高考数学一轮复习第四章第三节三角函数的图象与性质教案文苏教版.docx

第三节 三角函数的图象与性质1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ).函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx|xR，且x值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性为增；为减2k，2k为增；2k，2k为减为增对称中心(k，0)对称轴xkxk小题体验1(2019徐州调研)函数f(x)3sin的最小正周期为_答案：42函数ytan2的定义域为_答案：3函数ysin的图象的对称轴是_解析：ysincos x，根据余弦函数的性质可知，ysin图象的对称轴是xk，kZ.答案：xk，kZ4(2019苏州调研)若函数f(x)sin x，x，则f(x)的值域为_解析：函数f(x)sin x，x，x，sin x1.即f(x)的值域为.答案：1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，尽量化成0时的情况3三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结小题纠偏1函数ytan x的值域为_解析：作出正切函数在，内的图象，根据图象可以得到函数的值域为 (，1，)答案：(，1，)2(2019常州调研)已知函数f(x)sin，则f(x)的单调递增区间为_解析：函数f(x)sinsin，由2k4x2k，kZ，得x，kZ，故f(x)的单调递增区间为，kZ.答案：，kZ题组练透1(2019扬州中学检测)函数ytan的定义域为_解析：由2xk，kZ，得x，kZ，故所求定义域为.答案：2求函数ylg(sin 2x)的定义域解：由得所以3x或0x.所以函数ylg(sin 2x)的定义域为.谨记通法(1)应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域，要注意本身的 要求(2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式典例引领1(2019淮安联考)已知函数f(x)2cos，x，则f(x)的值域是_解析：x，x，cos，2cos1,2，故f(x)的值域是1,2答案：1,22(2019徐州调研)当x时，函数y3sin x2cos2x的最小值是_，最大值是_解析：由正弦函数的性质知，当x时，sin x.y3sin x2cos2x2sin2xsin x122，当sin x时，ymin；当sin x1或时，ymax2.答案：2由题悟法三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为yAsin(x)k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把sin x、cos x、sin xcos x或sin xcos x换成t，转化为二次函数来求即时应用1已知函数f(x)sin，其中x，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是_解析：由x，知x.因为x时，f(x)的值域为，所以由函数的图象知a，所以a.答案：2求函数ycos2xsin x的最大值与最小值解：令tsin x，因为|x|，所以t.所以yt2t12，所以当t时，ymax，当t时，ymin.所以函数ycos2xsin x的最大值为，最小值为.锁定考向三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合常见的命题角度有：(1)三角函数的周期性；(2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性 题点全练角度一：三角函数的周期性1(2019南京调研)函数ytan的最小正周期是_解析：函数ytantan的最小正周期是1.答案：1角度二：三角函数的对称性2若函数f(x)sincos的图象关于原点对称，则角_.解析：因为f(x)2sin，且f(x)的图象关于原点对称，所以f(0)2sin0，即sin0，所以k(kZ)，即k(kZ)又|，所以.答案：角度三：三角函数的单调性3已知f(x)sin，x0，则f(x)的单调递增区间为_解析：由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ.又x0，所以f(x)的单调递增区间为.答案：4若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.解析：因为f(x)sin x(0)过原点，所以当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，所以.答案：通法在握1函数f(x)Asin(x)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(x)0.(2)对于函数yAsin(x)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线xx0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断2求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间演练冲关已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间解：因为f(x)的最小正周期为，则T，所以2.所以f(x)sin(2x)(1)当f(x)为偶函数时，k，kZ，所以cos 0，因为0，所以.(2)f(x)的图象过点时，sin，即sin.又因为0，所以.所以，.所以f(x)sin.令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为，kZ.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通调研)已知函数ycos ax(a0)的最小正周期为2，则实数a_.解析：函数ycos ax(a0)的最小正周期为2，a1.答案：12(2018南京名校联考)函数ytan x，x的值域是_解析：函数ytan x在区间上单调递增，所以值域是0,1答案：0,13(2018南京调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)sin x(0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB，则该函数的最小正周期是_解析：连结AB，设AB与x轴的交点为C，则由AOB，得COCACB.