角函数-数学(理科)-北师大版(已核).ppt

目 录,第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的图像和性质 第18讲 三角函数的奇偶性和周期性 第19讲 函数yAsin(x) 的图象和性质 第20讲 两角和与差的三角函数 第21讲 简单的三角恒等变换 第22讲 正弦定理和余弦定理 第23讲 解三角形的应用,第三单元 三角函数,北师大版,第三单元 三角函数,第三单元 知识框架,第三单元 考纲要求,第三单元 考纲要求,第三单元 考纲要求,2三角恒等变换 (1)和与差的三角函数公式 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 (2)简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆),3解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,第三单元 考纲要求,三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基础知识之一，又是高中数学的工具性知识之一，在高考中占有重要位置 (1)以选择题或填空题的形式考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差的三角函数、倍角公式在求值化简中的应用，考查三角函数的图象和性质，正弦定理和余弦定理解三角形，试题难度不大，以考查基础知识和基本方法为主，试卷中一般是1到2个小题；,第三单元 命题趋势,(2)以解答题的方式重点考查三角函数的图象和性质(可能和解三角形结合)，考查三角恒等变换公式在解决三角函数问题中的应用，考查解三角形和三角函数的性质，考查解三角形在解决实际问题中的应用试题难度中等或中等偏下； (3)在解析几何、立体几何、函数导数、平面向量等问题中考查三角函数的应用，发挥三角函数知识的工具性作用，如直线的斜率和倾斜角之间的关系、利用三角函数知识求解空间角等； 由于三角函数和简单三角恒等变换、解三角形是传统的考试内容，这些年来已形成相对固定的考查模式，预计2012年仍然会延续这种命题模式,第三单元 命题趋势,1编写意图 由于高考降低了对三角恒等变换的要求，三角恒等变换公式主要是解决三角函数问题的工具，故本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合,第三单元 使用建议,在编写中注意到如下的几个问题：(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度，加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习题的力度，控制了选题的难度；(2)突出了yAsin(x)的图象和性质，在该讲设置了双课时作业；(3)考虑到三角函数知识的工具性，适当加入了三角函数在各个方面的应用的一些题目；(4)在第22讲中强化了正弦定理和余弦定理作三角形的技巧和访求，以基本的选题讲解这两个定理如何解三角形，并在第23讲中着重讲对其应用，以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力,第三单元 使用建议,2教学指导 鉴于该部分知识的重要性，以及该部分在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法，教师在引导学生复习该部分时，要注意如下几个问题：(1)进行考情思路分析，使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础，在复习中不要追求难题、偏题和怪题，只要把基本问题复习透彻即可；(2)由于该部分的选题以基础为主，其中绝大多数问题学生都能独立完成，在教学中要充分发挥学生的主体地位，尽量让学生独立完成包括例题在内的题目，教师在于对方法和规律的总结，在于引导；(3)在复习中要对照考纲，关注一些公式的导出过程，如考,第三单元 使用建议,纲中的“能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切，及的正弦、余弦的诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式”等；(4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容，是最高级别的要求，在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌握这两个定理的证明，然后通过例题，讲解和变式训练使学生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题型,第三单元 