复杂网络的牵制控制.ppt

2019年8月8日星期四,1,复杂网络的控制 张玉林,2019年8月8日星期四,2,报告提纲,一、控制论 二、混沌 三、规则网络时空混沌的牵制控制 四、无标度动态网络的牵制控制 五、一般复杂动态网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,3,一、控制论,2019年8月8日星期四,4,控制论,1、控制论的发展 2、控制论的主要方法 3、控制论的主要特征,2019年8月8日星期四,5,控制理论作为一门科学技术，已经广泛地运用于我们社会生活的方方面面。,洗衣机智能控制,电冰箱温度控制,2019年8月8日星期四,6,2019年8月8日星期四,7,标志阶段,1.1947年控制论的奠基人美国数学家韦纳（N.Weiner）把控制论引起的自动化同第二次产业革命联系起来，并与1948年出版了控制论关于在动物和机器中控制与通讯的科学，书中论述了控制理论的一般方法，推广了反馈的概念，为控制理论这门学科奠定了基础。,控制论之父韦纳,2019年8月8日星期四,8,2.我国著名科学家钱学森将控制理论应用于工程实践，并与1954年出版了工程控制论。,钱学森,2019年8月8日星期四,9,复杂系统理论：把系统的研究拓广到开放复杂巨系统的范 筹，以解决复杂系统的控制为目标。,回顾控制理论的发展历程可以看出，它的发展过程反映了人类由机械化时代进入电气化时代，并走向自动化、信息化、智能化时代。,复杂航天器控制,2019年8月8日星期四,10,控制论的三个基本部分 1.信息论。主要是关于各种通路（包括机器、生物机体）中信息的加工传递和贮存的统计理论。 2.自动控制系统的理论。主要是反馈论，包括从功能的观点对机器和物体中（神经系统、内分泌及其他系统）的调节和控制的一般规律的研究。 3.自动快速电子计算机的理论。即与人类思维过程相似的自动组织逻过程的理论,2019年8月8日星期四,11,控制论的四个特征 第一个特征，是要有一个预定的稳定状态或平衡状态。例如在上述的度控制系统中，速度的给定值就是预定的稳定状态。 第二个特征，是从外部环境到系统内部有一种信息的传递。例如，在度控制系统中，转速的变化引起的离心力的变化，就是一种从外部传递到统内部的信息。 第三个特征，是这种系统具有一种专门设计用来校正行动的装置。例如速度控制系统中通过调速器旋转杆张开的角度控制蒸汽机的进汽阀门升降装置。 第四个特征，是这种系统为了在不断变化的环境中维持自身的稳定，内部都具有自动调节的机制，换言之，控制系统都是一种动态系统。,2019年8月8日星期四,12,反馈控制系统 基于反馈原理建立的自动控制系统。所谓反馈原理，就是根据系统输出变化的信息来进行控制，即通过比较系统行为（输出）与期望行为之间的偏差，并消除偏差以获得预期的系统性能。在反馈控制系统中，既存在由输入到输出的信号前向通路，也包含从输出端到输入端的信号反馈通路，两者组成一个闭合的回路。因此，反馈控制系统又称为闭环控制系统。反馈控制是自动控制的主要形式。在工程上常把在运行中使输出量和期望值保持一致的反馈控制系统称为自动调节系统，而把用来精确地跟随或复现某种过程的反馈控制系统称为伺服系统或随动系统。,2019年8月8日星期四,13,反馈控制系统 反馈控制系统包括：（一）负反馈（negative feedback）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相反，对控制部分的活动起制约或纠正作用的，称为负反馈1. 意义：维持稳态2. 缺点：滞后、波动（二）正反馈（positive feedback ）：凡反馈信息的作用与控制信息的作用方向相同，对控制部分的活动起增强作用的，称为正反馈意义：加速生理过程，使机体活动发挥最大效应。 反馈控制系统由控制器、受控对象和反馈通路组成。在反馈控制系统中，不管出于什么原因（外部扰动或系统内部变化），只要被控制量偏离规定值，就会产生相应的控制作用去消除偏差。因此，它具有抑制干扰的能力，对元件特性变化不敏感，并能改善系统的响应特性。,2019年8月8日星期四,14,2019年8月8日星期四,15,二、混沌,2019年8月8日星期四,16,混沌的产生,2019年8月8日星期四,17,混沌的产生(续),2019年8月8日星期四,18,混沌的产生(续),奇异吸引子,2019年8月8日星期四,19,湍 流(turbulence),复杂、不规则、貌似游走无常的流体运动。 例如：水流的漩涡； 以前的理论解释：模态（modes）周期运动。 当流体受到外力的作用时，一定数目的模态就被激发出来； 没有模态被激发，流体就处于定常状态； 如果单一模态被激发，就是周期振荡； 如果几个模态被激发，流动变得不规则； 许多模态被激发时，就是湍流。,2019年8月8日星期四,20,混沌的定义,设V为一个集合,f:V V称为在V上是混沌的,如果: f 对初始条件的敏感依赖性; f 是拓扑传递的; 周期点在V中是稠密的;,2019年8月8日星期四,21,烟头燃烧，没有 任何外力的情况下，烟会自动分解。 在什么时候分解？ 什么原因分解？ 分解时刻是否可以预测？,2019年8月8日星期四,22,一维逻辑斯蒂映射,映射(mapping)也叫迭代(iteration) xn+1=2xn，若x1=3 ,则x2=6，x3=12。 从控制系统的角度看，这也叫反馈(feedback)，把输出当作输入，不断滚动。很容易想到，反馈的结果有若干种： 发散的、收敛的、周期的等等。 但是我们要问一下，一共有多少种可能的运动类型?是否存在既不收敛也不发散，也不周期循环的迭代过程?,这就是有界非周期运动，它与混沌有关,2019年8月8日星期四,23,逻辑斯蒂映射的形式为 其中a是参数，取值范围是-2,4，通常人们只注意0,4这一半，其实另一半 -2,0也一样有趣。