又OACA，所以AOC是高为的正三角形，从而OC2，所以该函数的最小正周期是4.答案：44(2018苏北四市调研)函数y3sin xcos x的单调递增区间是_解析：化简可得y2sin，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，又x，所以函数的单调递增区间是.答案：5已知函数f(x)sin，其中x.若f(x)的值域是，则的取值范围是_解析：若x，则2x2.因为当2x或2x时，sin，所以要使f(x)的值域是，则2，即2，所以，即的取值范围是.答案：6下列正确命题的序号为_ytan x为增函数；ytan(x)(0)的最小正周期为；在x，上ytan x是奇函数；在上ytan x的最大值是1，最小值为1.解析：函数ytan x在定义域内不具有单调性，故错误；函数ytan(x)(0)的最小正周期为，故正确；当x，时，ytan x无意义，故错误；由正切函数的图象可知正确答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2018如东中学检测)函数ysin2xsin x1的值域为_解析：由ysin2xsin x1，令tsin x，t1,1，则有yt2t12，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t及t1时，函数取最值，代入yt2t1，可得y.答案：2设偶函数f(x)Asin(x)(A0，0,0)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML90，KL1，则f_.解析：由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)cos x，又由题图知1，所以，所以f(x)cos x，故fcos.答案：3函数f(x)2sin(x)(0)对任意x都有ff，则f_.解析：因为函数f(x)2sin(x)对任意x都有ff，所以该函数图象关于直线x对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，故f2.答案：2或24(2018通州期末)已知f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象关于M对称，在区间上是单调函数，则_，_.解析：由f(x)是R上的偶函数，得k，kZ.0，.f(x)sincos x.函数f(x)的图象关于M对称，k，kZ，即k，kZ.又f(x)在区间上是单调函数，即T，02.故2或.答案：2或5(2019海安模拟)函数f(x)sin的图象在区间上的对称轴方程为_解析：对于函数f(x)sin的图象，令2xk，kZ，得x，kZ，令k0，可得函数f(x)在区间上的对称轴方程为x.答案：x6(2018镇江一中测试)已知角的终边经过点P(4,3)，函数f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f_.解析：由于角的终边经过点P(4,3)，所以cos .再根据函数f(x)sin(x)(0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得2，所以2，所以f(x)sin(2x)，所以fsincos .答案：7(2019阜宁中学检测)若直线x(|k|1)与函数ytan的图象不相交，则k_.解析：直线x(|k|1)与函数ytan的图象不相交，等价于当x时，函数ytan无意义，即2m，mZ，km，mZ.当m0时，k，满足条件当m1时，k，满足条件当m1时，k，不满足条件故满足条件的k或.答案：或8(2019常州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)sin(x)(0,0)的图象与x轴的交点A，B，C满足OAOC2OB，则_.解析：设函数f(x)sin(x)(0,0)的图象与x轴的交点坐标分别为A(x1,0)，B(x3,0)，C(x2,0)，则得x33x1，将x33x1代入，得x25x1，所以Tx2x38x1，所以，故f(x)sin.由图象可知f(x1)0，所以sin0，令k，kZ，得k，kZ.又0，所以.答案：9(2019宿迁中学调研)已知函数f(x)sin 3xcos 3x，xR. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的最值，并求出取得最值时x的值解：(1)f(x)sin 3xcos 3x22sin.由2k3x2k(kZ)，得x(kZ)，故函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)x，3x.当3x或，即x或时，f(x)min；当3x，即x时，f(x)max2.10(2018清江中学测试)已知a0，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解：(1)因为x，所以2x.所以sin，又因为a0，所以2asin2a，a，所以f(x)b,3ab又因为5f(x)1，所以b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)知a2，b5，所以f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，所以4sin11，所以sin，所以2k2x2k，kZ.当2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，g(x)单调递增，所以g(x)的单调递增区间为，kZ.当2k2x2k，kZ，即kxk，kZ时，g(x)单调递减所以g(x)的单调递减区间为，kZ.综上，g(x)的单调递增区间为，kZ；单调递减区间为，kZ.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1函数ytan(sin x)的值域为_解析：因为1sin x1，所以sin x.又因为ytan x在上单调递增，所以tan(1)ytan 1，故函数的值域是tan 1，tan 1答案：tan 1，tan 1 2(2018扬州期末)已知函数f(x)sin(0x)，且f()f()()，则_.解析：因为0x，所以2x，所以由f(x)得2x或，解得x或，由于f()f()()，所以.答案：3(2019扬州调研)已知函数f(x)1cos 2x2sin2.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)若