使用建议,(5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化，在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思想，教师在引导学生复习时，要注重引导学生寻求合理的边角互化的方向正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，在三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题,第三单元 使用建议,(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理，把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理和余弦定理加以解决，教师在引导学生思路解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际应用问题的本质所在,第三单元 使用建议,3课时安排 该部分共8节，其中第19讲设置双课时作业，一个滚动基础训练卷和一个单元能力训练卷，建议11课时完成复习任务,第三单元 使用建议,第16讲 角的概念及任意角的三角函数,第16讲 角的概念及任意角 的三角函数,第16讲 知识梳理,正角、负角,k360,零角,第16讲 知识梳理,半径,180,第16讲 知识梳理,r,第16讲 知识梳理,第16讲 知识梳理,6.单位圆中的三角函数线 如图161中的有向线段MP、OM、AT分别称为角的正弦线、余弦线和正切线，它是数形结合的有效工具,图161, 探究点1 任意角的概念的应用,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究,思路 (1)依据已知条件先得出角的范围，再讨论k值确定象限角(2)从终边相同的角的表示入手分析问题,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究,变式题,思路 根据终边相同的角的表示方法，建立的方程，再根据的范围确定的取值,答案 D,第16讲 要点探究, 探究点2 扇形弧长公式与扇形面积公式的应用,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究,思路 (1)根据公式进行计算；(2)建立扇形的面积关于弧长或者半径或者圆心角的函数，通过函数的最值解决,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究, 探究点3 三角函数的定义的应用,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究,思路 (1)在角的终边上取点，根据三角函数的定义求解；(2)根据几何上的已知条件，得出ON为终边的角的具体位置，根据三角函数定义求解,答案 (1)D (2)B,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究,变式题,第16讲 要点探究,答案 D, 探究点4 单位圆中三角函数线的应用,第16讲 要点探究,第16讲 要点探究,答案 B,第16讲 要点探究,变式题,已知点P(sincos，tan)在第一象限，求在0,2内的取值范围,思路 根据点P的位置，确定角的三角函数值的大小关系，然后根据单位圆中的三角函数线，确定的取值范围,第16讲 要点探究,第16讲 规律总结,1终边相同的角可以表示为2k(kZ)(02)的形式，在解决终边相同角问题时，要注意把问题归结为这种形式，便于问题的解决 2角度制和弧度制是度量角的两种方法，其中弧度制更有利于研究三角函数，在角度制和弧度制之间有换算公式(弧度)180.,第16讲 规律总结,3在扇形的有关问题中，要充分揭示图形的性质及联系，抓住圆心角、半径、弧长、面积这些量中知二求其余的关键 4根据任意角的三角函数定义解题时，可以取角的终边上的任意一点，特别在解选择题和填空题时，可以取角的终边上的一个特殊点 5单位圆中的三角函数线是实现数形结合的重要工具，利用单位圆中的三角函数线可以研究同角三角函数关系、诱导公式以及三角函数的图象，要注意三角函数线是有向线段,第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式,第17讲 同角三角函数的关系 和诱导公式,1同角三角函数基本关系式 (1)商数关系：_； (2)平方关系：_.,第17讲 知识梳理,2诱导公式,第17讲 知识梳理,第17讲 知识梳理,一、二、三、四,一、二、三、四, 探究点1 诱导公式及应用,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,答案 (1)C (2)D (3)C,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,变式题,第17讲 要点探究, 探究点2 