2020版高考数学第七篇立体几何与空间向量（选修_1）第3节空间点、直线、平面之间的位置关系应用能力提升.docx

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号空间两直线位置关系1,7,10,11,12平面基本性质及应用2,3,4,9异面直线所成角5,6,8,13基础巩固(建议用时:25分钟)1.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则(D)(A)m与n异面(B)m与n相交(C)m与n平行(D)m与n异面、相交、平行均有可能解析:在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.2.下列命题中,真命题的个数为(B)如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这两个平面重合;两条直线可以确定一个平面;空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内;若M,M,=l,则Ml.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:根据公理2,可判断是真命题;两条异面直线不能确定一个平面,故是假命题;在空间中,相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角),故是假命题;根据平面的性质可知是真命题.故选B.3.以下四个命题中,不共面的四点中,其中任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:显然是正确的;中若A,B,C三点共线,则A,B,C,D,E五点不一定共面,不正确;中构造长方体(或正方体),如图所示,显然b,c异面,故不正确;中空间四边形中四条线段不共面,不正确,只有正确.故选B.4.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是(D)解析: 在A图中分别连接PS,QR,易证PSQR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQRS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.5.(2018南宁模拟)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:连接BC1,易证BC1AD1,则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角.连接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,故cosA1BC1=,即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.6.如图是三棱锥D-ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1.又可知AE=1,由于OEAB,故DOE或其补角即为所求两异面直线所成的角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC中可以求得AO=.在直角三角形DAO中可以求得DO=,又EO=1,所以DOE为直角三角形,cosDOE=,故所求余弦值为,故选A.7.如图,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有条.解析:依题意,与AB和CC1都相交的棱有BC;与AB相交且与CC1平行有棱AA1,BB1;与AB平行且与CC1相交的棱有CD,C1D1.故符合条件的有5条.答案:58.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.解析:取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以ADBC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角.因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D圆柱下底面,所以C1DAD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=AD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.答案:能力提升(建议用时:25分钟)9.如图,ABCDA1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(A)(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C平面ACC1A1,因为MA1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,又A在平面ACC1A1和平面AB1D1的交线上.所以A,M,O三点共线.B,C不正确,BB1与AO异面,所以D不正确.故选A.10.(2018广东佛山模拟)在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与直线A1B1,EF,BC都相交的直线(D)(A)不存在 (B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有无数条解析:在EF上任意取一点M,直线A1B1与M确定一个平面,这个平面与BC有且仅有1个交点N,当M的位置不同时确定不同的平面,从而与BC有不同的交点N,而直线MN与A1B1,EF,BC分别有交点P,M,N,如图,故有无数条直线与直线A1B1,EF,BC都相交.故选D.11.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且=,则下列说法正确的是(填序号).EF与GH平行;EF与GH异面;EF与GH的交点M可能在直线AC上,也可能不在直线AC上;EF与GH的交点M一定在直线AC上.解析:连接EH,FG,如图所示.依题意,可得EHBD,FGBD,故EHFG,所以E,F,G,H共面.因为EH=BD,FG=BD,故EHFG,所以EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,所以点M是平面ACB与平面ACD的交点,又AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上.答案:12.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出四个命题:若ab,bc,则ac;若ab,bc,则ac;若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若a平面,b平面,则a,b一定是异面直线.上述命题中正确的命题是(写出所有正确命题的序号).解析:由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行或异面,故错;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故错;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”,故错.答案:13.如图,在体积为的正三棱锥ABCD中,BD长为 2,E为棱BC的中点,求:(1)异面直线AE与CD所成角的余弦值;(2)正三棱锥ABCD的表面积.解:(1)过点A作AO平面BCD,垂足为O,则O为BCD的中心,由223AO=,得AO=1.又在正三角形BCD中得OE=1,所以A