160，|F1F2|2c，所以|PF2|c，|PF1|c.由椭圆的定义得|PF1|PF2|2a，即cc2a，所以(1)c2a，故椭圆C的离心率e1.故选D(2)由椭圆1可得F(1,0)，点O(0,0)，设P(x，y)(2x2)，则x2xy2x2x3x2x3(x2)22，2x2，当且仅当x2时，取得最大值6.1.(2018全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120，则C的离心率为()A.BC. DD由题