同角三角函数基本关系式及应用,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,思路 (1)根据已知可确定角所在的象限，然后利用同角三角函数关系求得；(2)根据诱导公式可以确定的正弦值，然后使用诱导公式和同角三角函数关系化简求解；(3)通过变换使用同角三角函数关系,第17讲 要点探究,解答 (1)证明：任取x10，由条件(2)得f(x2x1)0， f(x2)f(x1)，f(x)在R上单调递减 (2)在(1)中，令xy0，得f(00)f(0)f(0)，f(0)0，再令yx得f(xx)f(x)f(x)， f(x)f(x)，因此f(x)为奇函数， f(x)maxf(3)f(3)f(12)f(1)f(2)f(1)f(1)f(1)3f(1)6，f(x)minf(3)f(3)6.,第17讲 要点探究,点评 根据题目所给的条件，往往需要探求函数有哪些特殊的性质，如函数的单调性、奇偶性、周期性等，本题将奇偶性与单调性有机结合起来，而函数的单调性是解决抽象函数最值题的常见方法,第17讲 要点探究,思路 根据同角三角函数关系sin2cos21和已知条件联立即可求出sin，cos，再根据同角三角函数关系求解；或者利用同角三角函数关系求出sincos的值，再和已知条件联立求出sin，cos.,答案 B,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,变式题,思路 思路一：由sinxcosx及平方关系式解出sinx，cosx代入求解 思路二：注意到sinxcosx与sinxcosx及sinxcosx之间的关系，可以整体求出2，再确定sinxcosx符号，从而求出,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究, 探究点3 齐次式的应用,第17讲 要点探究,思路 根据同角三角函数的关系，转化为关于正切的关系后求解，或者把已知的正切关系转化为正余弦关系后求解,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,点评 一个关于正弦和余弦的齐次分式，可以通过分子分母同时除以一个余弦的方幂将其转化为一个关于正切的分式，只要知道了正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型本题第二个问题的分母是1，通过1sin2cos2的代换，也是一个齐次分式,第17讲 要点探究,变式题,思路 根据已知求出tanx的值，再把求解目标根据同角三角函数关系化为关于tanx的式子,第17讲 要点探究,第17讲 要点探究,变式题,思路 把已知条件进行变换，得到关于sinx，cosx的关系，求出tanx的值，再根据齐次式的变换方法，变换求解目标为关于tanx的表达式,第17讲 要点探究,第7讲 规律总结,1诱导公式的功能是求解任意角的三角函数值、对三角函数式进行化简，在使用诱导公式时一定要注意其准确性，一个是符号、一个是函数名称；同角三角函数基本关系的功能是根据角的一个三角函数值求解另外的三角函数值以及对同角的三角函数式进行变换，同角三角函数的基本关系和方程思想联系密切，注意方程思想的运用 2在三角函数求值问题中符号是根据求解目标的符号确定的，在求值过程中要分析清楚求解目标角所在的象限、确定求解的三角函数值的符号符号选取体现在使用诱导公式和同角三角函数关系的平方关系中,第7讲 规律总结,第18讲 三角函数的图像和性质,第18讲 三角函数的图像和性质,1周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有_ _，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,第18讲 知识梳理,f(xT)f(x),2五点法作图原理 在确定正弦函数ysinx，x0,2的图象形状时，起关键作用的五点是_ 在确定余弦函数ycosx，x0,2的图象形状时，起关键作用的五点是_,第18讲 知识梳理,第18讲 知识梳理,3三角函数的图象与性质,第18讲 知识梳理,2,2,奇,偶,奇,第18讲 知识梳理,增,减,增,减,增,第18讲 知识梳理,4.三角函数图象的对称性： (1)正弦函数ysinx图象的对称中心是(k，0)(kZ)，对称轴方程是_ _； (2)余弦函数ycosx图象的对称中心是_ _，对称轴方程是xk(kZ)； (3)正切函数ytanx图象的对称中心是_，不存在对称轴, 探究点1 三角函数图像的简单应用,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,点评 根据三角函数的图象，从数形结合的角度求解一些基本的三角函数不等式的解、判断函数图象的对称性等，要准确使用图象进行观察分析在以函数图象为切入点的试题中要注意画图的准确性，注意借助于数的演算对图形问题给出定量结果在函数图象分析类试题中，数的佐证是必不可少的，如下面的变式,第18讲 