高考数学总复习第五章平面向量、复数第31讲平面向量的应用练习理新人教版.docx

第31讲平面向量的应用夯实基础【p67】【学习目标】1会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题【基础检测】1在ABC中，()|2，则ABC的形状一定是()A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形【解析】由()|2，得()0，即()0，20，A90.【答案】C2已知点F(1，0)，直线l：x1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且，则动点P的轨迹C的方程是_【解析】设点P(x，y)，则Q(1，y)，则由，得(x1，0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简得y24x.【答案】y24x3已知向量a，b(4，4cos )，若ab，则sin等于()A BC. D.【解析】由ab得ab0，即4sin4cos 0，2sin 6cos .sin，sinsin.【答案】B4一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为_ N.【解析】F1F2F3，|F3|2|F1F2|241622428，|F3|2.【答案】25已知O是坐标原点，点A(1，1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则的取值范围是_【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，又xy，取目标函数zxy，即yxz，作斜率为1的一组平行线，当它经过点C(1，1)时，z有最小值，即zmin110；当它经过点B(0，2)时，z有最大值，即zmax022.z的取值范围是0，2，即的取值范围是0，2【答案】0，2【知识要点】1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：ab，且b0存在唯一的R，使abx1y2x2y10或，a(x1，y1)，b(x2，y2)；(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：ab_ab0_x1x2y1y20_；(3)求夹角问题，利用夹角公式2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移S的数量积，即WFS|F|S|cos (为F与S的夹角)典例剖析【p67】考点1向量在物理中的应用一个重为|G|(单位：N)的物体，在竖直平面内受到两个力F1、F2(单位：N)的作用处于平衡状态，已知F1、F2的大小分别为1 N和2 N，且二力所成的角为120，则G与F2所成的角的大小为_【解析】如图，AOB120，A60.在AOC中，|2|2|2|2|cos 603，|.于是|2|2|2，即AOC90，G与F2所成的角为150.【答案】150【点评】用向量法解决物理问题的步骤：将相关物理量用几何图形表示出来；将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题；最后将数学问题还原为物理问题考点2向量在平面几何中的应用在等腰直角三角形ABC中，ACBC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE2BE，求证：ADCE.【解析】法一：(基向量法)设a，b，则|a|b|，且ab0，则()ab.ba.a2b20，所以，即ADCE.法二：(坐标法)以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系设CA2，则A(2，0)，B(0，2)，D(0，1)，E，所以(2，1)，所以0，所以，即ADCE.【点评】用向量法解决几何问题的步骤：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系；把运算结果“翻译”成几何关系考点3平面向量在三角函数中的应用已知函数f(x)Asin的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为()A1 BC.D2【解析】22|2，显然|的长度为半个周期，周期T2，|1，所求值为2.【答案】D在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若k(kR)(1)判断ABC的形状；(2)若k2，求b的值【解析】(1)cbcos A，bacos C，bccos Aabcos C.根据正弦定理，得sin Ccos AsinAcos C，即sin Acos Ccos Asin C0，sin(AC)0，AC，即ac.则ABC为等腰三角形(2)由(1)知ac，由余弦定理，得bccos Abc.k2，即2，解得b2.【点评】三角函数与向量综合往往以向量运算构造问题的题设条件，因此依据向量知识转化为三角函数问题是问题求解的切入点考点4平面向量在解析几何中的应用已知点P(3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足0，当点A在y轴上移动时，动点M的轨迹方程为_【解析】设M(x，y)为轨迹上的任一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a0)，则(x，yb)，(ax，y)因为，所以(x，yb)(ax，y)，所以ax，b，即A，Q，.因为0，所以3xy20，即所求轨迹的方程为y24x(x0)【答案】y24x(x0)【点评】向量的坐标运算可将几何问题用代数方法处理，也可以将代数问题转化为几何问题来解决，其中向量是桥梁，因此，在解此类题目的时候，一定要重视转化与化归思想的运用已知F1, F2分别为椭圆C：1的左、右焦点，点P(x0，y0)在椭圆C上(1)求的最小值；(2)设直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A, B两点，若点P在第一象限，且1，求ABP面积的最大值【解析】(1)依题意可知F1(，0), F2(，0)，则(x0，y0), (x0，y0)，xy6，点P(x0，y0)在椭圆C上，1，即y2，x264(2x02)，当x00时，的最小值为4.(2)设l的方程yxb，点A(x1，y1), B(x2，y2)，由得x22bx2b240，令4b28b2160，解得2b0，0，|)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0(O为坐标原点)，则A等于()A. B. C. D.【解析】由题意知M，N，又A20，A.【答案】B3在直角坐标平面上，(1，4)，(3，1)，且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等，则直线l的斜率为()AB.C.或D.【解析】设直线l的一个方向向量为v(1，k)，由题意可得，|14k|3k|，解得k或.【答案】C4已知两定点A(1，1)，B(1，1)，动点P(x，y)满足，则点P的轨迹是( )A圆 B椭圆 C双曲线 D拋物线【解析】由题知(1x，1y)，(1x，1y)，所以(1x)(1x)(1y)(1y)x2y22.由已知x2y22，得1，所以点P的轨迹为椭圆【答案】B5一条河宽为400 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为_min.【解析】船速度与水流速度的合速度是船的实际航行速度如图，|v1|20，|v2|12.根据勾股定理，|v|16(km/h)(m/min)，故t4001.5(min)【答案】1.56如图，扇形AOB的弧AB的中点为M，动点C，D分别在线段OA，OB上，且OCBD，若OA1，AOB120，则的取值范围是_【解析】以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则M，设ODx0，1，则D，C(1x，0)，因此(x2x1).【答案】7如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点，四边形PECF是矩形证明：(1)PAEF；(2)PAEF.【解析】以D为坐标原点，以DC，DA所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的坐标系设正方形的边长为1，设P(t，t)(0t1)，则F(t，0)，E(1，t)，A(0，1)，所以(t，1t)，(t1，t)(1)|，|，所以|，即PAEF.(2)t(t1)(1t)(t)t2ttt20，所以，即PAEF.8已知平面直角坐标系内三点A、B、C在一条直线上，满足OA(3，m1), OB(n，3), OC(7，4)，且，其中O为坐标原点(1)求实数m, n的值；(2)设AOC的重心为G，且OGOB，求cosAOC的值【解析】(1)因为三点A, B, C在一条直线上，所以，又(n3，2m), (7n，1)，所以n3(7n)(2m)，因为，所以3n3(m1)0，即nm1，由、解得或(2)因为G为OAC的重心，且，所以点B为线段AC的中点，所以m1, n2.所以(3，2), (7，4)，因此cosAOC.B组题1已知向量a，b，c且abc0，|a|b|c|.设a与b的夹角为1，b与c的夹角为2，a与c的夹角为3，则1，2，3的大小关系是()A123 B132C231 D321【解析】如图，由|a|b|BAACBACBCAABC130)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足，则r_【解析】由，得22OB22|OA|OB|cosAOB，|OA|OB|OC|r，r2r2r2cosAOB，解得cosAOB.在OAB中，由余弦定理可求得|AB|r，过点O作AB的垂线交AB于D，根据圆心到直线的距离|OD|，得r2，解得r210，r.【答案】3已知圆M：x21，圆N：x21，直线l1，l2分别过圆心M，N，且l1与圆M相交于A，B两点，l2与圆N相交于C，D两点，P是椭圆1上的任意一动点，则的最小值为_【解析】()()2()21，同理：21.又P在椭圆上，所以|2a4，222(|)22|PM|PN|2142|PM|PN|146.【答案】64已知抛物线yx2