x的取值为0,1。映射的不动点是指满足关系=a(1- )的相点,解得_1=0,_2=1-1/a。设映射用 f 表示，f 的2次迭代记作f 2，3次迭代记作f 3，等等 。注意，这种记法不表示乘方关系。f 的不动点也叫f 的周期1点。f 2的不动点实际上是f 的周期2点。同理f n的不动点与f 的周期n点是一回事。,2019年8月8日星期四,24,映射f 的周期m点的稳定性由乘子 完全决定。映射f 的周期点(包括不动点，它为周期1点)的稳定性可具体定义为： 1，吸引，稳定； 1，排斥，不稳定； =1，中性； =0，超稳定。,2019年8月8日星期四,25,以参数a为横坐标、以x的稳定定态(stable steady states)为纵坐标作图， 得到1、图2等。从图中可以看出开始是周期加倍分岔(也称周期倍化分岔或周期倍分岔)，然后是混沌，混沌区中又有周期窗口。窗口放大后又可见到同样结构的一套东西。此 所谓无穷自相似结构。,2019年8月8日星期四,26,2019年8月8日星期四,27,2019年8月8日星期四,28,2019年8月8日星期四,29,在洛斯阿拉莫斯国立实验室任职的费根鲍姆在研究周期倍化过程中，发现相邻分岔间距之 比收敛到一个不变的常数： 不仅仅对于逻辑斯蒂映射有这个常数，对于一维“单峰”映射，都能算出同一个常数 来。 的含义是什么？意义何在？,2019年8月8日星期四,30,混沌,混沌可以说他是确定性的行为； 或者，若考虑他出现在稍微有点随机性的实际系统中，也可以说他是近似与确定性的，然而却不是看起来像确定性的。 在某些动力系统中，两个几乎一致的状态经过充分长的时间后会变得毫无一致性。,2019年8月8日星期四,31,混沌可以理解为貌似随机的确定性。,2019年8月8日星期四,32,三、规则网络时空混沌的牵制控制,2019年8月8日星期四,33,牵制控制的原始基本思想: 希望能够仅对网络中的一部分节点直接施加常数输入控制而达到有效抑制整个网络的时空混沌行为的目的.早期的工作包括由胡岗等人对由L 个节点组成的一维离散时间最近邻耦合映像格子所做的探索,未控制的状态方程为:,2019年8月8日星期四,34,牵制控制基本问题 一.可行性问题. 二.有效性问题.,2019年8月8日星期四,35,牵制控制的可行性问题：,参考文献 1.Wang X F, Chen G R. Pinning control of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium. IEEE Transactions onCircuits and Systems I, 2004.,这方面的研究目前主要集中在对部分节点施加线性反馈而使得整个动态网络稳定在期望的同步状态. 在理论方面已经清楚的是, 只要网络的耦合强度和反馈控制增益合适, 那么只需控制部分节点就能够实现控制目标.,2019年8月8日星期四,36,有效性问题 即如何选取受控节点才能使得达到控制目标所花的代价尽可能小.这里的代价包括所需直接控制的节点数量、网络耦合强度和反馈控制增益幅值等. 已有的研究表明, 利用网络的拓扑特性,有选择地对网络中少量关键节点直接施加控制要比随机选择部分节点加以控制具有明显优势. 参考文献 1.Wang X F, Chen G R. Pinning control of scale-free dy-namical networks. Physica A, 2002, 310(3-4). 2. Li X, Wang X F, Chen G R. Pinning a complex dynam-ical network to its equilibrium. IEEE Transactions onCircuits and Systems I, 2004.,2019年8月8日星期四,37,为系统的状态变量,为系统的状态变量,表示映像格子的空间坐标,表示耦合强度,表示局域动力学,胡岗等对有L个节点组成的一维离散时间最近邻耦合印象格子,规则网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,38,受控制的状态方程为,其中I 是相邻的两个被牵制控制节点之间的距离. L=I 为被牵制节点的个数.,当j = 0时,否则,规则网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,39,gn是用来控制所牵制节点的反馈控制器.由于最初考虑的是常数输入,所以这种控制称为牵制控制.后来人们做了适当推广,输入已不再限于常数. 在这个耦合映像格子中,一共有L/I 个节点被直接施加了牵制控制.只有对足够多的节点施加牵制控制才能有效地控制时空混沌.,规则网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,40,规则网络的牵制控制,Parekh等人针对离散时间耦合映像格子使用了下面的牵制控制方法:,其中,是第n个时刻对i节点的牵制强度,当j = 0时,否则,2019年8月8日星期四,41,Parekh研究发现： 只有对网络中的每个节点都施加牵制控制,才能将耦合映像格子中的时空混沌稳定到平衡状态. 比较施加牵制控制的节点的不同分布,发现可以通过均匀或随机分布牵制控制节点来达到全局控制时空混沌的效果. 因此, 牵制控制的强度和控制器分布的密度都决定了耦合映像格子中时空混沌控制的有效性.,规则网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,42,Parekh 和Sinha 后来又进一步将耦合映像格子的时空混沌控制拓展到了反控制(anticontrol)16, 即通过牵制控制, 使得耦合映像格子由非混沌状态变为混沌状态, 或者将耦合映像格子中比较弱的混沌进一步增强. 