要点探究,变式题,函数yxcosx的部分图象是( ),思路 根据函数的解析式检验函数的奇偶性以及函数值的变化趋势，以数助形解决问题,答案 D,第18讲 要点探究, 探究点2 三角函数的值域与最值,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,思路 (1)是关于正弦函数的二次式；(2)可以根据同角三角函数关系化为正弦函数的二次式，根据正弦函数的有界性通过配方求解,第18讲 要点探究,答案 (1)C (2)D,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,变式题,答案 A,思路 函数式展开后将出现sinxcosx和sinxcosx，可以用sinxcosx表示sinxcosx后换元解决,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,点评 在三角函数问题中，(sinxcosx)212sinxcosx1sin2x是一个很重要的公式，它是联系sinxcosx和sinxcosx关系的纽带，许多与此相关的问题就是通过这个公式实现问题转化的, 探究点3 三角函数的奇偶性与周期性,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,答案 (1)B (2)B,思路 (1)根据周期性和奇偶性把所求的函数值转化到已知区间上的函数值；(2)根据函数是偶函数，利用偶函数的性质,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,点评 函数的奇偶性反映了函数在关于定义域对称区间上函数值的规律，利用这个规律可以由一个函数值求解另外一个函数值，其功能之一就是转化函数值到已知；函数的周期性反映了在等距离(周期的倍数)上的两个函数值之间的相等关系，其功能也是把函数值进行转化，以达到由已知函数值求解未知函数值的目的特别指出对偶函数而言f(x)f(|x|)函数奇偶性是函数的整体性质，奇偶性定义是解题的基本依据，看下面的变式,第18讲 要点探究,变式题,答案 D,思路 根据函数是奇函数必须满足f(x)f(x)，得到关于x的恒等式，根据这个等式恒成立的条件确定所满足的关系，或者根据定义在R上的奇函数必须满足f(0)0求解,第18讲 要点探究, 探究点4 三角函数的单调性,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,思路 (1)根据角A，B之和小于，利用正弦函数或者余弦函数的单调性确定A，B的正弦和余弦的大小，再根据函数f(x)的单调性进行判断；(2)把x看做一个整体，根据正切函数的单调性求解,答案 (1)C (2)C,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,点评 三角函数的单调性反映了具有大小关系的两个角之间三角函数值的大小，利用三角函数的单调性比较三角函数值的大小是单调性的主要应用之一较为简单的函数ytan(x)的单调区间可以把x看成一个整体，利用正切函数得到其单调区间，高考重点考查yAsin(x)的图象和性质(在第21讲重点解决这个问题)，对正切的情况要求不高，复习时点到为止,第18讲 要点探究,变式题,思路 (1)根据函数性质把函数变换为ysin后解决；(2)结合函数的图象变换方法和余弦函数的单调性解决,第18讲 要点探究,第18讲 要点探究,第18讲 规律总结,1三角函数的图象从形上完全反映了三角函数的性质，要善于从图象上记忆三角函数的性质，注意根据三角函数图象分析解决问题 2在三角函数中正弦、余弦函数是有界的，正弦、余弦函数的有界性在求函数值域或最值中发挥着重要作用 3函数的周期性是函数在定义域上的整体性质，即对定义域上的任意自变量都满足f(xT)f(x)，这个性质的主要作用是化简三角函数式和把未知的三角函数值转化为已知的三角函数值,第18讲 规律总结,4三角函数的单调性是函数的局部性质，三角函数的单调区间都是对同一个k值而言的，在同一个k值的区间上三角函数是单调的，在这个区间上可以根据单调性确定具有大小关系的两个自变量的函数值的大小，在k值不同的区间上，三角函数是不单调的,第19讲 函数yAsin(x)的图象和性质,第19讲 函数yAsin(x) 的图象和性质,1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要把x看成一个整体，要找五个特征点，如表格所示.,第19讲 知识梳理,2.