高考数学总复习第六章数列第37讲数列的综合应用练习理新人教版.docx

第37讲数列的综合应用夯实基础【p78】【学习目标】1会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法【基础检测】1执行如图所示的程序框图，如果输入n3，则输出的S()A.B.C.D.【解析】第一次循环后S，i2；第二次循环后S，i3；第三次循环后S，此时i43，退出循环，输出结果S.【答案】B2我国古代数学著作九章算术由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为ai(i1，2，10)，且a1a2a10，若48ai5M，则i()A6 B5 C4 D7【解析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为an，设公差为d，则解得a1，d，该金杖的总重量M1015，48ai5M，4875，即396i75，解得i6，【答案】A3小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还()万元()A.B.C.D.【解析】设每年应还x万元，则xxxxM，M，得x.【答案】B4设yf是一次函数，若f1，且f，f，f成等比数列，则fff_.【解析】由题意可设fkx1，则，解得k2，fff2n23n.【答案】2n23n【知识要点】1数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集1，2，n上的函数(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等2解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中3数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an1的递推关系，还是Sn与Sn1之间的递推关系典例剖析【p78】考点1等差、等比数列的综合问题已知公比不为1的等比数列an的首项a1，前n项和为Sn，且a4S4，a5S5，a6S6成等差数列(1)求等比数列an的通项公式；(2)对nN*，在an与an1之间插入3n个数，使这3n2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列an的公比为q，因为a4S4，a5S5，a6S6成等差数列，所以a5S5a4S4a6S6a5S5，即2a63a5a40，所以2q23q10.因为q1，所以q，所以等比数列an的通项公式为an.(2)由题意得bn3n，Tn.【点评】等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的考点2数列与不等式的综合问题已知数列中，a11，an1.(1)求数列的通项公式；(2)数列满足bnan，数列的前n项和为Tn，若不等式Tn对一切nN*恒成立，求的取值范围【解析】(1)由an1，得1，3，所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而3n1an.(2)由(1)可知bn.Tn123n，123n，两式相减得n2，Tn4，4，若n为偶数，则4，3；若n为奇数，则4，2，232 500，即2n132，得n6，该企业从2022年开始年底分红后的资金超过32 500万元【点评】解数列应用题的建模思路：从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：方法总结【p80】1数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前n项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解(3)验证、反思结果与实际是否相符2数列综合问题的求解程序(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题走进高考【p80】1(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏 C5盏D9盏【解析】设塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有：381，解得x3，即塔的顶层共有灯3盏【答案】B2(2017山东)已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22.(1)求数列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)，Pn1(xn1, n1)得到折线P1P2Pn1，求由该折线与直线y0，xx1，xxn1所围成的区域的面积T.【解析】(1)设数列xn的公比为q，由已知q0，因为所以q2，x11，因此数列xn的通项公式为xn2n1.(2)过P1，P2，P3，Pn1向x轴作垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，Qn1，由(1)得xn1xn2n2n12n1.记梯形PnPn1Qn1Qn的面积为bn.由题意bn2n1(2n1)2n2，所以Tnb1b2b3bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，又2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1，得Tn321(2222n1)(2n1)2n1(2n1)2n1.所以Tn.考点集训【p217】A组题1已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad等于()A3 B2 C1 D2【解析】曲线的顶点是(1，2)，b1，c2，又a，b，c，d成等比数列，adbc2.【答案】B2某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A33个B65个C66个D129个【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为an，则即2，数列an1是首项为1，公比为2的等比数列，an112n1，an2n11，故6小时后细胞的存活数是a7271165.【答案】B3某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)()A2021年B2020年C2019年D2018年【解析】设第n年开始超过200万元，则130200，化为(n2015)lg 1.12lg 2lg 1.3，n2 0153.8，取n2 019，因此开始超过200万元的年份是2019年【答案】C4已知函数f(x)cos x，x有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m()A.BC.D【解析】由题意可知：x1，x2，且x3，x4只能分布在x1，x2的中间或两侧，若x3，x4分布在x1，x2的中间，则公差d，故x3，x4分别为、，此时可求得mcos ；若x3，x4分布在x1，x2的两侧，则公差d，故x3，x4分别为、，不合题意【答案】D5. 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最大的一份为_【解析】设每人所得面包数构成等差数列an ，公差d0.由题意得即解得a1 .【答案】6设数列an中，a12, an1，bn，nN*，则数列的通项公式为bn_【解析】因为2，所以数列为以b14为首项，2为公比的等比数列，即bnb12n12n1.【答案】2n17已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)记数列的前n项和为Tn，求证：Tn1，且满足a26, a1a32a2a4a3a5900，设数列an的前n项和为Sn，若不等式an1Sn对一切nN*恒成立，则实数的最大值为_【解析】由等比数列的性质可得a2a2a4a900，即a2a430，再结合a26可得a424，则公比q2，所以an62n232n1，Sn32n3，故原不等式可化为32n132n2，即2，又因为F22，所以.【答案】4已知正项数列an的前n项和为Sn，对任意nN*，点都在函数fx2x的图象上(1)求数列an的首项a1和通项公式an；(2)若数列满足log2bnnlog2，求数列的前n项和Tn；(3)已知数列满足cn.若对任意nN*，存在x0，使得c1c2cnf(x)a成立，求实数a的取值范围【解析】(1)由题知，当n1时，S1aa1，所以a11.Snaan，所以Sn1aan1，两式相减得到(an1an)(an1an1)0，因为正项数列an，所以an1an1，数列an是以1为首项，1为公差的等差数列，所以ann.(2)由(1)知ann，所以bn(2n1)2n，nN*，因此T