有关混沌反控制(反馈混沌化) 的详细论述参见专著17,参考文献 16.Parekh N, Sinha S. Controlling spatio temporal dynamics in excitable systems. SFI Working Paper, 2000 17.陈关荣, 汪小帆. 动力系统的混沌化. 上海：上海交通大学出版社, 2006,规则网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,43,43,牵制控制的思想同样被用于连续时间系统. 考虑如下描述的连续时间最近邻耦合网络,规则网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,44,式中r为控制参数. 假设只对一个节点施加牵制控制, 也就是说, 对于N 个(节点编号为0,1,2,N) 满足循环边界条件的最近邻耦合网络,只对节点0施加负反馈控制.通过分析特征值稳定域和Lyapunov指数发现: 当r = 0 时, 只通过牵制控制一个节点来控制整个网络是不可能的.显然r 的存在所代表的耦合连接影响了牵制控制器的效率. 当r 达到一定值时, 此时网络间的相邻局部耦合已经到达了一定的密度, 于是只控制一个节点就能够将整个网络稳定住.,规则网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,45,报告提纲,四、无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,46,设连续时间耗散耦合动态网络有N个节点， 为 第i个节点的状态变量，, 在存在耦合作用下第i个节点所满足的状态方程是,无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,47,无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,48,上式中ki 为节点i 的度. 假设网络是连通的, 那么耦合矩阵A是一个对称且不可约矩阵,它有一个重 数为1的零特征根, 而其余特征根均为负实数。,无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,49,假设网络是连通的,那么耦合矩阵A是一个对称且不可约矩阵,它有一个重数为1的零特征根, 而其余特征根均为负实数。 为了将动态网络控制到如下定义的平衡点 希望对占网络节点总数的比例为 的小部分节点实施牵制控制.这里假设选择节点i1， i2，il作为被牵制控制的节点, 这里l= 的整数部分.,无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,50,被牵制控制的网络状态方程可以写为,无标度网络的牵制控制,这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制,d 0是反馈增益.,2019年8月8日星期四,51,无标度网络的牵制控制,将上方程在由定义的平衡点 处线形化，可以得到方程,其中 是f(x)在x处的Jacobi矩阵B=AD, D =diag(d1,d2, dN), 其中当 时,控制增益dik = d, 而 时di = 0。,2019年8月8日星期四,52,无标度网络的牵制控制,这里对被牵制控制的节点所施加的是线性状态反馈控制,d 0是反馈增益.基于线性化方法推知, 当存在一个常数 使得 是Hurwitz稳定矩阵时,只要耦合强度满足下面的条件 动态网络就可以被牵制控制到平衡点。,2019年8月8日星期四,53,无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大部分节点的度相对很低. 对其一般采用两种不同的牵制策略： 一种是随机牵制(random pinning), 即在网络中随机地选择若干个节点施加牵制控制； 另一种是特定牵制(specific pinning), 即依次选择网络中度最大的若干节点施加牵制控制.,二、无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,54,无标度网络的特点是少数节点具有相对很高的度而大部分节点的度相对很低. 对其一般采用两种不同的牵制策略： 一种是随机牵制(random pinning), 即在网络中随机地选择若干个节点施加牵制控制； 另一种是特定牵制(specific pinning), 即依次选择网络中度最大的若干节点施加牵制控制.,无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,55,无标度动态网络的特定控制的有效性可以从以下两个方面来理解: 在其它参数都相同的情况下, 为达到控制目标, 只控制那些度很大的节点所需要控制的节点个数, 比随机牵制所需要控制的节点个数可能要少很多. 如果选取数目相同的节点数加以控制, 那么为达到控制目标, 特定牵制策略所需要的最小耦合强度可能比随机牵制策略所需要的最小耦合强度小很多.,无标度网络的牵制控制,2019年8月8日星期四,56,牵制控制陈无标度网络到不平衡稳定点,这一小节通过介绍牵制控制陈无标度动态网络中的每个节点都稳定到同一个不稳定平衡点的方法和过程。这时网络中的每个节点都是如下状态方程描述的陈混沌系统,2019年8月8日星期四,57,当p1=35,p2=