图象变换 函数yAsin(x)(A0，0)的图象可以看作是由下面的方法得到的：先把正弦曲线上的所有的点_(0)或_(0)平移_个单位长度，得到ysin(x)的图象，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的_倍，纵坐标不变，得到ysin(x)的图象，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的_倍，横坐标不变，这时的曲线就是函数yAsin(x)的图象,第19讲 知识梳理,向右,向左,|,A,第19讲 知识梳理,周期,x,初相, 探究点1 画函数图像及函数图像的变化,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,变式题,第19讲 要点探究,答案 (1)B (2)B (3),第19讲 要点探究,第19讲 要点探究, 探究点2 由图像求函数解析式,第19讲 要点探究,图191,第19讲 要点探究,图192,第19讲 要点探究,思路 (1)根据图象提供的数据特征首先确定函数的最小正周期，即可求出，再根据函数在x处的函数值是1和的范围确定的值；(2)可以根据函数图象提供的数据求出函数的解析式，也可以直接根据函数的最小正周期和函数图象上特殊点的情况加以解决；(3)首先确定周期，再确定初相，再确定振幅，最后确定上下平移的单位,答案 (1)D (2)C,第19讲 要点探究, 探究点3 函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,变式题,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究, 探究点4 三角函数模型的简单应用,第19讲 要点探究,例4 如图193所示，摩天轮的半径为50 m，圆心O点距地面的高度为60 m，摩天轮做匀速转动，每3 min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t(min)，点P距离地面的高度f(t)Asin(t)h.,第19讲 要点探究,(1)求在2009 min时点P距离地面的高度； (2)求证：不论t为何值，f(t)f(t1)f(t2)为定值,思路 (1)首先要根据式子中各量的几何意义求出解析式；(2)根据(1)中所求的解析式化简f(t)f(t1)f(t2)，最终应化为常数,第19讲 要点探究,第19讲 要点探究,第19讲 规律总结,第19讲 规律总结,第20讲 两角和与差的三角函数,第20讲 两角和与差的三角函数,第20讲 知识梳理,sincoscossin,coscossinsin,第20讲 知识梳理,第20讲 知识梳理,2sincos,cos2sin2,2cos21,12sin2,第20讲 知识梳理, 探究点1 基本公式的应用,第20讲 要点探究,第20讲 要点探究,思路 (1)直接根据两角差的正弦公式把其化为特殊角的三角函数；(2)直接根据余弦的二倍角公式把其化为特殊角的三角函数；(3)根据诱导公式化简求解目标后，根据二倍角的余弦公式进行计算,第20讲 要点探究,答案 (1)A (2)B (3)A, 探究点2 变形公式的应用,第20讲 要点探究,第20讲 要点探究,思路 (1)观察可知目标式中含有两个角的和是45，两项结合展开后使用两角和正切公式的变形；(2)本题考查三角基本公式的应用及求值的常规技能、技巧，属于简单题 根据诱导公式求出cos2x的值，根据同角三角函数关系把求解目标化为，然后使用余弦的二倍角公式的变形,答案 (1)4 (2)4,第20讲 要点探究,第20讲 要点探究,点评 三角恒等变换公式的变形主要是：(1)两角正切的和差公式的变形，即tantantan()(1tantan)，这个变形当是特殊角时，可以很方便地解决一些问题；(2)余弦的二倍角公式的变形，即cos22cos2112sin2，以及这个变形所得到的降幂公式，在含有二倍角的三角函数和单角的平方的三角函数问题中，降幂公式可以把单角的三角函数的平方化为二倍角的三角函数，便于问题的解决, 探究点3 公式的综合应用,第20讲 要点探究,第20讲 要点探究,思路 (1)根据两角和的公式展开sin()后，利用余弦函数的范围进行放缩；(2)求解目标与角无关，通过同角三角函数关系消掉角，求出的一个三角函数值再确定其大小,第20讲 要点探究,答案 B,解析 sin()sincoscossin，0cos1,0cos1，所以sin()sinsin.,点评 三角恒等变换公式的运用往往不是单纯的，在解题中需要把这些公式和相关的知识综合在一起使用三角恒等变换公式,第20讲 要点探究,变式题,思路 观察式子的结构特点可以平方相加得sin(AB)的值，但要注意隐含条件的制约,答案 A,第20讲 要点探究,第20讲 要点探究,思路 (1)借助于同角三角函数基本关系式，求出tan，再运用二倍角公式求解；(2)注意联系已知角和所求角，()，再运用差角公式求解,第20讲 要点探究,第20讲 要点探究,第20讲 规律总结,1三角恒等变换的依据是两角和与差的三角函数公式、二倍角公式，其中正切的和差角公式的变形、二倍角余弦公式的变形在解题中起重要作用，要掌握这些变形公式及其应用，特别是二倍角的余弦公式的变形，它能起到化倍角为单角的升幂作用，也能起到化单角为倍角的降幂作用注意和差倍都是相对的，如4是2的倍角，但是是8的半角,第20讲 