2020版高考数学第3章三角函数、解三角形第3节三角函数的图象与性质教学案理新人教版.docx

第三节三角函数的图象与性质考纲传真1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2图象的五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2图象的五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR值域1,11,1R单调性递增区间：，kZ，递减区间：，kZ递增区间：2k，2k，kZ，递减区间：2k，2k，kZ递增区间，kZ奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k，0)，kZ对称中心，kZ对称中心，kZ对称轴xk(kZ)对称轴xk(kZ)周期性22常用结论若f(x)Asin(x)(A，0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数ysin x的图象关于点(k，0)(kZ)中心对称()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数()(3)已知yksin x1，xR，则y的最大值为k1.()(4)ysin |x|与y|sin x|都是周期函数()答案(1)(2)(3)(4)2下列函数中，周期为的是()Aycos 4xBysin 2xCycos Dysin A由T可知，4，检验可知选项A正确，故选A.3若函数ysin(x)是奇函数，则的值可能是()A. B.C. DD由ysin(x)是奇函数可知，k，kZ，故选D.4函数ytan 2x的定义域是()A.B.C.D.D由2xk，kZ，得x，kZ，ytan 2x的定义域为.5ysin的单调减区间是_(kZ)由2k2x2k，kZ得kxk，kZ.三角函数的定义域和值域1函数f(x)3sin在区间上的值域为()A.B.C. D.B因为x，所以2x，所以sin，所以3sin，所以函数f(x)在区间上的值域是.2.(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A4 B5C6 D7Bf(x)cos 2x6coscos 2x6sin x12sin2x6sin x22，又sin x1,1，当sin x1时，f(x)取得最大值5.故选B.3函数ylg sin x的定义域为_(kZ)要使函数有意义，则有即解得(kZ)，2kx2k，kZ.函数的定义域为.4函数ysin xcos xsin x cos x，x0，的值域为_1,1设tsin xcos x，则t2sin2xcos2x2sin xcos x，即sin xcos x，且1t.yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t1时，ymin1.函数的值域为1,1规律方法1.三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解.(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.(3)换元法：把sin x，cos x，sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数求解.三角函数的单调性【例1】(1)(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在0，a 是减函数，则a的最大值是()A. B.C. D(2)函数f(x)sin的单调减区间为_(1)C(2)(kZ)(1)f(x)cos xsin xsin，当x，即x时，sin单调递增，sin 单调递减，是f(x)在原点附近的单调递减区间，结合条件得0，a，a，即amax，故选C.(2)由已知，得函数为ysin，欲求函数的单调减区间，只需求ysin的单调增区间即可由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.故所求函数的单调减区间为(kZ)规律方法1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如yAsin(x)(0)的单调区间时，要视“x”为一个整体，通过解不等式求解.若0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错.(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求它的单调区间.2.已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解. (1)(2019珠海模拟)已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是()A(0,2 B.C. D.(2)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)f(2)(1)D(2)A(1)由2kx2k，得x，kZ，因为f(x)sin在上单调递减，所以解得因为kZ，0，所以k0，所以，即的取值范围为.故选D.(2)因为T，所以2.所以22k，kZ，得的一个正值为，所以yAsin.由函数图象及2，2,0与最近的最高值的距离，距离越大值越小，可判断f(2)f(2)f(0)故选A.三角函数的奇偶性、周期性及对称性考法1三角函数的周期性【例2】(1)函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为()A. B.C D2(2)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_(1)C(2)2或3(1)因为ysin 2xcos 2x22sin，所以其最小正周期T.故选C.(2)由题意知12，即k2k.又kZ，所以k2或k3.考法2三角函数的奇偶性【例3】已知函数f(x)sin(x)cos(x)，是偶函数，则的值为()A0 B.C. D.Bf(x)2sin，要使f(x)为偶函数，只需k，kZ.k，kZ.又，当k0时， .考法3三角函数图象的对称性【例4】(1)(2018陕西二模)已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称(2)(2019武汉模拟)若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为_(1)C(2)2(1)由题意，得T，所以2，所以f(x)sin.由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)关于点(kZ)对称，故A，B不正确；由2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)关于直线x对称，故C正确，D不正确，故选C.(2)由题意知k(kZ)，6k2(kZ)，又N* ，min2.规律方法1.对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.2.求三角函数周期的方法(1)利用周期函数的定义.(2)利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为. (1)在函数ycos|2x|，y|cos x|，ycos，ytan中，最小正周期为的所有函数为()A BC D(2)(2019山师大附中模拟)设函数f(x)sin(2x)(0)在x时取得最大值，则函数g(x)cos(2x)的图象()A关于点对称B关于点对称C关于直线x对称D关于直线x对称(3)(2018济南一模)已知函数f(x)sin(x)cos(x)的最小正周期为，且ff(x)，则()Af(x)在上单调递减Bf(x)在上单调递增Cf(x)在上单调递增Df(x)在上单调递减(1)A(2)A(3)D(1)ycos|2x|cos 2x，最小正周期为；由图象知y|cos x|的最小正周期为；ycos的最小正周期T；ytan的最小正周期T，故选A.(2)因为x时，f(x)sin(2x)(0)取得最大值，所以，即g(x)cos，所以对称中心，对称轴x，故选A.(3)f(x)sin(x)cos(x)2sin，因为其最小正周期为，所以，2，则f(x)2sin，又因为ff(x)，所以x为函数f(x)图象的一条对称轴，则2k，kZ，解得k，kZ，又因为|，所以，则f(x)2sin2sin，令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，令k0，得函数f(x)在上单调递减，故选D.1(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A4B2C D.C函数f(x)sin的最小正周期T.故选C.2.(2017全国卷)设函数f(x)cos，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线x对称Cf(x)的一个零点为xDf(x)在单调递减DA项，因为f(x)cos的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cos图象的对称轴为直线xk(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x对称，B项正确C项，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，当k1时，x，所以f(x)的一个零点为x，C项正确D项，因为f(x)cos的递减区间为(kZ)，递增区间为(kZ)，所以是减区间，是增区间，D