规律总结,2两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“”“”的变化特点,第20讲 规律总结,第21讲 简单的三角恒等变换,第21讲 简单的三角恒等变换,第21讲 知识梳理,第21讲 知识梳理,第21讲 知识梳理, 探究点1 三角函数式的求值,第21讲 要点探究,第21讲 要点探究,思路 (1)求出sin的值，根据两角和的正弦公式求解；(2)已知式子平方后即可求出sin2的值，根据(sincos)21sin2和sincos0即可求出sincos的值，问题就解决了,第21讲 要点探究,点评 三角函数求值的基本思想就是灵活使用三角恒等变换公式，通过变换的方法沟通已知条件和求解目标，实现由已知求解未知的目的，熟悉三角恒等变换公式及其各种变形是提高解答三角函数求值题的必然途径变换是解答三角函数求值题的本质,第21讲 要点探究,第21讲 要点探究,思路 (1)根据向量模的意义，把关系式|ab|化为三角函数的方程，通过变换求解cos()的值；(2)利用角变换()，把所求角的三角函数转化为已知角的三角函数,第21讲 要点探究,点评 在三角函数求值问题中，角的变换是化未知为已知的重要技巧，常见的角变换见知识梳理三角函数求值的综合解题往往与平面向量相互综合，但平面向量起的作用实际上是刻画某种三角函数关系的，试题的解的最后还得落脚到三角函数方面三角函数求值题也可以和其他知识相互综合,第21讲 要点探究, 探究点2 三角函数式的化简,第21讲 要点探究,第21讲 要点探究,第21讲 要点探究,思路 (1)根据余弦的二倍角公式的变形进行升幂，然后根据三角函数的符号确定开方后的符号，再根据升幂公式，逐次进行； (2)实际上就是对1sin2，1sin2的变形，根据同角三角函数关系和正弦的二倍角公式，(1sin2)(sincos2)2，然后根据三角函数符号确定开方结果即可,答案 (1)D (2)D,第21讲 要点探究,点评 三角函数式化简的基本原则是化到最简，一般来说最后的结果函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等余弦的二倍角公式能起到升幂作用，即1cos22cos2，1cos22sin2，正弦的二倍角公式也能起到升幂的作用，即(1sin2)(sincos)2.在含有根式的三角函数式化简中要注意符号的选取，特别注意当角的终边在直线yx的上方区域时sincos，角的终边在直线yx的下方区域时sincos.,第21讲 要点探究, 探究点3 三角函数式的证明,第21讲 要点探究,第21讲 要点探究,第21讲 要点探究,第21讲 规律总结,1三角函数求值、化简和三角恒等式的证明，其基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的在三角函数问题中变换的基本方向有两个，一个是变换函数名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和差的三角函数公式、倍角公式对角进行代数形式的变换等,第21讲 规律总结,第22讲 正弦定理和余弦定理,第22讲 正弦定理和余弦定理,1关于正弦定理 (1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_ (2)正弦定理的变形(设外接圆半径为R) a_，b_，c_，,第22讲 知识梳理,2RsinA,2RsinB,2RsinC,sinA_，sinB_，sinC_， abc_. (3)正弦定理解决的斜三角形的类型 已知三角形的两角及一边，求其他的_ 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的_,第22讲 知识梳理,sinAsinBsinC,两边及一角,两角及一边,第22讲 知识梳理,一解,无解,一解,一解,无解,第22讲 知识梳理,2.关于余弦定理 (1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于_， 即a2_，b2_，c2_. (2)余弦定理的变形 cosA_，cosB_， cosC_. (3)余弦定理解决的斜三角形的类型 已知三角形的三边，求_； 已知两边及其夹角，求_,其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍,b2c22bccosA,a2c22accosB,a2b22abcosC,三角,第三边及其余两角, 探究点1 正弦定理解三角形,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,思路 (1)已知三角形的两个内角，实际上就是已知了三角形的三个内角，相当于在ABC中已知一边和另外两边的对角，求解边长，使用正弦定理；(2)根据已知可以求出角B，进而在ABC中已知两边及一边的对角，可以使用正弦定理求解另一边的对角,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,变式题,如图221所示，已知扇形OAB，O为顶点，圆心角AOB60，半径为2 cm，在弧AB上有一动点P，由P引平行OB的直线和OA相交于C，AOP，求POC的面积的最大值以及此时的值,图221,思路 所求三角形的面积等于OCOPsin，在OCP中根据正弦定理建立OC的长度关于角的关系式，然后进行三角恒等变换求解,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究, 探究点2 余弦定理解三角形,第22讲 要点探究,思路 已知的是三角形的两边及一边的对角，可以使用正弦定理求出角B，再根据三角形内角和定理求解角A，再根据正弦定理或者余弦定理求出边，也可以直接根据余弦定理列出关于边的方程，通过解方程求出边a.,答案 1,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,变式题,图222,第22讲 要点探究,思路 (1)根据余弦定理；(2)甲在线段Ox上和甲在射线Ox上分别使用余弦定理；(3)根据建立的函数关系求函数在t为何值时函数有最小值,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究, 探究点3 正弦定理和余弦定理解三角形,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,答案 (1)D (2)A,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,变式题,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究, 探究点4 三角形形状的判断,例 4 2010辽宁卷 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC. (1)求A的大小； (2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,思略 (1)根据已知2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC的特点，可以使用正弦定理实现角的三角函数向边的转化，也可以实现边的关系向角的三角函数的转化，如果用这个转化则就是sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，这个关系和a2b2c2bc是等价的，很显然根据余弦定理即可求出A的余弦，进而求出A的大小；(2)在角A已知的情况下，根据三角形内角和定理，方程sinBsinC1可以化为只含有一个角的三角函数的方程，通过这个方程求出这个角即可知道三角形的三个内角，进而判断出三角形的形状,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,变式题,1 在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，且2cos2B8cosB50，求角B的大小并判断ABC的形状,思路 根据方程2cos2B8cosB50即可求出B的余弦值，进而确定B的大小，在B已知的情况下结合ac2b和余弦定理，即可确定边a，c的关系，根据两边和其夹角即可确定这个三角形的形状,第22讲 要点探究,第22讲 要点探究,变式题,2 在ABC中，若acosAbcosB，判断ABC的形状,思路 根据正弦定理求解,第22讲 规律总结,1正弦定理和余弦定理揭示了三角形边和角之间的关系，根据这两个定理和三角形内角和定理，可以由三角形中的三个元素(至少有一个边)求解另外的三个元素 2正弦定理和余弦定理本身就是一个联系三角形边角关系的方程，在解题中要根据已知和求解目标，把问题纳入含有已知和求解目标的方程中，通过方程解决问题 3在求解角的问题中不一定要知道三角形的具体的边长，只要能求出其中的一些比例关系即可根据正弦定理或者余弦定理求解这个角的正弦值或者余弦值，从而求出这个角,第22讲 规律总结,4在三角形中大边对应大角，即abAB，这个关系等价于sinAsinBAB；在解三角形时要根据角对应的边的大小确定解的个数 5判断三角形形状的基本方法是根据正弦定理和余弦定理变换已知的条件，或者把边的关系转化为角的关系，或者把角的关系转化为边的关系，通过三角形的内角之间的关系或者边之间的关系对三角形的形状作出判断,第23讲 解三角形的应用,第23讲 解三角形的应用,第23讲 知识梳理,B,2RsinB,2RsinC,第23讲 知识梳理,正弦,正弦,余弦,第23讲 知识梳理,atan,ADsin,3.实际问题中常用的角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_的叫仰角，目标视线在水平视线_的叫俯角，如图